如何理解離散傅里葉變換（一）

——實數(shù)形式傅里葉變換

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本文作者：隨煜而安  二零一五年五月二十三日

原創(chuàng)作者：July、dznlong  

推薦閱讀：

1.The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing，By Steven W. Smith, Ph.D。http://www./pdfbook.htm。

2.July大神博客  點擊打開鏈接

3.dznlong大神博客   點擊打開鏈接

4.高等數(shù)學/數(shù)學分析中關(guān)于傅里葉級數(shù)，三角函數(shù)正交系的部分內(nèi)容

5.深入淺出的講解傅里葉變換（個人感覺講的一般，但是配圖很形象幫助理解）  點擊打開鏈接

說明：

I、本文中闡述的離散傅里葉變換方法是July、dznlong 兩位根據(jù)此書：The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing，By Steven W. Smith, Ph.D.而翻譯而成的，此書地址：http://www./pdfbook.htm。

II、同時，有相當一部分內(nèi)容編輯整理自dznlong、July兩位的博客，本文是根據(jù)兩人文章的思路添加上一些個人的想法以及補充一些細節(jié)的成果。上面也貼出了其博客地址，向原創(chuàng)的作者表示致敬。

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談?wù)劯道锶~變換

開始進入正題：

“關(guān)于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解”---dznlong，

那么，到底什么是傅里葉變換算法?傅里葉變換所涉及到的公式具體有多復雜列?這篇文章我借鑒兩位大神的思路，并且先不列出一些復雜的公式，一步一步的引出我們要研究的東西，盡量做到通俗易懂。

傅里葉變換（Fourier transform）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學者傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀念。傅里葉變換就是一種變換而已，只是這種變換是從時間轉(zhuǎn)換為頻率的變化。

傅里葉變換的提出：

傅立葉是一位法國數(shù)學家和物理學家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier于1807年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文，論文里描述運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號都可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成。 當時審查這個論文拉格朗日堅決反對此論文的發(fā)表，而后在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。

誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。

我們觀察下圖，直觀的感受一下這個決斷和傅里葉變換究竟在做怎樣的一件事情。（圖片來自：點擊打開鏈接）

    在這兩幾幅圖中，分別代表了兩個傅里葉變換。最前面黑色的線代表的就是要進行變換的時域上的函數(shù)f（t），它可以表示成后面所有彩色表示的正弦波疊加而成的總和。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為f（t）的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發(fā)現(xiàn)了，在兩個正弦波之間可能還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的，或者說時域上的函數(shù)f（t）中不含有這種對應(yīng)頻率的分量。來看一個更為詳細一些的圖：

    對于每個正弦波分量，如果我們只看它的頻率和幅值。那么對于所有分量，就形成了一個以頻率為自變量，幅值為因變量的頻率域上的函數(shù)F（w），也就是頻域圖像。這時，一個時域——頻域的映射就形成了。這個例子中我們可以看出，一個時域上的近似矩形波被分解成了不同頻率分量的正弦波，反過來看，一些不同頻率的正弦波疊加成了一個矩形波。要注意的是，在實際中通常是將時域的函數(shù)變換為不同頻率的正弦波和余弦波的疊加，而不僅僅是一些正弦波的疊加，盡管這并沒有什么不同，因為我們知道正余弦是可以互相表示的。

    到此，在沒有任何公式的情況下，我們也大概知曉了傅里葉變換在做怎樣的一件事情。

傅立葉變換分類

   根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：
1、非周期性連續(xù)信號        傅立葉變換（Fourier Transform） 
2、周期性連續(xù)信號           傅立葉級數(shù)(Fourier Series) 
3、非周期性離散信號       離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform） 
4、周期性離散信號           離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform) 

現(xiàn)在我們要列出一些公式了，先觀察即可，后面會做出詳細的解釋。

     1.連續(xù)傅里葉變換

     一般情況下，若“傅里葉變換”一詞不加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”。連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f（t）表示成復指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。

這是將頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時間域的函數(shù)f（t）的積分形式。

連續(xù)傅里葉變換的逆變換 (inverse Fourier transform)為：

即將時間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。

2.傅里葉級數(shù)

連續(xù)形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數(shù) (Fourier series)的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。

