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這期推送可能稍微數(shù)學(xué)味濃一點(diǎn)，不過(guò)別擔(dān)心我們會(huì)一步一步地開(kāi)始，先把我們的目的給出來(lái)，我們是想要得到傅里葉變換的表達(dá)式，更精細(xì)一點(diǎn)地說(shuō)，我們想要得到下面這個(gè)表達(dá)式： 
等式1
傅里葉變換是一種將現(xiàn)實(shí)世界信號(hào)分解為不同頻率和振幅的正弦波的工具。因?yàn)樗軌驈V泛地應(yīng)用于信號(hào)處理（如了解聲音信號(hào)中低音頻率和高音頻率的強(qiáng)度）、圖像處理、雷達(dá)等，所以我們對(duì)它的興趣其實(shí)還挺濃的。從數(shù)學(xué)技術(shù)上講，傅里葉變換可以將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)。
圖1.
下面讓我們從最基本的東西開(kāi)始。我們假設(shè)有一個(gè)物體沿圓形路徑移動(dòng)，距離圓心的距離為A米，如下所示。
圖2.
由基本的圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)我們知道如果物體在t秒的時(shí)間內(nèi)發(fā)生θ弧度的角位移，則其角速度ω可以寫(xiě)成：
等式2。
物體完成一個(gè)完整圓周（2*π 弧度）或到達(dá)其出發(fā)點(diǎn)所花費(fèi)的時(shí)間稱為時(shí)間周期。在我們的分析中，我們將時(shí)間周期視為T。
圖3.
所以現(xiàn)在角速度ω現(xiàn)在可以寫(xiě)成
公式3
這里我們認(rèn)為時(shí)間段只是T，但通常做法是將時(shí)間段設(shè)置為2T ，盡管這會(huì)影響我們得到的最終結(jié)果，但無(wú)論是T還是2T ，在本質(zhì)都是一樣的。
圖4.
現(xiàn)在，該圓上的任意一點(diǎn)都可以用x和y坐標(biāo)表示，我們的物體以T秒的時(shí)間段完成整個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們繪制出不同時(shí)間的y值。該軌跡的圖形如下所示。
圖5.
該圖是沿y軸的一維運(yùn)動(dòng)。它遵循正弦曲線，從圖4中可以知道：
等式4。
接下來(lái)讓我們綜合一下到目前為止我們了解的信息：
等式5。
在圓周運(yùn)動(dòng)中，Omega ω 表示角速度，現(xiàn)在當(dāng)我們沿y軸（一維）追蹤運(yùn)動(dòng)時(shí)，ω 表示角頻率，我們將在其余的分析中使用這種表示形式。上面的表達(dá)式僅給出了正弦波的特定形狀。我們可以通過(guò)下面的表達(dá)式概括任意振幅和角頻率的正弦波。
等式6。
接下來(lái)，如果我們繪制整個(gè)時(shí)間段T內(nèi)不同時(shí)間的x值，我們將看到如下所示的圖。
圖6.
該圖是余弦曲線圖，再次利用圖4可以寫(xiě)成
等式7。
我們可以像對(duì)y進(jìn)行同樣的替換，得到
等式8。
上面是余弦的表達(dá)式，我們可以用一下誘導(dǎo)公式，將上述方程以正弦形式寫(xiě)成如下形式
等式9。
現(xiàn)在，當(dāng)我們看到圖5和圖6時(shí)，我們會(huì)看到在時(shí)間0時(shí)，y從0開(kāi)始，而x從A或最大值開(kāi)始。x和y的相位差為π/2。值得注意的一點(diǎn)，x和y仍然表示物體在圓上的位置，但我們已經(jīng)將它們隔離開(kāi)來(lái)，并試圖將它們隨時(shí)間的進(jìn)展獨(dú)立地表示為時(shí)間函數(shù)。
這樣做的原因是我們現(xiàn)在可以將x或y隨時(shí)間的進(jìn)展與任何現(xiàn)實(shí)世界的時(shí)間變化信號(hào)（例如電信號(hào)或聲音信號(hào)（壓力波）等）相關(guān)聯(lián)。
接下來(lái)我們可以討論一下傅里葉級(jí)數(shù)，可能與我們迄今為止討論的內(nèi)容略有不同，但我們將反向進(jìn)行并嘗試與迄今為止討論的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)。因此，傅里葉級(jí)數(shù)背后的想法是，任何由f(t)定義的信號(hào)都可以用正弦和余弦的無(wú)窮和來(lái)表示，數(shù)學(xué)上寫(xiě)為
等式10。
這也稱為合成方程，該方程適用于時(shí)間周期為T的信號(hào)f(t)，我們可以將方程分為兩個(gè)項(xiàng)，并檢查每個(gè)項(xiàng)的圖形是什么樣子，然后我們就可以對(duì)整個(gè)方程有一個(gè)了解。讓我們首先考慮余弦項(xiàng)，展開(kāi)如下所示，為了繪制圖形，時(shí)間周期T被視為1，并且振幅a_n選擇0.1為增量。
等式11。圖形表示如下。
圖7.現(xiàn)在來(lái)看第二項(xiàng)正弦項(xiàng)及其對(duì)應(yīng)的圖形，參數(shù)的設(shè)置與余弦項(xiàng)是一致的
等式12。
圖8.
這些圖是該級(jí)數(shù)中前幾個(gè)項(xiàng)的近似值。正弦級(jí)數(shù)的圖始終從0開(kāi)始，而余弦級(jí)數(shù)的圖始終從最大值開(kāi)始，這意味著它們的相位差為π/2。如果信號(hào)始終從0開(kāi)始，那么我們只能使用正弦項(xiàng)，但使用余弦項(xiàng)可以讓我們獲得相位范圍從0到π/2的信號(hào)。當(dāng)我們將兩者結(jié)合起來(lái)時(shí)，我們就可以看到圖形。
圖9.
