通過Acquisition（如遙感和攝影測量）以及Processing（如地形建模和城市建模）的數據處理，3D GIS將這些數據應用于虛擬地球的渲染（Rendering）與分析（Analysis）。本文介紹了地球的基礎概念，闡述了如何在虛擬地球上加載地形和城市模型（多源數據），并簡要概述了大氣、水流等地球流體現象的基本原理。

地球建模

地球并不是一個完美的球體，而是一個不規(guī)則的橢球體。地球在赤道的半徑略大于極地的半徑，因此我們用橢球模型來表示地球的形狀。這種橢球模型（例如 WGS84 模型）能比圓球模型提供更高的精度。

1. WGS84 概述 WGS84 是世界大地測量系統(tǒng)1984 (World Geodetic System 1984) 的簡稱，是一種用于全球導航衛(wèi)星系統(tǒng)的標準化地理坐標系。它基于地球的橢球模型，定義了地球的形狀和大小，用來精確地確定全球的坐標。

2. 圓球與橢球 地球的模型可以用球體或橢球體表示。球體模型較為簡單，但精度不足。WGS84 使用橢球模型，將地球表示為赤道半徑較長、極地半徑較短的橢球體。其赤道半徑約為 6378137 米，極地半徑約為 6356752.3142 米。

3. Geodetic 與 Geocentric 的區(qū)別

• · Geodetic 坐標系：大地坐標系下，緯度定義為垂直于橢球表面的法線與赤道平面的夾角。

• · Geocentric 坐標系：地心坐標系下，緯度定義為從地球中心指向該點的向量與赤道平面的夾角。

兩者在大部分地球表面并不相同，尤其在緯度大于45度的區(qū)域，兩者的角度差異更為顯著。

1. Geographic to WGS84

將地理坐標（經度 ，緯度 ，高度  轉換為 WGS84 的笛卡爾坐標系 使用以下公式：

步驟：

1. 1. 計算法線方向：其中， 是橢球的長半軸（赤道半徑）， 是橢球的偏心率，計算公式為：

2. 2. 轉換為笛卡爾坐標系：這里， 是相對于橢球表面的高度。

2. WGS84 to Geographic

從 WGS84 坐標系 轉換為地理坐標沒有解析解（closed form），因此需要使用迭代方法。Newton-Raphson 方法是常用的一種快速收斂的迭代算法。

Newton-Raphson 方法

迭代方法旨在找到緯度 ，其基本公式為：

在這個問題中， 表示橢球表面上的幾何關系， 是該函數的導數。通過多次迭代，可以快速接近準確的緯度值。

3. 橢球曲線

在橢球面上計算曲線的采樣點時，通常根據參數化的曲線表達式，沿曲線均勻或按特定規(guī)則分布多個點。一個常見的做法是：

1. 1. 使用橢球的參數方程，指定起點和終點的經緯度。

2. 2. 通過插值計算中間點的經度和緯度。

3. 3. 對每個插值點，應用 Geographic to WGS84 的轉換公式，將地理坐標轉換為 WGS84 坐標系下的  坐標。

這種方法可以確保在橢球表面上生成精確的曲線采樣點，用于渲染或進一步計算。

精度

在渲染像虛擬地球這樣的大規(guī)模環(huán)境時，精度至關重要，因為頂點轉換和深度緩沖都會受到浮點數精度限制的影響。最常見的問題是頂點轉換中的抖動（jitter）以及深度緩沖中的Z-fighting。這些問題的根源在于32位浮點數的有限精度，這種精度在圖形應用中被廣泛使用。

1. 簡述頂點和深度精度問題

• · 頂點精度問題：由于地球尺度巨大，32位浮點數無法精確表示地表的坐標，導致頂點的精度不足，表現為渲染時物體位置發(fā)生輕微抖動（jitter）。

• · 深度精度問題：在設置深度緩沖時，若近遠平面范圍不當，深度緩沖區(qū)的精度不足，可能導致物體之間的深度差異無法正確表示，發(fā)生 Z-fighting 現象。

