>>卷積：
沖擊響應(yīng)就是線性系統(tǒng)對(duì)沖擊信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

信號(hào)可以分解為沖擊信號(hào)的平移和幅度上的縮放。

根據(jù)線性系統(tǒng)的性質(zhì)，任何一點(diǎn)（輸入信號(hào)只有一點(diǎn)）對(duì)線性系統(tǒng)的響應(yīng)都可以表示為沖擊響應(yīng)的縮放和平移。

所以任何一個(gè)信號(hào)對(duì)線性系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示為每一點(diǎn)的所產(chǎn)生的經(jīng)平移和縮放的沖擊響應(yīng)的累加，這個(gè)可以從卷積的表達(dá)式看出。

所以知道了沖擊響應(yīng)，就知道線性系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào)的響應(yīng)，描述這種輸入輸出關(guān)系的就是卷積。

以上是從輸入信號(hào)的角度看卷積，每個(gè)輸入信號(hào)上的點(diǎn)都產(chǎn)生一個(gè)縮放和平移之后的沖擊信號(hào)，然后對(duì)這些沖擊信號(hào)進(jìn)行累加。也可以從輸出信號(hào)的角度去看，即每一個(gè)輸出信號(hào)上的點(diǎn)都是由一系列輸入信號(hào)和沖擊信號(hào)相互作用產(chǎn)生的。

一個(gè)N點(diǎn)的信號(hào)和一個(gè)M點(diǎn)的信號(hào)相卷積，其輸出有N+M-1個(gè)點(diǎn)。

相關(guān)是利用卷積來運(yùn)算的，它能在一個(gè)信號(hào)中找到目標(biāo)信號(hào)的位置（根據(jù)相關(guān)值來判斷）。

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>>DFT，以下都是實(shí)數(shù)DFT：
DFT原理
一個(gè)域離散則另一個(gè)域周期。
DFT時(shí)域即離散又周期，所以其頻域即周期又離散。

實(shí)數(shù)DFT，時(shí)域有N點(diǎn)（其實(shí)是周期延拓，一個(gè)周期N點(diǎn)），可以由N/2+1個(gè)正弦信號(hào)和N/2+1個(gè)余弦信號(hào)表示，每個(gè)正余弦信號(hào)也是N點(diǎn)（也是周期延拓，一個(gè)周期N點(diǎn)）。

上面就是DFT的物理意義，N點(diǎn)的實(shí)數(shù)經(jīng)DFT之后是N/2+1個(gè)點(diǎn)的復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的實(shí)部是正弦信號(hào)的幅度，虛部是余弦信號(hào)的幅度。復(fù)數(shù)只是一種數(shù)學(xué)上的表示方法。將正余弦幅度畫出來表示頻譜，稱作直角坐標(biāo)表示法。

每個(gè)正余弦信號(hào)的幅度可以通過相關(guān)的方法求出。

也可以將上述N/2+1個(gè)復(fù)數(shù)表示成模（幅度）和相位，這樣畫出來的頻譜稱作極坐標(biāo)表示法。

頻譜的橫坐標(biāo)有用點(diǎn)數(shù)來表示的，范圍是0到N/2（N/2+1個(gè)數(shù)）；分?jǐn)?shù)表示法，范圍是0到0.5；還有自然頻率表示法，范圍是0到π。

對(duì)DFT時(shí)域離散頻域周期的解釋：因?yàn)殡x散信號(hào)是不連續(xù)的點(diǎn)，即采樣點(diǎn)，這些采樣點(diǎn)可能是一個(gè)頻率的連續(xù)信號(hào)上的某些點(diǎn)，但也可能是比這個(gè)頻率高的連續(xù)信號(hào)上的某些點(diǎn)，還可能是比這個(gè)頻率低的信號(hào)上的某些點(diǎn)，這個(gè)就呈現(xiàn)出了周期性。

DFT性質(zhì)
如果時(shí)域信號(hào)是左右對(duì)稱的，則其DFT變換的相位是線性的，稱作線性相位。特別的，如果時(shí)域信號(hào)關(guān)于原點(diǎn)左右對(duì)稱，則其頻域相位為0，稱作0相位。

