女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

裝飾圖案

M.c.埃舍爾的藝術作品展現(xiàn)了許多世界，這些世界以多種方式和原因吸引著人們。吸引力的來源之一是重復圖案的普遍魅力。至少從新石器時代開始，每一種人類文化都用裝飾圖案來裝飾墻壁、地板、天花板和紡織品。埃舍爾的作品源于這一豐富的遺產(chǎn)，但他的圖案環(huán)環(huán)相扣，獨具匠心。埃舍爾的海報、T恤衫和其他裝飾品似乎永遠不會讓公眾厭倦，它們被無數(shù)專著、文章和教科書（尤其是數(shù)學和其他科學領域）無限復制（有人說是不厭其煩地復制）。由于埃舍爾的原因，對稱不僅很酷，而且很熱門。

我想給這種熱情潑點冷水，讓對稱性再次冷卻下來。我們做得太過分了。埃舍爾的確可以幫助我們粉飾數(shù)學，尤其是對稱數(shù)學。首先，我們看一幅埃舍爾的版畫，比如《美洲鱷》。一旦他們被吸引住了，我們就只關注重復圖案，而忽略其他部分（圖 1）。下一步是假設這個圖案 “真的 ”要永遠延續(xù)下去，盡管埃舍爾只給了我們一小部分。也就是說，我們必須假設我們看到的那部分圖案是一個色塊，就像墻紙的色塊一樣，要不斷重復以填滿整個空間。色塊的數(shù)學術語是基本區(qū)域，而整個圖案就是該區(qū)域的軌道。鑒于該區(qū)域以及該區(qū)域的副本拼接在一起以構建軌道的方式，人們可以很容易地發(fā)現(xiàn)圖案的平移和其他對稱性。很快，他們就能愉快地研究高等數(shù)學[14]。

圖1：美洲鱷的重復圖案，埃舍爾的對稱圖25

這當然沒有錯，但為什么我們?nèi)绱斯虉?zhí)于對稱性呢？我們的固執(zhí)使我們忽視了不對稱，而我希望告訴大家，不對稱同樣具有豐富的數(shù)學內(nèi)涵，并能帶來令人興奮的新挑戰(zhàn)。

數(shù)學家和物理學家赫爾曼·韋爾（Hermann Weyl）對對稱性非常感興趣，他認為古代的圖案提供了過去的數(shù)學的聯(lián)系。韋爾似乎認為，古人在某種意義上理解了對稱群的概念，也理解了這樣一個事實：對于二維重復圖案來說，對稱群的數(shù)量是有限的（確切數(shù)量是17個）：“在古代裝飾紋樣中，尤其是埃及裝飾紋樣中，可以找到所有17個對稱群的例子。這些圖案所反映出的幾何想象力和創(chuàng)造力的深度，無論怎樣評價都不過分。它們的構造遠非數(shù)學上的瑣碎。裝飾藝術以隱含的形式包含了我們已知的最古老的高等數(shù)學”。[18, p. 103]

多年前，當我第一次讀到這句話時，我覺得它非常吸引人，它激發(fā)了我對數(shù)學在文理學院中的作用的思考和實踐。但隨著歲月的流逝，我越來越懷疑這句話和對稱的重要性。對稱是部分與整體之間的對話。至少在自然界中，部分與整體似乎同等重要；兩者都不是對方的近似。如果我們真的想理解對稱，如果我們真的想理解數(shù)學在科學和藝術中的作用，那么我們就不能僅僅把對稱作為抽象的跳板，而是要努力理解這些部分是如何出現(xiàn)的，以及它們?yōu)槭裁春驮谑裁匆饬x上產(chǎn)生了我們認為我們所看到的整體。

在一組運動下確定一個基本區(qū)域及其軌道，并認為我們理解了這種圖案，這實在是太誘人了。當然，在某些情況下，這是數(shù)學家最好的方法。例如，一個多世紀前，費德洛夫（Federov）和舍恩弗利斯（Schoenflies）列舉了230個三維對稱群，當時，圍繞晶體結構的科學爭論正酣。數(shù)學家舍恩弗利斯宣稱：“在基本領域內(nèi)，晶體學家可以為所欲為?！边@不禁讓人對舍恩弗利斯深表同情。

另一方面，至今還沒有人能夠通過統(tǒng)計力學或其他方法證明，晶體分子“想要”以周期性的方式排列。在某些情況下，它們并不這樣做：自20世紀70年代以來，尤其是1984年發(fā)現(xiàn)準晶體以來，人們已經(jīng)明白了這一點。對于這些晶體來說，根本不存在任何基本域。

