中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專(zhuān)題講座

                        智康·劉豪

第二講 圖形位置關(guān)系

【前言】 在中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，圖形位置關(guān)系主要包括點(diǎn)、線、三角形、矩形/正方形以及圓這么幾類(lèi)圖形之間的關(guān)系。在中考中會(huì)包含在函數(shù)，坐標(biāo)系以及幾何問(wèn)題當(dāng)中，但主要還是通過(guò)圓與其他圖形的關(guān)系來(lái)考察，這其中最重要的就是圓與三角形的各種問(wèn)題。綜合整個(gè)2010一模來(lái)看，18套題中有17套都是很明確的采用圓與三角形問(wèn)題的一證一算方式來(lái)考察。這個(gè)信息告訴我們中考中這一類(lèi)題幾乎必考。由于此類(lèi)題目基本都是上檔次解答題的第二道，緊隨線段角計(jì)算之后，難度一般中等偏上。所以如何將此題分?jǐn)?shù)盡攬懷中就成為了每個(gè)考生與家長(zhǎng)不得不重視的問(wèn)題。從題目本身來(lái)看,一般都是采取很標(biāo)準(zhǔn)的兩問(wèn)式.第一問(wèn)證明切線,考察切線判定定理以及切線性質(zhì)定理及推論,第二問(wèn)通常會(huì)給定一線段長(zhǎng)度和一角的三角函數(shù)值,求其他線段長(zhǎng)，綜合考察圓與三角形的知識(shí)點(diǎn)。一模尚且如此,中考也不會(huì)差的太遠(yuǎn)。至于其他圖形位置關(guān)系,我們將會(huì)在后面的專(zhuān)題中涉及到.所以本講筆者將從一模真題出發(fā)，總結(jié)關(guān)于圓的問(wèn)題的一般思路與解法。

第一部分  真題精講

【例1】(2010，豐臺(tái)，一模)

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過(guò)AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．

【思路分析】 本題和大興的那道圓題如出一轍，只不過(guò)這兩個(gè)題的三角形一個(gè)是躺著一個(gè)是立著，讓人懷疑他們是不是串通好了…近年來(lái)此類(lèi)問(wèn)題特別愛(ài)將中點(diǎn)問(wèn)題放進(jìn)去一并考察，考生一定要對(duì)中點(diǎn)以及中位線所引發(fā)的平行等關(guān)系非常敏感，尤其不要忘記圓心也是直徑的中點(diǎn)這一性質(zhì)。對(duì)于此題來(lái)說(shuō)，自然連接OD，在△ABC中OD就是中位線，平行于BC。所以利用垂直傳遞關(guān)系可證OD⊥DE。至于第二問(wèn)則重點(diǎn)考察直徑所對(duì)圓周角是90°這一知識(shí)點(diǎn)。利用垂直平分關(guān)系得出△ABC是等腰三角形，從而將求AB轉(zhuǎn)化為求BD，從而將圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問(wèn)題就可以輕松得解。

【解析】

（1）證明：聯(lián)結(jié)OD．  ∵ D為AC中點(diǎn)， O為AB中點(diǎn)，

∴ OD為△ABC的中位線．   ∴OD∥BC．

∵ DE⊥BC，   ∴∠DEC=90°.

∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于點(diǎn)D.

∴ DE為⊙O的切線．                  

（2）解：聯(lián)結(jié)DB． ∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. 

∵ D為AC中點(diǎn)， ∴AB=AC．

在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=，  ∴EC=.     （三角函數(shù)的意義要記牢）         

由勾股定理得：DC=.

在Rt△DCB 中， BD=．由勾股定理得： BC=5.

∴AB=BC=5.                                                           

∴⊙O的直徑為5.                   

【例2】（2010，海淀，一模）

已知：如圖，為的外接圓，為的直徑，作射線，使得平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).

（1）求證：為的切線；

（2）若，，求的半徑. 

【思路分析】本題是一道典型的用角來(lái)證切線的題目。題目中除垂直關(guān)系給定以外，就只給了一條BA平分∠CBF。看到這種條件，就需要大家意識(shí)到應(yīng)該通過(guò)角度來(lái)證平行。用角度來(lái)證平行無(wú)外乎也就內(nèi)錯(cuò)角同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)這么幾種。本題中，連OA之后發(fā)現(xiàn)∠ABD=∠ABC，而OAB構(gòu)成一個(gè)等腰三角形從而∠ABO=∠BAO，自然想到傳遞這幾個(gè)角之間的關(guān)系，從而得證。第二問(wèn)依然是要用角的傳遞，將已知角∠BAD通過(guò)等量關(guān)系放在△ABC中，從而達(dá)到計(jì)算直徑或半徑的目的。

【解析】證明：連接.        

