本課題組的研究成果《數(shù)學(xué)教學(xué)反思的內(nèi)容與方法》，其中對數(shù)學(xué)教學(xué)反思的內(nèi)涵、內(nèi)容與步驟進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述，為廣大教師的教學(xué)反思提供了有效的指導(dǎo)及可操作的依據(jù)。
本人對瑞安市三所不同層次學(xué)校的50名高中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)目前高中數(shù)學(xué)教師中有超過半數(shù)的人認(rèn)為：影響數(shù)學(xué)教學(xué)反思的主要因素是缺乏理論指導(dǎo)與可操作的反思模式（見下表），而認(rèn)為沒有時間的教師只占少數(shù)，這說明對教師進(jìn)行有關(guān)反思方面的理論指導(dǎo)并提供可操作的反思模式是十分必要的。
影響教學(xué)反思的主要因素
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沒有時間
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缺少理論指導(dǎo)
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沒有操作模式
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缺乏動力
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其它
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百分比
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14．8
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33．3
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20．4
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29．6
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1．9
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根據(jù)課題組現(xiàn)階段的研究特點，并結(jié)合已研究出的一些成果，本人提出了有關(guān)概念教學(xué)及其反思的模式，并在此基礎(chǔ)上對課題組中的一些研討課進(jìn)行反思性操作，在專家們的指導(dǎo)下不斷地修改與完善，逐步形成具有可操作性的反思模式。
一、有關(guān)概念界定
1.概念解構(gòu)：概念的解構(gòu)包括“學(xué)術(shù)解構(gòu)”和“教學(xué)解構(gòu)”。“學(xué)術(shù)解構(gòu)”即從數(shù)學(xué)理論角度對概念的內(nèi)涵及其所反映的思想方法進(jìn)行解析。包括的內(nèi)容有：概念的內(nèi)涵和外延；概念所反映的思想方法；概念的發(fā)展歷史（用以說明概念的地位和作用）；概念的變式與聯(lián)系（從另一個側(cè)面說明概念的地位和作用）；概念的教育價值；等。上述內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)該達(dá)到兩個目的，一是讓數(shù)學(xué)教師明確“這一概念的地位”；二是解決教師在概念理解中可能出現(xiàn)的偏差，以提高教師對相應(yīng)概念的認(rèn)識水平。“教學(xué)解構(gòu)”則是“學(xué)術(shù)解構(gòu)”基礎(chǔ)上對概念的教學(xué)表達(dá)，重點放在概念發(fā)生發(fā)展過程的解析上，包括概念的概括過程、辨析過程（內(nèi)涵與外延的變式）和概念的應(yīng)用（變式應(yīng)用）等，其中尋找精當(dāng)?shù)睦右越忉尭拍钍且患哂袆?chuàng)造性的工作（課題組，章建躍執(zhí)筆）。
2．概念形成：學(xué)生理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物的共同、關(guān)鍵屬性的過程。在概念形成教學(xué)中，必須注意：（1）向?qū)W生提供適當(dāng)數(shù)量、適當(dāng)強度的刺激模式，以便于學(xué)生分析、比較；（2）要讓學(xué)生進(jìn)行充分的自主活動，使他們有機會經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，并從共同屬性中抽象出本質(zhì)屬性；（3）概括成概念后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的新舊概念進(jìn)行分化，并將新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去[1]。
3．概念精致：在學(xué)習(xí)某個概念時，可能對所學(xué)概念有所拓展，有時甚至?xí)龀瞿撤N推論，這個過程被認(rèn)知心理學(xué)家稱為“精致”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“精致”的實質(zhì)是對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行盡量詳細(xì)的“深加工”，對“概念要素”進(jìn)行具體界定，以使學(xué)生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，對概念的細(xì)節(jié)把握更加準(zhǔn)確，理解概念的各個方面，獲得概念的某些限制條件等。它通常表現(xiàn)為對各種可能的特例進(jìn)行剖析，分析可能發(fā)生的概念理解錯誤，理解概念的各種變式[1]。
4．概念圖式：概念圖式由一些反映概念屬性的觀念組成，概念圖式中觀念的多少、觀念的準(zhǔn)確與否、觀念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。概念教學(xué)的本質(zhì)不是低水平的概念言語連鎖學(xué)習(xí),而是要幫助學(xué)生獲得概念的心理意義,即形成概念內(nèi)涵的心理表象,或者說建構(gòu)起良好的概念圖式。良好的概念圖式是由一系列反映概念本質(zhì)屬性的觀念組成。人類獲取概念的主要方式是概念的形成與同化，概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程，這是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程。概念的同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來接納新概念的過程，這是一個接受學(xué)習(xí)的過程，它們的最終目標(biāo)都是掌握同類事物的關(guān)鍵屬性，使學(xué)生建立起良好的概念認(rèn)知圖式[2]。
二、概念教學(xué)的基本模式
在課題組研究成果的指引下，結(jié)合自身實踐體驗，尤其是在“古典概型”教學(xué)實踐中的感受，發(fā)覺對于概念教學(xué)，可以采用如下的基本教學(xué)流程：