2. 頂點轉換的精度問題

Jitter 現象的原因：

浮點數的精度限制會導致世界坐標轉換到觀察者坐標時出現誤差。這些誤差在地表或大型場景中累積，尤其是在地球這種大尺度模型中，導致渲染時物體“抖動”。

消除Jitter的解決方案：

• · 相對于中心渲染 (Rendering Relative to Center, RTC)：通過將坐標相對于對象中心點重新計算，使數值更小，減少誤差。適用于小對象，但對大對象仍可能有抖動問題。

• · 相對于眼睛渲染 (Rendering Relative to Eye, RTE)：

• · CPU上的RTE：在CPU上使用雙精度浮點數進行世界坐標到眼睛坐標的轉換。這樣可以消除大尺度場景中的抖動，但會帶來較大的CPU計算負擔。

• · GPU上的RTE：通過將雙精度坐標分解為兩個32位浮點數，可以在GPU上模擬雙精度計算。這樣可以大幅減少抖動，并降低CPU的計算開銷。常用算法是DSFUN90。

數學表達：對于雙精度位置 ，可以將其表示為高位和低位浮點數的組合：

其中  和  分別表示雙精度位置的高位和低位。

3. 深度緩沖的精度問題

Z-fighting 的原因：

由于深度緩沖的非線性特性，當場景的近平面設得過近或遠平面設得過遠時，深度緩沖的精度無法覆蓋整個視錐，導致物體的深度無法正確區(qū)分，產生 Z-fighting 現象。

解決方案：

1. 1. 調整近平面和遠平面：將近平面盡可能調遠，遠平面調近，以最大化深度緩沖的有效分辨率。

2. 2. 對數深度緩沖 (Logarithmic Depth Buffering)：采用對數深度緩沖，可以使深度值的分布更加均勻，特別適合遠距離的渲染場景。在對數深度緩沖中，深度值  的存儲形式為：這種方式有效解決了遠距離物體的深度精度問題。

3. 3. 多視錐體渲染 (Multiple Frustum Rendering)：將場景劃分為多個視錐體，每個視錐體有獨立的深度緩沖，從而提高遠近不同區(qū)域的深度精度。

4. 4. W-buffer： W-buffer 是一種線性深度緩沖方式，相較于傳統(tǒng)的Z-buffer，它直接使用世界坐標中的深度值 ，能夠有效提高近距離的深度精度。不過，由于其對硬件的要求較高，使用相對較少。

4. 總結

• · 頂點精度問題主要通過RTC 和 RTE 技術來緩解，尤其是GPU上模擬雙精度運算的RTE，能有效解決大尺度場景中的抖動現象。

• · 深度精度問題則依賴于更合理的近平面和遠平面設置，以及使用對數深度緩沖和多視錐體渲染等技術來減少Z-fighting。

通過結合以上技術，虛擬地球引擎在大尺度環(huán)境中的渲染精度問題得到了有效解決，從而保證了場景的視覺穩(wěn)定性和真實性。

地形

地球渲染的第一步就是地形渲染。地形主要基于高度圖 (height maps) 的表示方法，這種方法將每個地形點的高度值以柵格化的方式存儲。高度圖數據能夠通過法線計算 (normal computation) 來渲染不同的光照效果，同時使用著色 (shading) 技術使地形表現更加逼真。此外，地形表示還可以包括體素、隱函數等其他方法，但高度圖是最為常用的地形表示手段。

海量地形渲染的關鍵在于高效處理和顯示大范圍、復雜的地形數據。為了解決性能瓶頸和資源管理問題，海量地形渲染主要分為以下四個部分：細節(jié)層次控制 (LOD)、預處理、出核渲染 (Out-of-Core Rendering) 和 剔除 (Culling)。

1. 細節(jié)層次控制 (LOD)

LOD (Level of Detail) 是渲染復雜場景時常用的技術，通過降低遠距離或細節(jié)不明顯的對象復雜度，來提升渲染效率。對于地形來說，LOD的實現包括以下幾種方法：