∵ ，

∴ .          

∵ ，

∴ . ∴  . 

∴ ∥.  （得分點(diǎn)，一定不能忘記用內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)證平行）

∵ ,

∴ .∴ . 

∵ 是⊙O半徑，

∴ 為⊙O的切線.              

（2）∵ ,，，

∴ .

由勾股定理，得.  

∴ .（通過(guò)三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換來(lái)擴(kuò)大已知條件）

∵ 是⊙O直徑，

∴ .∴ .

又∵ , ,

∴ . （這一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）

在Rt△中，==5.

∴ 的半徑為. 

【例3】（2010，昌平，一模）

已知：如圖，點(diǎn)是⊙的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)  

在⊙上，且

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，與相交 

于點(diǎn)，且，，

求⊙的半徑長(zhǎng).

【思路分析】 此題條件中有OA=AB=OD，聰明的同學(xué)瞬間就能看出來(lái)BA其實(shí)就是三角形OBD中斜邊OD上的中線。那么根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半這一定理的逆定理，馬上可以反推出∠OBD=90°，于是切線問(wèn)題迎刃而解。事實(shí)上如果看不出來(lái)，那么連接OB以后像例2那樣用角度傳遞也是可以做的。本題第二問(wèn)則稍有難度，額外考察了有關(guān)圓周角的若干性質(zhì)。利用圓周角相等去證明三角形相似，從而將未知條件用比例關(guān)系與已知條件聯(lián)系起來(lái)。近年來(lái)中考范圍壓縮，圓冪定理等綱外內(nèi)容已經(jīng)基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例來(lái)計(jì)算，希望大家認(rèn)真掌握。

【解析】

（1）證明：連接.

∵，

∴.

∴是等邊三角形.

∴.

∵，

∴.

              ∴. 

∴ . （不用斜邊中線逆定理的話就這樣解，麻煩一點(diǎn)而已）

又∵點(diǎn)在⊙上，

∴是⊙的切線 . 

（2）解：∵是⊙的直徑，

        ∴.

    在中， ,

        ∴設(shè)則，

    ∴ .

 ∴ . （設(shè)元的思想很重要）

∵,

∴ ∽ . 

∴ .

∵,

∴ .

∴.………………………………………5分

【例4】（2010，密云，一模）

如圖，等腰三角形中，，．以為直徑作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求證：直線是的切線；

（2）求的值．

【思路分析】本題和前面略有不同的地方就是通過(guò)線段的具體長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算和證明。欲證EF是切線，則需證OD垂直于EF，但是本題中并未給OD和其他線角之間的關(guān)系，所以就需要多做一條輔助線連接CD，利用直徑的圓周角是90°，并且△ABC是以AC,CB為腰的等腰三角形，從而得出D是中點(diǎn)。成功轉(zhuǎn)化為前面的中點(diǎn)問(wèn)題，繼而求解。第二問(wèn)利用第一問(wèn)的結(jié)果，轉(zhuǎn)移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形當(dāng)中構(gòu)造代數(shù)關(guān)系，通過(guò)解方程的形式求解，也考察了考生對(duì)于解三角形的功夫。

【解析】

（1）證明：如圖，連結(jié)，則．

∴．                                                           

∵ ，∴． 

∴是的中點(diǎn)．

∵是的中點(diǎn)，

∴．

∵于F．

∴．

∴是的切線． 

( 2 ) 連結(jié)，∵是直徑, ∴．（直徑的圓周角都是90°）

∴．

∴．

設(shè)，則．

在中，．

在中，．（這一步至關(guān)重要，利用兩相鄰RT△的臨邊構(gòu)建等式，事實(shí)上也可以直接用直角三角形斜邊高分比例的方法）

∴．解得．即．

在中．

∴ ． 

【例5】2010，通州，一模

如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓交AD于F，交BC于G，延長(zhǎng)BA交圓于E.

（1）若ED與⊙A相切，試判斷GD與⊙A的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）在（1）的條件不變的情況下，若GC＝CD＝5，求AD的長(zhǎng).