對于周期函數(shù)，其傅里葉級數(shù)是存在的：

其中Fn為復幅度。對于實值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以寫成：

其中an和bn是實頻率分量的幅度。

3.離散時域傅里葉變換
   離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為后者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數(shù)的逆變換。

4.離散傅里葉變換
   離散傅里葉變換（DFT），是連續(xù)傅里葉變換在時域和頻域上都離散的形式，將時域信號的采樣變換為在離散時間傅里葉變換（DTFT）頻域的采樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應(yīng)當被認為是離散周期信號的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應(yīng)當將其看作經(jīng)過周期延拓成為周期信號再作變換。在實際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換以高效計算DFT。

   為了在科學計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數(shù)xn定義在離散點而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，使用離散傅里葉變換（DFT），將函數(shù)xn表示為下面的求和形式：

其中Xk是傅里葉幅度。

現(xiàn)在我們已經(jīng)把四種類型的傅里葉變換的公式給出了，直接看這些公式，就像很多教科書那樣，我想大家跟我一樣都是一頭霧水。 下面是July、dznlong兩位大神給出的一些更為直觀的東西。

我們可以觀察思考下上述傅立葉變換的4種變體的特點

       下圖是四種原信號圖例（從上到下，依次是FT，F(xiàn)S，DTFT，DFT）：

對于計算機來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理。所以首先可以肯定的是，對于計算機中的研究，我們的時域信號需要是離散的。對于我們要處理的輸入信號，考慮如果是非周期性信號的普遍情況。我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說也是不可能實現(xiàn)的。所以頻率域上也要是離散的。所以基于上面的分析，我們下面重點討論和理解的是離散傅立葉變換（DFT），因為只有它才能被計算機適用。

 另外，每種傅立葉變換都分成實數(shù)和復數(shù)兩種方法，對于實數(shù)方法是最好理解的，但是復數(shù)方法就相對復雜許多了，需要懂得有關(guān)復數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復數(shù)傅立葉變換就更容易了，所以我們先把復數(shù)的傅立葉變換放到一邊去，先來理解實數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關(guān)于復數(shù)的基本理論，然后在理解了實數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復數(shù)傅立葉變換。所以本文后面的重點是理解實數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)。

截止到這里，我們簡單闡述了傅里葉變換的一些基礎(chǔ)知識和思想。后面，我們將從相對簡單的實數(shù)傅里葉變換出發(fā)，試著去理解它。

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實數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)

首先，先來看一個關(guān)于實數(shù)離散傅立葉變換(Real DFT)的例子     

通過這個例子，是想引出實數(shù)離散傅里葉變換在數(shù)學或者說程序中的表達方法，并且如果能理解實數(shù)離散傅里葉變換的原理就更好了

下圖是一個實數(shù)原始離散信號圖像：

       這個信號的長度是16，于是可以把這個信號分解9個余弦波和9個正弦波（一個長度為N的信號可以分解成N/2+1個正余弦信號，這是為什么呢？我們稍后再討論，也許結(jié)合下圖你就能已經(jīng)看出其中的原因。參看最后面的證明1）

結(jié)合下面的18個正余弦圖,我想從計算機處理精度上就不難理解，一個長度為N的信號，最多只能有N/2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度范圍），如下圖：

        9個余弦信號：

從左至右，從上到下，分別對應(yīng)著頻率k=0~8；

頻率k=i就代表在長度為N的區(qū)間上存在著i個周期。k越大，周期越小。

        9個正弦信號：

同樣的，從左至右，從上到下，分別對應(yīng)著頻率k=0~8；

       把以上所有信號相加即可得到原始信號，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號的，我們也先不急，后面會說到，先看看對于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個示例圖：

  上圖中左邊表示時域中的信號，右邊是頻域信號表示方法，
從左向右，-->，表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左，<--，表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT)，
用小寫x[]表示信號在每個時間點上的幅度值數(shù)組, 用大寫X[]表示每種頻率的幅度值數(shù)組（即時間x-->頻率X）, 
因為變換到頻率域后有N/2+1種頻率，需要記錄N/2+1個幅值，所以該數(shù)組長度為N/2+1

X[]數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X[]，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[]。

其中，Re是實數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來進行表示，但這里我們不考慮復數(shù)的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達（個人感覺這樣表示是因為更為普遍和常用的復數(shù)形式傅里葉變換的存在，為了在形式上契合它）。還有，在后面我們會知道，復數(shù)形式的傅立葉變換頻率域數(shù)組長度是N，而不是N/2+1。