我們的下一個(gè)里程碑將是推導(dǎo)出這些系數(shù)的方程。即將進(jìn)行的推導(dǎo)需要對(duì)微積分有所了解，讓我們對(duì)f(t)在時(shí)間段T內(nèi)的積分進(jìn)行求導(dǎo)，以找到系數(shù)。
公式13。
對(duì)于n從0到無(wú)窮大∞的所有值，正弦積分的結(jié)果為0。積分很容易計(jì)算。對(duì)于n > 0 的余弦積分，積分減小到0。但對(duì)于n=0
公式14。
我們可以看到a_0是一個(gè)常數(shù)（在電信號(hào)的背景下也稱為直流偏移），它是函數(shù)f(t)在T上的平均值，現(xiàn)在知道a_0 ，我們可以將傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式重寫(xiě)如下。
公式15
現(xiàn)在我們將cos(2*m*π*t/T)乘以f(t)，并在時(shí)間段 T 上對(duì)其進(jìn)行積分。
公式16
讓我們逐一簡(jiǎn)化右邊的項(xiàng)。第一項(xiàng)涉及a_0，a_0為常數(shù)，積分結(jié)果為 0。
這里有一點(diǎn)積分的計(jì)算技巧，大家可以在分析課上學(xué)到，我們這里就不再詳細(xì)說(shuō)明，現(xiàn)在整理一下我們的結(jié)果：
公式17。現(xiàn)在，我們已經(jīng)推導(dǎo)出a_n的方程。對(duì)于b_n，我們將f(t)乘以sin(2*m*π*t/T)，然后在周期T上積分，然后執(zhí)行與a_n相同的步驟，得到b_n ，如下所示。
公式18。
如果需要的話，我們可以就此打住，我們可以將其稱為三角形式的傅里葉變換。給定任何性質(zhì)的周期信號(hào)，我們都可以使用上述結(jié)果完成傅里葉變換應(yīng)該做的所有事情。但我們將繼續(xù)推導(dǎo)文章開(kāi)頭提到的復(fù)指數(shù)形式。在我們繼續(xù)之前，讓我們簡(jiǎn)單提一下偶函數(shù)和奇函數(shù)。
上面已經(jīng)證明a_n是n的偶函數(shù)，b_n是輸入n的奇函數(shù)，接下來(lái)我們將在公式用歐拉恒等式代替余弦和正弦。
我們?cè)谏弦粋€(gè)推導(dǎo)中做了很多簡(jiǎn)化，但大多數(shù)只是簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算?，F(xiàn)在我們將利用a_n是n的偶函數(shù)，而b_n是n的奇函數(shù)這一事實(shí)。
現(xiàn)在我們可以猜測(cè)下一步該怎么做了。
公式19。
這樣我們就得到了指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的綜合表達(dá)式。我們將利用c_n中a_n和b_n的結(jié)果來(lái)簡(jiǎn)化c_n。
公式20。
因此，我們簡(jiǎn)化了c_n 。這可以視為任何周期信號(hào)T 的傅里葉變換，但傅里葉變換最初是針對(duì)非周期信號(hào)的，我們將繼續(xù)尋找教科書(shū)上的傅里葉變換。讓我們首先總結(jié)一下我們最近的發(fā)現(xiàn)。
到目前為止，本文中得出最新結(jié)果所涉及的步驟似乎很簡(jiǎn)單，現(xiàn)在要解決非周期信號(hào)，接下來(lái)的步驟可能會(huì)讓人有點(diǎn)不舒服，但我們會(huì)嘗試用適當(dāng)?shù)睦碛芍С炙鼈儭Ｒ虼?，?duì)于任何非周期信號(hào)，我們可以說(shuō)它的時(shí)間周期是無(wú)窮大 (∞)。我們需要將這個(gè)想法代入上述方程中以得出傅里葉變換。讓我們看一下周期信號(hào)的c_n是什么樣子。
圖10.
請(qǐng)注意，這些值是離散的，即c_n 的值是n= -2、-1、0、1、2、3，并且沒(méi)有介于兩者之間的值。用f(t)中的c_n的完整表達(dá)式代入。
公式21。
引入頻率。角頻率與頻率的關(guān)系為。
現(xiàn)在我們有兩種方式來(lái)表達(dá)傅里葉變換，要么用角頻率 ω，要么只用頻率 f，我們將使用角頻率ω?，F(xiàn)在我們將考慮時(shí)間段T趨于∞。
當(dāng)T接近∞ 時(shí)， Δ ω接近0，nΔω變?yōu)檫B續(xù)變量ω
圖11.
求和變成積分，我們可以將 Δω 重寫(xiě)為 dω。
當(dāng)認(rèn)為函數(shù)f(t) 的周期為T(mén) 時(shí)，它被限定在0 和 T之間。讓我們將函數(shù)移動(dòng)到-T/2和+T/2之間，并且不會(huì)發(fā)生任何變化，因?yàn)橹芷谌匀粸橄嗤腡。我們這樣做是因?yàn)槲覀兛梢云交貙O限從-∞ 過(guò)渡到 +∞ 。
讓我們用∞替換T并定義f(ω)
最后一個(gè)表達(dá)式是逆傅里葉變換的表達(dá)式，最后我們得到了傅里葉變換的表達(dá)式，即
這就是傅里葉變換。
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