橢圓型偏微分方程(調和函數(shù))

平均值定理

設是連通開集,有,定義的平均值為

或者

這里單位球面的面積

若有平均值性質,則非常數(shù)僅在邊界上取極值.

證明 反證.不妨設是的最大值點,則

則

調和函數(shù)具有平均值性質,反之則是光滑的調和函數(shù).

證明 若調和,對任意的,有

故

反之,我們說明其光滑性體現(xiàn)在它可以寫成卷積的形式.

設滿足

令, ,則

梯度估計

設在中調和,則

證明 當時,由平均值性質可知

故

若時成立,記,其中,則

對任意的,有

即

取

有

我們有如下二則推論.

(1) 若非負調和,則.

(2) 上的有界調和函數(shù)是常數(shù).

調和函數(shù)是解析的.

證明 固定,取, ,則

當時,有.

Harnack不等式

設非負調和,則對任意緊集,存在常數(shù),使得

證明 設,則對任意,有

類似地,有

對于緊集,存在有限覆蓋.對任意,有

Weyl

設,且滿足

則調和.

證明 設,我們來說明的情形.定義

則

記,則

此時

即

計算可知

故

即

此時

這表明具有平均值性質,故是調和的.

參考文獻

[1]劉憲高.橢圓型偏微分方程,高等教育出版社, 2015.

[2]D. Gilbarg and N. Trudinger, Elliptic Partial Difrential Equations of SecondOrder, Second edition,Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 224. Springer-Verlag, 1983.

[3]姜禮尚,孔德興,陳志浩.應用偏微分方程,高等教育出版社, 2008.