而事實上，Weyl對古人的崇拜可能是言過其實了。像國家一樣，各種職業(yè)都在改造自己的過去，以適應現(xiàn)在的需要。我們必須小心不要扮演法國歷史學家儒勒·米什萊的角色，正如本尼迪克特·安德森在《想象的社區(qū)》[1，第198頁]中所解釋的那樣，“他不僅聲稱代表大量匿名死者說話，而且以尖銳的權威堅持認為，他可以說出他們'真正’的意思和'真正’想要的，因為他們自己'不明白’?！?/span>

我們必須小心，即使是埃舍爾！的確，正如多麗絲·沙茨施耐德在《對稱的景象》中所展示的那樣，埃舍爾仔細而全面地為無限重復的模式發(fā)展了自己的分類系統(tǒng)。但事實上，除非科學家朋友要求，否則他會將這些圖案的樣本嵌入其他世界。他把它們作為達到其他目的的手段。

埃及裝飾圖案

我們可能會在古代裝飾圖案中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，但這并不意味著它們的創(chuàng)造者把數(shù)學放在了那里。讓我們仔細看看那些埃及古墓（圖 2）。它們并不是很安寧的地方：每一寸墻壁和天花板都有裝飾。墻上的繪畫描繪的是日常生活；這就是通常所說的“埃及藝術”。我們感興趣的圖案從來都不是畫在墻上的，而是畫在天花板上的。埃及人為什么要把它們畫在天花板上呢？

圖2：埃及古墓內(nèi)部

它們不僅被畫在天花板上，而且不同的圖案經(jīng)常并列在一起（圖 3）。為什么？為什么他們不在天花板上裝飾單一的圖案？藝術家們是想讓天花板成為幾何發(fā)明的采樣器嗎？

圖3：多紋飾墓室天花板，選自史前紡織品

大約一年前，我在一本名為《史前紡織品》的權威書籍中，意外地發(fā)現(xiàn)了關于天花板圖案的有趣討論。它的作者伊麗莎白·巴伯不是數(shù)學家，當她寫這本書時，她沒有意識到數(shù)學可以被解讀到這些設計中。巴伯是加州波莫納學院的語言學和考古學教授，他利用這兩種工具來研究史前時期的紡織品生產(chǎn)和傳播。她對埃及的天花板特別感興趣，因為它們能告訴我們許多關于古代貿(mào)易模式的信息。巴伯說，“讓我們從研究埃及人對天花板的一般處理方式開始?！鼈冿@示天空，有或沒有星星……；或是飛翔的鳥兒，仿佛從沼澤灌木叢中驚起……；或者一個葡萄架，就像從正下方看一樣……；或者是一種重復的多色設計，由漆成黃色以模仿木材的建筑線條構成[2，第340頁]然后她注意到許多重復的圖案是常見的埃及墊子圖案，并問道:

那為什么要在天花板上繪制墊子圖案呢？其中一個原因是，為了防止屋頂上的泥土塌下來砸到住戶，人們常常把墊子鋪在橫跨房屋椽子的桿子上。在這種情況下，人們一抬頭就會看到墊子.. .....另一個常見的墊子來源是為遮擋熱帶烈日而搭建的室外涼亭。我們在陸地和船上都能看到這種亭子，在黃色木梁組成的方格或平緩傾斜的網(wǎng)格狀框架上鋪著方格墊子......。[2, p. 341]

難道“流傳下來的最古老的高等數(shù)學”真的只是一組精心復制的墊子嗎？巴伯通過研究一些二維圖案周圍的邊框（圖4）來論證這一結論。她指出，邊框圖案是米諾斯人在經(jīng)重織機上編織的二維圖案的標題。在這里，我們看到了一件非常了不起的事情：雖然邊框圖案周圍的圖案沒有變化，但邊框圖案卻發(fā)生了變化！藝術家為什么要這么做？如果她是一位紡織藝術家，這樣的變化會是......無聊與特定織造技術相互作用的快樂結果；但在繪畫中，人們不會受到經(jīng)線的限制，作品的進展也不會如此緩慢。那么，為什么會有這種特殊的變化呢？[2, 第 348 頁]如果思想的經(jīng)濟性是通往真理的最可靠的指南，那么我們必須同意，畫家們有可能只是在天花板上復制了墊子和編織圖案！