DFT時(shí)域取的點(diǎn)越多（采樣頻率不變），其頻譜分辨率越高。這是因?yàn)镹增加，則N/2+1越大，而頻譜的最高頻率不超過1/2的采樣頻率，所以頻譜上的間隔減小，即分辨率提高。

DFT的時(shí)域是周期性的，N個(gè)點(diǎn)為周期；頻域上通常是看0到N/2-1個(gè)點(diǎn)，但它是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，實(shí)部和幅度偶對(duì)稱，虛部和相位寄對(duì)稱，它的周期也是N個(gè)點(diǎn)。

時(shí)域上的平移會(huì)造成相位的斜率發(fā)生改變。

時(shí)域卷積等于頻域相乘。
一個(gè)N點(diǎn)的信號(hào)和一個(gè)M點(diǎn)的信號(hào)（N>M）卷積得到N+M-1個(gè)點(diǎn)。
從頻域上看N點(diǎn)信號(hào)的頻譜N/2+1個(gè)點(diǎn)，M點(diǎn)信號(hào)的頻譜做N點(diǎn)DFT之后也是N/2+1個(gè)點(diǎn)，兩者相乘在IDFT之后得到輸出信號(hào)時(shí)N個(gè)點(diǎn)，這樣就比普通卷積少了M-1個(gè)點(diǎn)，不要忘記DFT是周期性信號(hào)，少了M-1點(diǎn)可能會(huì)造成前后輸出信號(hào)的疊加，但也可能不會(huì)只要N比有效的信號(hào)范圍來的大就行了，這種用DFT求的卷積叫圓周卷積。

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>>FIR/IIR：
FIR：有限脈沖響應(yīng)，通過卷積來求輸出，隨著脈沖點(diǎn)數(shù)的增多，其頻譜特性可以做的很好，并且可以做到使線性相位的，但是速度慢，借助FFT卷積可以提高速度。
常用的有平滑濾波器、sinc窗函數(shù)。平滑濾波器主要用于時(shí)域平滑，可以用遞歸來實(shí)現(xiàn)；sinc窗函數(shù)主要用于頻域?yàn)V波。

IIR：無限脈沖響應(yīng)，通過遞歸方程來求輸出，不同的遞歸系數(shù)就決定了濾波器的特性，濾波特性沒有FIR好，但是速度快。由于是根據(jù)遞歸系數(shù)來確定，而不像FIR那樣是根據(jù)頻域來確定，所以設(shè)計(jì)時(shí)很難確定頻域形狀，所以很難確保是線性相位。
常用的有單極點(diǎn)濾波器、切比雪夫?yàn)V波器。前者用于時(shí)域平滑，后者用于頻域?yàn)V波，切比雪夫的滾降較快，但是有ripple。

關(guān)于IIR極點(diǎn)一般的理解是：極點(diǎn)越多濾波器的性能越好。

通過IIR的遞歸方程進(jìn)行Z變換，可以求出其頻域特性。

當(dāng)M>0時(shí)，M就是IIR濾波器的階數(shù)，表示系統(tǒng)中反饋環(huán)的個(gè)數(shù)。由于反饋的存在，IIR濾波器的脈沖響應(yīng)為無限長(zhǎng)，因此得名。若M=0，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度為N+1，故而被稱作FIR濾波器。

可以直接利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器，因?yàn)槟M濾波器本身就是無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)的。通常IIR濾波器設(shè)計(jì)的過程如下：首先根據(jù)濾波器參數(shù)要求設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的模擬濾波器（如巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器等等），然后通過映射（如脈沖響應(yīng)不變法、雙線性映射等等）將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器，從而決定IIR濾波器的參數(shù)。IIR濾波器的重大缺點(diǎn)在于，由于存在反饋其穩(wěn)定性不能得到保證，而FIR濾波器由于不存在系統(tǒng)極點(diǎn)，F(xiàn)IR 濾波器是絕對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)。