• · 離散LOD：將地形分割為不同分辨率的網格，根據距離選擇合適的LOD版本。較遠處的地形使用低分辨率網格，近處則使用高分辨率。

• · 連續(xù)LOD：通過連續(xù)的細節(jié)層次切換，使得地形過渡更加平滑。通常使用四叉樹或八叉樹結構存儲不同分辨率的地形塊。

• · 屏幕空間誤差 (Screen-Space Error)：LOD的選擇基于屏幕上像素級別的誤差，確保在降低復雜度的同時，視覺效果不受影響。屏幕空間誤差是根據物體與攝像機的距離、視角等參數計算的，通過限制誤差范圍來保證渲染質量。

Cracking問題：LOD的邊界處常會出現裂縫（Cracking），這是由于不同細節(jié)層次之間的頂點對齊問題引起的。為了解決這個問題，通常采用垂直裙邊 (skirts) 或添加額外的頂點對齊不同LOD塊的邊緣。

2. 預處理 (Preprocessing)

為了減少實時渲染時的計算量，在加載海量地形數據之前，預處理是必不可少的。預處理步驟包括：

• · 網格簡化：通過簡化算法，減少不重要的頂點或三角形數量，同時保持視覺效果。常見的簡化方法包括網格抽取（mesh decimation）和漸進網格（progressive meshes）。

• · 幾何和紋理壓縮：大規(guī)模地形數據的存儲和傳輸是一個重要的性能瓶頸，因此使用壓縮技術至關重要。幾何壓縮可以通過減少頂點和面數據的存儲需求來提高性能，而紋理壓縮（如DXT格式）通過有損壓縮減少內存占用和帶寬消耗。

這些預處理步驟能有效降低數據的大小，并提高GPU加載和處理的速度。

3. 出核渲染 (Out-of-Core Rendering)

海量地形數據通常遠超系統(tǒng)內存容量，因此需要通過出核渲染技術，僅在渲染時加載當前視圖需要的數據。出核渲染的關鍵包括：

• · 分頁：地形數據被劃分為多個塊，并在需要時分頁加載進內存。隨著視角的移動，新的地形塊會被逐步加載，而不需要的塊則會被卸載，從而節(jié)省內存。

• · 漸進加載：為了避免突然出現的加載延遲，分頁通常使用漸進加載方式。即先加載較低分辨率的地形數據，然后逐步替換為高分辨率數據。這種方式能夠在用戶移動視角時保持流暢的體驗。

出核渲染確保了地形數據的實時流式加載，使得虛擬地球能夠處理超出內存限制的大規(guī)模數據集。

4. 剔除 (Culling)

剔除技術用于減少渲染不必要的地形部分，以提升性能。常見的剔除技術包括：

• · 視錐剔除 (View-Frustum Culling)：只渲染視錐體內的地形部分。通過快速計算每個地形塊的邊界體（bounding volume），可以高效地剔除不在攝像機視角中的地形。

• · 地平線剔除 (Horizon Culling)：在地球表面渲染時，許多遠處的地形塊可能位于地平線以下，被地球遮擋。通過地平線剔除，可以避免渲染那些不可見的地形，從而提高性能。

• · 快速分層裁剪：平面遮蔽 技術，層次包圍體（BVH），減少檢查次數，提升渲染性能（15-34%）。

• · 面向包圍盒裁剪：面向包圍盒（OBB），比傳統(tǒng)包圍球更精確，在地平線以下減少渲染，提升性能10-50%。

多源數據

多元數據的數據規(guī)范代表則是Cesium的3D Tiles和超圖的S3M（我個人也曾經從事過S3M的開發(fā)工作）。3D Tiles（用于Cesium）和S3M（空間3D模型）是處理和可視化大規(guī)模、多源3D地理空間數據的關鍵格式，旨在高效傳輸和渲染巨大的3D數據集，包括攝影測量、BIM/CAD模型、點云和地形數據。它支持各種數據格式，并將它們融合成一個可視化層。廣泛應用于虛擬地球、數字孿生和元宇宙項目中。