到此，實數(shù)形式的離散傅里葉變換的表示方法及符號約定我們已經(jīng)說清楚了，并且變換所做的實際工作我們也心里有數(shù)了?，F(xiàn)在，補充上面欠著的關(guān)于“一個長度為N的信號可以分解成N/2+1個正余弦信號”的證明1。

這個問題解決了，不過到這里不知道有沒有人和我有同樣的疑問。為什么變換后的正弦余弦分量的頻率取值都正好是整數(shù)？這個問題將在下面的學習中自然而然的明白。

實數(shù)形式離散傅里葉正變換（DFT）

    由上面的討論我們知道DFT是要將時域長度為N的離散序列x（n）變換為不同頻率取值的正余弦分量，且頻率K取值為0~N/2+1。其實我們正變換要做的是已知時域序列x（n），求頻率域上的幅度值數(shù)組，也就是ReX[] 和ImX[]。

有三種完全不同的方法進行DFT：一種方法是通過聯(lián)立方程進行求解, 從代數(shù)的角度看，要從N個已知值求N個未知值，需要N個聯(lián)立方程，且N個聯(lián)立方程必須是線性獨立的，但這是這種方法計算量非常的大且極其復雜，所以很少被采用；第二種方法是利用信號的相關(guān)性（correlation）進行計算，這個是我們后面將要介紹的方法；第三種方法是快速傅立葉變換（FFT），這是一個非常具有創(chuàng)造性和革命性的的方法，因為它大大提高了運算速度，使得傅立葉變換能夠在計算機中被廣泛應(yīng)用，但這種算法是根據(jù)復數(shù)形式的傅立葉變換來實現(xiàn)的，它把N個點的信號分解成長度為N的頻域，這個跟我們現(xiàn)在所進行的實域DFT變換不一樣，而且這種方法也較難理解，這里我們先不去理解，等先理解了復數(shù)DFT后，再來看一下FFT。有一點很重要，那就是這三種方法所得的變換結(jié)果是一樣的，經(jīng)過實踐證明，當頻域長度為32時，利用相關(guān)性方法進行計算效率最好，否則FFT算法效率較高。現(xiàn)在就讓我們來看一下相關(guān)性算法。--July
 
利用第一種方法、信號的相關(guān)性(correlation)可以從噪聲背景中檢測出已知的信號，我們也可以利用這個方法檢測信號波中是否含有某個頻率的信號波：把一個待檢測信號波乘以另一個信號波，得到一個新的信號波，再把這個新的信號波所有的點進行相加，從相加的結(jié)果就可以判斷出這兩個信號的相似程度。如下圖：

        上面a和 b兩個圖是待檢測信號波，圖a很明顯可以看出是個3個周期的正弦信號波，圖b的信號波則看不出是否含有正弦或余弦信號，圖c和d都是個3個周期的正弦信號波，圖e和f分別是a、b兩圖跟c、d兩圖相乘后的結(jié)果，圖e所有點的平均值是0.5，說明信號a含有振幅為1的正弦信號c，但圖f所有點的平均值是0，則說明信號b不含有信號d。這個就是通過信號相關(guān)性來檢測是否含有某個信號的方法。
 
       第二種方法：相應(yīng)地，我也可以通過把輸入信號和每一種頻率的正余弦信號進行相乘（關(guān)聯(lián)操作），從而得到原始信號與每種頻率的關(guān)聯(lián)程度（即總和大?。?，這個結(jié)果便是我們所要的傅立葉變換結(jié)果，下面兩個等式便是我們所要的計算方法：

       第二個式子中加了個負號，是為了保持復數(shù)形式的一致，前面我們知道在計算時又加了個負號，所以這只是個形式的問題，并沒有實際意義，你也可以把負號去掉，并在計算時也不加負號。