【思路分析】本題雖然是圓和平行四邊形的位置關(guān)系問(wèn)題，但是依然考察的是如何將所有條件放在最基本的三角形中求解的能力。判斷出DG與圓相切不難，難點(diǎn)在于如何證明。事實(shí)上，除本題以外，門(mén)頭溝，石景山和宣武都考察了圓外一點(diǎn)引兩條切線的證明。這類(lèi)題目最重要是利用圓半徑相等以及兩個(gè)圓心角相等來(lái)證明三角形相似。第二問(wèn)則不難，重點(diǎn)在于如何利用角度的倍分關(guān)系來(lái)判斷直角三角形中的特殊角度，從而求解。

【解析】

（1）結(jié)論：與相切

證明：連接

∵點(diǎn)、在圓上，

∴

∵四邊形是平行四邊形，

∴

∴

∵

∴

∴     （做多了就會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本此類(lèi)問(wèn)題都是要找這一對(duì)角，所以考生要善于把握已知條件往這個(gè)上面引）

在和

∴

∴    

∵與相切

∴

∴

∴

∴與相切     

（2）∵，四邊形是平行四邊形

∴，，

∵

∴

∴

∴ （很多同學(xué)覺(jué)得題中沒(méi)有給出特殊角度，于是無(wú)從下手，其實(shí)用倍分關(guān)系放在RT三角形中就產(chǎn)生了30°和60°的特殊角）

∴

∴            . 

【總結(jié)】 經(jīng)過(guò)以上五道一模真題，我們可以得出這類(lèi)題型的一般解題思路。要證相切，做輔助線連接圓心與切點(diǎn)自不必說(shuō)，接下來(lái)就要考慮如何將半徑證明為是圓心到切線的距離，即“連半徑，證垂直”。近年來(lái)中考基本只要求了這一種證明切線的思路，但是事實(shí)上證明切線有三種方式。為以防遇到，還是希望考生能有所了解。

第一種就是課本上所講的先連半徑，再證垂直。這樣的前提是題目中所給條件已經(jīng)暗含了半徑在其中。例如圓外接三角形，或者圓與線段交點(diǎn)這樣的。把握好各種圓的性質(zhì)關(guān)系就可以了。

第二種是在題目沒(méi)有給出交點(diǎn)狀況的情況下，不能貿(mào)然連接，于是可以先做垂線，然后通過(guò)證明垂線等于半徑即可，就是所謂的“先證垂直后證半徑”。例如大家看這樣一道題，  如圖△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，與AB切于點(diǎn)D，求證：與AC也相切。

該題中圓0與AC是否有公共點(diǎn)是未知的，所以只能通過(guò)O做AC的垂線，然后證明這個(gè)距離剛好就是圓半徑。如果考生想當(dāng)然認(rèn)為有一個(gè)交點(diǎn)，然后直接連AC與圓交點(diǎn)這樣證明，就誤入歧途了。

第三種是比較棘手的一種，一方面題目中并未給出半徑，也未給出垂直關(guān)系，所以屬于半徑和垂直都要證明的題型。例如看下面一道題：

如圖，中，AB=AC，=，O、D將BC三等分，以OB為圓心畫(huà)，求證：與AC相切。

本題中并未說(shuō)明一定過(guò)A點(diǎn)，所以需要證明A是切點(diǎn)，同時(shí)還要證明O到AC垂線的垂足和A是重合的，這樣一來(lái)就非常麻煩。但是換個(gè)角度想，如果連接AO之后再證明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常嚴(yán)密了。

（提示：做垂線，那么垂足同時(shí)也是中點(diǎn)，通過(guò)數(shù)量關(guān)系將AO，BO都用AB表示出來(lái)即可證明相等，而△AOC中利用直角三角形斜邊中線長(zhǎng)是斜邊一半的逆定理可以證出直角。）

    至于本類(lèi)題型中第二問(wèn)的計(jì)算就比較簡(jiǎn)單了，把握好圓周角，圓心角，以及可能出現(xiàn)的弦切角所構(gòu)成的線段，角關(guān)系，同時(shí)將條件放在同一個(gè)RT△當(dāng)中就可以非常方便的求解?？傊祟?lèi)題目難度不會(huì)太大，所以需要大家做題速度快，準(zhǔn)確率高，為后面的代幾綜合體留出空間。

第二部分 發(fā)散思考

【思考1】（2009，海淀，一模）

如圖，已知AB為⊙O的弦，C為⊙O上一點(diǎn)，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. 

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，AB=4，求AD的長(zhǎng).