之前介紹的城市建模數據以多源數據的形式展現在虛擬地球上。這種數據可以看作是地形數據的升級版，其主要區(qū)別在于兩個方面：首先是LOD（細節(jié)層次），多源數據覆蓋特定自定義范圍，具有更強的自適應性和局部連續(xù)性；其次是多源的處理方式更加復雜。因此，多源數據向下兼容地形數據，現在有趨勢將地形也視為多源數據的一種形式，以實現數據層面的統(tǒng)一。

LOD（細節(jié)層次）與地形的區(qū)別：

傳統(tǒng)的地形LOD系統(tǒng)根據距離調整細節(jié)（遠離攝像機時減少細節(jié)），而3D Tiles和S3M則應用了更先進的技術。它們使用分層結構和自適應LOD，確保在重要或近距離的地方提供最詳細的渲染，而在遠處則減少細節(jié)，避免系統(tǒng)資源過載。

這里推薦一個有意思的LOD剖分庫：S2Geometry，用于通過將地球表面映射到單位球上來處理地理數據。該庫采用 S2 單元來劃分地球表面，將其分為一系列固定層級的正方形。這種方法使得在多種地理數據應用中，能夠有效地進行數據分割和索引，適用于地圖數據的空間索引、區(qū)域查詢和大規(guī)模數據處理。通過將二維地球坐標映射到三維球面，可以高效處理海量的**地理信息系統(tǒng)（GIS）**數據。

海量數據傳輸和渲染：

兩種格式都注重流式傳輸，通過瓦片化組織數據，實現局部加載，減少帶寬和系統(tǒng)資源消耗。瓦片化的流式傳輸對于在Web和移動應用中實時渲染大規(guī)模數據集至關重要，確保在高度詳細的3D環(huán)境中進行平滑導航，例如整個城市或廣闊的自然景觀。

數字孿生和元宇宙應用：

在數字孿生和元宇宙的背景下，3D Tiles和S3M支持實時可視化、模擬和分析大規(guī)模的地理空間數據集。這些技術使得建模和交互數字化物理環(huán)境成為可能，形成了虛擬城市和復雜模擬的基礎，如智慧城市管理或災害應急。

通過瓦片化流式傳輸、自適應LOD和多源數據集成，3D Tiles和S3M成為構建元宇宙和數字孿生的關鍵技術

另外，游戲中的開放世界技術和產品值得我們借鑒。通過將數字現實與現實世界相結合，以更廣闊的視角思考，我們會發(fā)現許多有趣且有價值的事物。這種交互不僅能激發(fā)創(chuàng)意，還能推動我們對世界的理解與探索。

風場與流體模擬

城市風場，流體模擬和污染物擴散的數值模擬是實現數字孿生和智慧城市管理的重要工具。通過模擬大氣邊界層、浮力效應和湍流動能等關鍵物理現象，研究者能夠預測污染物的擴散路徑、評估建筑物風環(huán)境，并優(yōu)化城市規(guī)劃。這些研究不僅有助于提高城市居民的生活質量，還能為應對氣候變化、制定環(huán)保政策提供科學依據。這里給出一個簡單的概念總結。

1. 1. 大氣邊界層（ABL）：描述地球表面與自由大氣層之間的動態(tài)過渡區(qū)域，受摩擦力、熱交換和污染物排放等地面因素影響。ABL內風速隨著高度變化，呈現湍流和層流混合。

2. 2. 浮力與虛擬位溫：浮力使得熱空氣上升，冷空氣下沉，影響大氣湍流的形成。虛擬位溫用于分析濕空氣和干空氣的密度差異，幫助更精確預測空氣流動。

3. 3. 微氣象學：研究ABL中小尺度天氣現象，特別是與地表摩擦和熱流相關的湍流現象。

4. 4. 湍流動能（TKE）：通過湍流的渦旋運動傳遞動量、熱量和物質，CFD中用于模擬城市中污染物的垂直混合。

5. 5. 中性ABL流的模擬：在中性條件下模擬湍流時，風剪切和浮力共同作用。湍流模擬有助于預測高污染情況下的風速變化和擴散路徑。

在流體模擬中，有多種經典的方法用于處理水流、風場等上述現象。以下是常見的幾種模擬方法，涵蓋了從粒子方法到網格方法的基本原理和應用場景。

1. 光滑粒子流體動力學 (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)