三、概念教學(xué)反思模式的構(gòu)建
在對“你在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的反思時，通常的做法是________”的問卷中發(fā)現(xiàn)：有超過半數(shù)的教師空白，其余教師也都是輕描淡寫地寫上幾個字，如關(guān)注概念的形成、學(xué)生思維的發(fā)展等，沒有涉及到真正的反思。通過訪談與交流，發(fā)現(xiàn)原因在于教師在具體操作中很難從理論的高度進(jìn)行系統(tǒng)反思。
通過對“古典概型”教學(xué)的反思與思考，結(jié)合目前高中數(shù)學(xué)教師中普遍存在的困惑，在有關(guān)教育、教學(xué)理論、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及上述概念教學(xué)的流程的指引下，對概念教學(xué)的反思模式進(jìn)行如下構(gòu)建：
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概念教學(xué)的反思模式
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反思項目
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評 價 方 式 與 程 度
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概念解構(gòu)
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概念核心的理解
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對照教師用書或相關(guān)數(shù)學(xué)資料判斷、分析自己在教學(xué)及設(shè)計中對概念的核心的理解是否正確？
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內(nèi)涵外延的把握
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對照教師用書或相關(guān)數(shù)學(xué)資料判斷、分析自己在教學(xué)及設(shè)計中對概念的內(nèi)涵、外延是否明確？
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思想方法的滲透
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判斷、分析自己在教學(xué)中是否為思想方法的滲透提供了合理的問題背景，是否只停留在預(yù)設(shè)的層面上？
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教學(xué)目標(biāo)的要求
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對照課程標(biāo)準(zhǔn)與教師用書（或目標(biāo)測試的方式），判斷、分析自己的教學(xué)達(dá)到了要求中的哪個層次？
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概念形成
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原概念圖的分析
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在教學(xué)及設(shè)計中是否有考慮學(xué)生已有的概念圖式，并是否根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行教學(xué)？
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問題背景的呈現(xiàn)
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呈現(xiàn)給學(xué)生進(jìn)行歸納、概括并形成概念的背景的數(shù)量是否足夠？是否有正、反兩方面的背景，是否由學(xué)生參與舉例？
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概念得出的過程
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概念的得出是由教師自己完成，還是由學(xué)生通過對一類事物的共同本質(zhì)屬性進(jìn)行歸納、概括而成？學(xué)生的參與度如何？
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概念精致
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概念辨析的設(shè)計
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概念中的注意事項是直接點出，還是通過設(shè)計適當(dāng)?shù)膯栴}讓學(xué)生自己感受、認(rèn)識到并總結(jié)出來的？
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概念運用的落實
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在運用概念解決問題時，設(shè)計的問題是否能夠很好地加深學(xué)生對概念的理解與掌握？
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概念深化的程度
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是否有效地結(jié)合問題深化概念，如概念變式等，是否已引導(dǎo)學(xué)生建立起新的概念圖式？
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師生活動
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教學(xué)方法的使用
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對于具體的概念課采用的教學(xué)方法是否合理？能否有效地引導(dǎo)學(xué)生積極開展雙邊活動？
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學(xué)生能力的培養(yǎng)
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教學(xué)中是否重視學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，提供給學(xué)生的問題是否具有思維量，是否給學(xué)生有足夠思考的時間與空間？
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學(xué)生個性的發(fā)展
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是否關(guān)注學(xué)生的個體差異，并在教學(xué)設(shè)計時有所體現(xiàn)，課堂中能否把握學(xué)生的“奇思妙想”？