【思路分析】此題為去年海淀一模題，雖然較為簡(jiǎn)單,但是統(tǒng)計(jì)下來(lái)得分率卻很低. 因?yàn)轭}目中沒(méi)有給出有關(guān)圓心的任何線段，所以就需要考生自己去構(gòu)造。同一段弧的圓周角相等這一性質(zhì)是非常重要的，延長(zhǎng)DB就會(huì)得到一個(gè)和C一樣的圓周角，利用角度關(guān)系，就很容易證明了。第二問(wèn)考解三角形的計(jì)算問(wèn)題，利用相等的角建立相等的比例關(guān)系，從而求解。

（解法見(jiàn)后）

【思考2】2009，西城，一模

已知：如圖，AB為⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線，交

 ⊙O于點(diǎn)C，直線OC上一點(diǎn)D滿足∠D=∠ACB.

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若⊙O的半徑等于4，，求CD的長(zhǎng).

【思路分析】本題也是非常典型的通過(guò)角度變換來(lái)證明90°的題目。重點(diǎn)在于如何利用∠D=∠ACB這個(gè)條件，去將他們放在RT三角形中找出相等，互余等關(guān)系。尤其是將∠OBD拆分成兩個(gè)角去證明和為90°。

（解法見(jiàn)后）

【思考3】2009，北京

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過(guò)B,M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為⊙O的直徑.

（1）求證：AE與⊙O相切；

（2）當(dāng)BC=4,cosC=時(shí)，求⊙O的半徑. 

【思路分析】這是一道去年北京中考的原題，有些同學(xué)可能已經(jīng)做過(guò)了。主要考點(diǎn)還是切線判定，等腰三角形性質(zhì)以及解直角三角形，也不會(huì)很難。放這里的原因是讓大家感受一下中考題也無(wú)非就是如此出法，和我們前面看到的那些題是一個(gè)意思。

【思考4】2009，西城，二模

如圖，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O為△ABC的外接圓，

D為上一點(diǎn)， CE⊥AD于E.

    求證：AE= BD +DE．

【思路分析】 前面的題目大多是有關(guān)切線問(wèn)題，但是未必所有的圓問(wèn)題都和切線有關(guān)，去年西城區(qū)這道模擬題就是無(wú)切線問(wèn)題的代表。此題的關(guān)鍵在于如何在圖形中找到和BD相等的量來(lái)達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。如果圖形中所有線段現(xiàn)成的沒(méi)有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的線段關(guān)系。

【思考5】.2009，東城，二模

 如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，AE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．

（1） 求證：DE是⊙O的切線；

（2） 若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的長(zhǎng)．

【思路分析】又是一道非常典型的用角證平行的題目。題目中雖未給出AC評(píng)分角EAD這樣的條件，但是通過(guò)給定CE=CF，加上有一個(gè)公共邊，那么很容易發(fā)現(xiàn)△EAC和△CAF是全等的。于是問(wèn)題迎刃而解。第二問(wèn)中依然要注意找到已知線段的等量線段，并且利用和，差等關(guān)系去轉(zhuǎn)化。

第三部分 思考題解析

【思考1解析】

1）證明: 如圖, 連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E, 連接BE, 則∠ABE=90°.

∴ ∠EAB+∠E=90°.        

    ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，

∴ ∠EAB+∠BAD =90°.  

∴ AD是⊙O的切線.         

（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.

∵ AE=2AO=6, AB=4,

∴ .  ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB, 

∴       

∴ 

∴ .              

【思考2解析】

解：（1）直線BD與⊙O相切． 

證明：如圖3，連結(jié)OB．-

∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D，

 ∴ ∠2=∠CBD．

∵ AB∥OC ，

∴ ∠2=∠A ．

∴ ∠A=∠CBD．

∵ OB=OC，

∴ ，

∵ ，

∴ ．

∴ ．

∴ ∠OBD=90°．

∴ 直線BD與⊙O相切． 

（2）解：∵ ∠D=∠ACB ，，

∴ ．

在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4，，

∴ ，．

∴ ．

【思考3解析】

1）證明：連結(jié)，則．

∴．

∵平分．

∴．

∴．

∴．

∴．

在中，，是角平分線，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴與相切．

（2）解：在中，，是角平分線，

∴．

∵，

∴．

在中，，

∴．

設(shè)的半徑為，則．

∵，

∴．

∴．

∴．

解得．

∴的半徑為．

【思考4解析】

證明：如圖3，在AE上截取AF=BD，連結(jié)CF、CD． 

在△ACF和△BCD中，

   

 ∴ △ACF≌△BCD． 

∴ CF=CD. 

∵ CE⊥AD于E，

∴ EF=DE. 

∴ . 

【思考5解析】

證明：（1）連接OC,