SPH 是一種基于粒子的流體模擬方法。它通過將流體分解為大量粒子，并跟蹤每個粒子的運動和相互作用來模擬流體的行為。SPH 是無網格方法，它避免了對空間的明確劃分，粒子之間的距離可以動態(tài)變化，這使得 SPH 非常適合處理自由表面、潰壩問題以及大變形流體問題。

SPH 的核心方程是基于粒子的質量、動量和能量守恒方程，并通過插值核函數將物理量擴展到整個模擬域：

其中， 是任意物理量（如密度、壓力）， 是核函數， 是平滑長度， 是粒子質量， 是粒子密度。

SPH 在模擬水流時，特別適合處理具有大規(guī)模自由表面變化的流體，比如水的濺射或潑灑。在風場模擬中，SPH 也可用于模擬局部空氣流動，但由于其計算復雜度較高，通常用于小規(guī)模流動場的模擬。

2. 基于位置的方法 (Position Based Dynamics, PBD)

位置基方法主要用于模擬柔性物體和流體，通過對粒子的位移直接進行約束處理，確保粒子系統(tǒng)滿足一定的幾何和物理約束條件。相比傳統(tǒng)的基于力和加速度的方法，PBD 直接操作粒子的位置，這使得算法具有良好的穩(wěn)定性和可控性。

PBD 中常用的方程是通過迭代調整粒子的位置來滿足約束條件。對于流體模擬，可以通過位置修正的方式控制流體的密度，確保流體的可壓縮性。

PBD 被廣泛應用于實時流體模擬，例如游戲和交互式應用中，尤其是當流體與其他柔性物體（如布料、頭發(fā)）交互時，PBD 能有效處理這些復雜的物體交互。

3. 矢量場法 (Vector Field Methods)

矢量場法是一種基于網格的流體模擬方法，通過對空間區(qū)域進行網格劃分，并在網格上定義速度場、壓力場等物理量來描述流體的運動。最常見的矢量場法包括歐拉法和拉格朗日法，分別對流體運動進行歐拉視角（固定空間點）和拉格朗日視角（跟蹤流體粒子）。

在矢量場法中，流體的運動受控于納維-斯托克斯方程，該方程描述了粘性流體在力學和熱力學作用下的運動行為：

其中， 是速度場， 是壓力， 是流體的動力粘度， 是外力項。

矢量場方法特別適用于大規(guī)模風場模擬和湍流流動的仿真。其優(yōu)勢在于能夠有效處理復雜的邊界條件，并精確模擬風場中的渦旋、流體分離等現象。

4. 層次體積法 (Hierarchical Volume Methods)

層次體積法是一種基于體積的流體模擬方法，采用多層次分辨率對流體進行建模。通過分層次調整網格的密度，可以在保留細節(jié)的同時減少計算量。該方法在處理大規(guī)模流體模擬（如海洋波浪）時表現出色。

層次體積法的核心思想是通過自適應網格細化，保證計算資源集中在感興趣的區(qū)域，如水面附近或波浪形成區(qū)域。流體的運動仍然由納維-斯托克斯方程控制，但通過網格分辨率的動態(tài)調整，可以極大減少計算復雜度。

個人感想

虛擬地球的構建是一項極具挑戰(zhàn)性卻充滿樂趣的工作。我時常半開玩笑地說，我們所做的事情就像創(chuàng)世紀，只是上帝用了七天，而我們可能需要一生。我也常常思考：如果我們將視野從地球擴展到太陽系，甚至黑洞般的宇宙深處，該如何進行建模？宇宙的中心又該如何定義？像Interstellar中的黑洞模擬，究竟需要怎樣的渲染技術才能還原那般壯麗的景象？正如莊子所言：“是故大知觀于遠近，故小而不寡，大而不多，知量無窮。”