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課堂提問的時效
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課堂提問是否都有預(yù)設(shè)，提問是否恰時恰點，所提的問題是否都能符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)？
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四、反思模式的操作
下面對第六次研討會中“變化率問題”研究課的教學(xué)進(jìn)行反思（根據(jù)上課前后順序記為教師A與教師B）：
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反思項目
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反 思 評 價 與 結(jié) 果
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概
念
解
構(gòu)
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概念核心的理解
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從導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展來看，變化率是導(dǎo)數(shù)思想方法的核心，也是中學(xué)開設(shè)微積分課程價值的核心。如果不能將平均變化率、瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)建立起本質(zhì)聯(lián)系，即不能從導(dǎo)數(shù)概念體系中整體地去考察變化率，就不可能理解和掌握有關(guān)概念。對于變化率的教學(xué)，如何實現(xiàn)從“平均變化率”到“瞬時變化率”的過渡，并處理好變化率從“物理背景”—“幾何直觀”—“代數(shù)描述”認(rèn)識過程是教學(xué)的核心，顯然，從兩位教師的課堂教學(xué)來看，對變化率概念核心的理解還是有些不到位。
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內(nèi)涵外延的把握
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教師A選擇的問題情境“甲用5年掙到10萬元，乙用5個月掙到2萬元，如何比較和評價兩人的經(jīng)營成果”不恰當(dāng)，由于事物都在變化，不能簡單地用每個月的經(jīng)營成果來評價，從側(cè)面反映了教師對變化率概念內(nèi)涵與外延的理解還有一些欠缺。
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思想方法的滲透
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“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”這一章，滲透著逼近、以直代曲的微積分思想，同時包含了運動、變化、量變質(zhì)變思想及數(shù)形結(jié)合思想，這也是教材為什么要通過“平均變化率”來研究“瞬時變化率”的重要原因。教師A由于在教材處理上沒有涉及到“瞬時變化率”，因此在教學(xué)中無法滲透無限逼近、以直代曲等思想；教師B在滲透這些思想時，主要還是在自己的預(yù)設(shè)下進(jìn)行，給學(xué)生自主探索與體驗思想的過程不充分。另外，幾何畫板、Excel也可以更充分應(yīng)用，這樣有利于滲透數(shù)學(xué)思想。
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教學(xué)目標(biāo)的要求
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教師B對本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及解析如下：本節(jié)課要求學(xué)生能借助對氣球平均膨脹率問題和高臺跳水平均速度問題的研究，提煉出平均變化率的概念，并能正確理解平均變化率的定義。通過實例、直觀感知、討論、探究，理解瞬時速度的含義、感受逼近的思想。通過探究歸納出瞬時變化率的概念，并能理解瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)。事實上，這樣的目標(biāo)是比較合理地體現(xiàn)了教學(xué)的要求，同時從課堂教學(xué)過程來看也是較好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，在某些環(huán)節(jié)出現(xiàn)預(yù)設(shè)與生成不一致也是難免。
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概
念
形
成
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原概念圖的分析
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在物理中，學(xué)生已學(xué)過勻速運動以及勻加速運動，也知道了平均速度與瞬時速度，因此，在概念形成過程中若從勻速運動引入，即可得到“瞬時速度=平均速度”，其中“平均速度”正是“平均變化率”，“瞬時速度”正是“瞬時變化率”，但兩位老師都沒有利用學(xué)生的原概念圖。
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問題背景的呈現(xiàn)
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教師A是通過教材上吹氣球問題、高臺跳水問題抽象平均變化率概念；教師B通過氣球?qū)嵨铮處煷底寣W(xué)生觀察而引入平均變化率概念，然后通過高臺跳水問題展示平均變化率向瞬時變化率的過渡。如果能從勻速運動出發(fā)，并由學(xué)生參與舉例，這樣呈現(xiàn)的物理背景更利于學(xué)生理解，更有效。
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概念得出的過程
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兩位老師都采用吹氣球問題、高臺跳水問題，通過逐步引導(dǎo)，由師生共同歸納出相應(yīng)的概念。氣球膨脹率問題，盡管學(xué)生感覺很熟悉，但其中涉及到抽象的概念“膨脹率”及較復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模與運算過程，這樣就影響了學(xué)生對問題背景共同屬性進(jìn)行歸納、概括的程度，因此，我認(rèn)為在這里為學(xué)生提供勻速運動與高臺跳水問題已較充分，要有更多的時間與空間讓學(xué)生進(jìn)行自主活動，使他們有機會經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，并從共同屬性中抽象出本質(zhì)屬性。
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概
念
精
致