       這里有一點必須明白一個正交的概念：兩個函數(shù)相乘，如果結(jié)果中的每個點的總和為0，則可認為這兩個函數(shù)為正交函數(shù)。要確保關(guān)聯(lián)性算法是正確的，則必須使得跟原始信號相乘的信號的函數(shù)形式是正交的，我們知道所有的正弦或余弦函數(shù)是正交的，這一點我們可以通過簡單的高數(shù)知識就可以證明它，所以我們可以通過關(guān)聯(lián)的方法把原始信號分離出正余弦信號。也就是說，一個帶有多個頻率分量的時域函數(shù)f（t）乘以某個頻率的正交基的積分，其實就等于函數(shù)中對應(yīng)這個頻率的分量與這個頻率正交基的積分，也就求出了函數(shù)與這個頻率的“關(guān)聯(lián)度”。當然，其它的正交函數(shù)也是存在的，如：方波、三角波等形式的脈沖信號，所以原始信號也可被分解成這些信號，但這只是說可以這樣做，卻是沒有用的。

實數(shù)形式離散傅里葉逆變換——合成運算方法(Real Inverse DFT) 

DFT合成等式（合成原始時間信號，頻率-->時間，逆向變換）：

如果有學過傅立葉級數(shù)，對這個等式就會有似曾相識的感覺，不錯！這個等式跟傅立葉級數(shù)是非常相似的：

        當然，差別是肯定是存在的，因為這兩個等式是在兩個不同條件下運用的，至于怎么證明DFT合成公式，這個我想需要非常強的高等數(shù)學理論知識了，這是研究數(shù)學的人的工作，對于普通應(yīng)用者就不需要如此的追根究底了，但是傅立葉級數(shù)是好理解的，我們起碼可以從傅立葉級數(shù)公式中看出DFT合成公式的合理性。                          
       DFT合成等式中的Im X[k]和Re X[k]跟之前提到的Im X[k]和Re X[k]是不一樣的，下面是轉(zhuǎn)換方法（關(guān)于此公式的解釋，見下文）:

       
       但k等于0和N/2時,實數(shù)部分的計算要用下面的等式:

              
       上面四個式中的N是時域中點的總數(shù)，k是從0到N/2的序號。
       為什么要這樣進行轉(zhuǎn)換呢？這個可以從頻譜密度(spectral density)得到理解，如下圖就是個頻譜圖：

       
       這是一個頻譜圖，橫坐標表示頻率大小，縱坐標表示振幅大小，原始信號長度為N（這里是32），經(jīng)DFT轉(zhuǎn)換后得到的17個頻率的頻譜，頻譜密度表示每單位帶寬中為多大的振幅，那么帶寬是怎么計算出來的呢？看上圖，除了頭尾兩個，其余點的所占的寬度是2/N，這個寬度便是每個點的帶寬，頭尾兩個點的帶寬是1/N,而Im X[k]和Re X[k]表示的是頻譜密度，即每一個單位帶寬的振幅大小，但表示2/N（或1/N）帶寬的振幅大小，所以分別應(yīng)當是Im X[k]和Re X[k]的2/N（或1/N）。
 
頻譜密度就象物理中物質(zhì)密度，原始信號中的每一個點就象是一個混合物，這個混合物是由不同密度的物質(zhì)組成的，混合物中含有的每種物質(zhì)的質(zhì)量是一樣的，除了最大和最小兩個密度的物質(zhì)外，這樣我們只要把每種物質(zhì)的密度加起來就可以得到該混合物的密度了，又該混合物的質(zhì)量是單位質(zhì)量，所以得到的密度值跟該混合物的質(zhì)量值是一樣的。--dznlong
 
       至于為什么虛數(shù)部分是負數(shù)，這是為了跟復數(shù)DFT保持一致，這個我們將在后面會知道這是數(shù)學計算上的需要（Im X[k]在計算時就已經(jīng)加上了一個負號（稍后，由下文，便可知），再加上負號，結(jié)果便是正的，等于沒有變化）。
 
       如果已經(jīng)得到了DFT結(jié)果，這時要進行逆轉(zhuǎn)換，即合成原始信號，則可按如下步驟進行轉(zhuǎn)換：
1、先根據(jù)上面四個式子計算得出的值；
2、再根據(jù)DFT合成等式得到原始信號數(shù)據(jù)。

 到此為止，我們對傅立葉變換便有了感性的認識了。但是，這只是在實域上的離散傅立葉變換，其中雖然也用到了復數(shù)的形式，但那只是個替代的形式，并無實際意義，現(xiàn)實中一般使用的是復數(shù)形式的離散傅立葉變換，且快速傅立葉變換是根據(jù)復數(shù)離散傅立葉變換來設(shè)計算法的。隨著作者之后的學習，再總結(jié)出后面的博文。