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概念辨析
的設(shè)計
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在概念形成過程中，教師不但應(yīng)為學(xué)生提供正面的背景，也要提供一些反面的例子，可以讓學(xué)生自己來舉例，這樣有利于學(xué)生對本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性進(jìn)行比較，反例的適當(dāng)與否，直接影響到學(xué)生對概念的理解是否精確。
如教師A：大家一起思考一下， 、 的取值范圍？（師生共同討論總結(jié)后，教師投影：式子中、的值可正、可負(fù)，但是值不能為0，的值可以為0），這就是一種較好的概念辨析，是否可以設(shè)計問題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)？
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概念運用的落實
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運用概念解決問題是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握概念的一個環(huán)節(jié)。教師A：1.求下列函數(shù)的平均變化率（要求學(xué)生口答）（1） （2）
2.求函數(shù)  在 范圍內(nèi)的平均變化率；教師B在教學(xué)過程中沒有時間安排概念運用。我認(rèn)為將氣球的膨脹率問題移到概念形成后進(jìn)行教學(xué)是否更合理？這樣既不會因它本身較難影響學(xué)生歸納概念的本質(zhì)屬性，又可以使學(xué)生體會概念的應(yīng)用價值，從而更深入地理解概念。
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概念深化的程度
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在概念教學(xué)時，要注意建立起概念間的聯(lián)系，要把新概念置于一個概念系統(tǒng)中進(jìn)行教學(xué)，因此，本節(jié)課從“平均變化率”到“瞬時變化率”的過渡，處理好變化率從“物理背景”—“幾何直觀”—“代數(shù)描述”的關(guān)系是關(guān)鍵所在。如教師A對求平均變化率進(jìn)行變式，這是一種精致概念很好的方式；另外，教材中有：“觀察函數(shù)y＝f（x）的圖象（圖略），平均變化率表示什么？”，它就是從幾何角度引導(dǎo)學(xué)生理解概念——割線的斜率。
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師生活動
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教學(xué)方法的使用
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教師B在教學(xué)時，借助多媒體演示，逐步縮短區(qū)間長度，引導(dǎo)學(xué)生計算并觀察相應(yīng)的平均變化率的變化趨勢，揭示數(shù)值逼近和圖形逼近的過程，使得瞬時變化率概念的出現(xiàn)變得較為自然，收到了較好的啟發(fā)效果，但在這過程中，應(yīng)更多關(guān)注學(xué)生已有的認(rèn)知水平（平均變化率）及學(xué)習(xí)瞬時變化率的必要性。另外，兩位老師在對氣球的膨脹率問題的啟發(fā)引導(dǎo)中都存在一些“啟發(fā)表面化”的傾向。
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學(xué)生能力的培養(yǎng)
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在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，是否應(yīng)該重點培養(yǎng)學(xué)生的兩種能力，（1）概括能力：首先引導(dǎo)學(xué)生對問題情境的各種屬性進(jìn)行分化，再類化，最后把它納入到新的概念系統(tǒng)中去，在這過程中兩位老師做得不是很充分；（2）數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力：語言表達(dá)是概念學(xué)習(xí)過程中一個很重要的環(huán)節(jié)，因此，概念的得出盡量由學(xué)生來表達(dá)、描述，并由學(xué)生不斷補充、完善，這也是學(xué)生深刻理解概念與否的一個重要標(biāo)志，在這個環(huán)節(jié)上，兩位老師放開的力度是否應(yīng)更大些？
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學(xué)生個性的發(fā)展
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新課程改革中要求教師給學(xué)生更多的自主空間，但事實上，教師在教學(xué)中基本上是引導(dǎo)學(xué)生跟著自己的框框走，教師很擔(dān)心學(xué)生在課堂中出現(xiàn)有背教師思路的狀況。其實在課堂教學(xué)中，我們應(yīng)常常提醒自己，我們的教學(xué)行為不要拘泥于某個問題本身，應(yīng)更多著眼于學(xué)生的思維活動。學(xué)生的有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，所以安排課堂學(xué)生活動，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的活動過程，就是為學(xué)生的感受、體驗和思考提供有效途徑（陶維林老師）。顯然，兩位老師在概念形成過程中提供給學(xué)生自主探究的時間與空間還很欠缺，真正能夠發(fā)展學(xué)生個性的片斷比較少。
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課堂提問的時效
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課堂提問是一門藝術(shù)，問題的設(shè)問應(yīng)考慮時間點、思維度、整體性等，設(shè)問不是簡單判斷是與不是，而應(yīng)順應(yīng)學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把問題定位在“跳一跳，摘得到”，讓學(xué)生能主動思考，童元意老師在課堂提問的教學(xué)反思中提供了一些統(tǒng)計數(shù)據(jù)，很有參考價值。兩位教師都采用了吹氣球問題，通過吹氣球讓學(xué)生觀察氣球的變化情況, 學(xué)生的回答都局限在是體積增大,半徑越來越大上,而很難發(fā)覺氣球的半徑增加越來越慢，原因在于除了現(xiàn)象確實不是很明顯，平均膨脹率這一概念對于學(xué)生來說比較陌生外，老師在設(shè)問的方式與表述指向上是否不夠明確、恰當(dāng)？從而導(dǎo)致提問的效果不理想。
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參考文獻(xiàn)
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