圖4：帶有邊框的圖案，來自史前紡織品

我們能否通過論證墊子本身說明了數(shù)學實驗來拯救韋爾呢？不，不能。墊子覆蓋的區(qū)域很小，上面的圖案是為這些區(qū)域設計的，而不是為無邊界的區(qū)域設計的。而且，正如沃什伯恩和克羅在他們引人入勝的著作《文化的對稱性》[17] 中所指出的， 傳統(tǒng)文化在其器物的對稱性方面往往非常保守。他們可能會在圖案上做一些嘗試，但在對稱性方面，他們延續(xù)的是傳統(tǒng)。

如果巴伯的觀點是正確的，那么我們就必須考慮這樣一種可能性，即古埃及人的審美觀與我們截然不同，他們對覆蓋天花板有著不同的概念：不是對稱的圖案，而是通過并置各種有邊界的圖案而獲得的圖案。

韋爾的這句話并沒有告訴我們?nèi)魏侮P于數(shù)學的知識，但卻告訴了我們一些關于我們自己的事情。它提醒我們，我們每個人（甚至是墊子設計師）對對稱性是多么著迷。事實上，我們似乎天生就有一種秩序感，幫助我們在這個混亂的世界中游刃有余。藝術史學家貢布里希（E.H. Gombrich）寫了一本內(nèi)容豐富的書《秩序感》[9]，講述了這種傾向在藝術中的表現(xiàn)方式。它在數(shù)學中也有表現(xiàn)，而且自古以來就是如此，對規(guī)則實體的永恒迷戀就是明證。我們認為對稱具有美學上的滿足感，而不對稱則令人不安，這可能并非偶然。在中世紀，畸形有時被視為嚴重的不對稱。但是，正因為我們有秩序感，我們才容易尋求規(guī)則性，有時甚至在不存在規(guī)則性的地方找到它。有多少人，不僅是數(shù)學家，還有圖 5 所選書籍的作者[7]，對蜜蜂完美的六角形蜂巢充滿熱情！

圖5：不完美的蜂巢，選自《動物建筑學》

無序：新的前沿

我們對對稱性的探索也有一個不幸的副作用，就是延續(xù)了有序和無序之間的舊二分法，即這些狀態(tài)以平移對稱性的存在與否來區(qū)分，并分別被貼上周期性和非周期性的標簽。這種二分法已經(jīng)過時；幾乎周期函數(shù)、統(tǒng)計力學、混沌、分形、動力系統(tǒng)和許多其他數(shù)學領域告訴我們，“無序”的世界實際上是非常多樣的。

讓我們沿著一條非常古老的數(shù)學思路，去發(fā)現(xiàn)如果我們愿意跨越周期性與非周期性的邊界，就會出現(xiàn)豐富多彩的數(shù)學問題。我們從幾何剖分問題開始，它和馬賽克一樣古老。當然，剖分問題有很多，但一般來說，它們的形式是：一個給定的形狀能否以及以何種方式被細分為數(shù)量有限的其他一個或多個給定形式的形狀？例如，這個經(jīng)典問題的答案在二維中是肯定的，而在三維中是否定的，即給定的任何多邊形（多面體）能否被分割成有限個多邊形（多面體），并重新排列形成相同面積（體積）的任何其他給定的多邊形（多面體）。難道真的是到了20世紀60年代，才有人想到要把圖形分割成有限個更小的復制品嗎？戈隆姆（Golomb rS]）將具有這種特性的多邊形稱為“復拼塊”。(圖 6）

圖6：“椅子”和“獅身人面像”再現(xiàn)拼塊

重復拼塊可以生成無限的非周期性圖案。我們先從一塊拼塊開始，然后將其分割成更小的副本。然后，我們將這些小拼塊放大到原拼塊的大小，再以完全相同的方式將它們細分為自己的副本。無限重復這兩個步驟，我們就會得到一個無限的平面密鋪。這個密鋪本身包含了無數(shù)個尺度上的密鋪（圖 7）。很容易證明的是，如果這些步驟可以清晰地回溯，也就是說，如果在每一層中，只有一種方法可以將該層的拼塊重新組合為下一層的拼塊，那么這個拼塊就是非周期性的。

圖7：生成椅子密鋪的第一步

各種彭羅斯鑲嵌都可以通過這種方式生成，盡管在這種情況下有不止一種拼塊形狀。圖8a顯示了兩個彭羅斯菱形的轉(zhuǎn)換，其中首先進行分離，然后進行“膠合”。也就是說，在生成彭羅斯鑲嵌(圖8b)的迭代過程中，相鄰菱形的分割內(nèi)部的部分被粘合在一起以完成較小的菱形。

圖8. (a)彭羅斯菱形的解剖；(b)生成彭羅斯鑲嵌的第一步。在生成彭羅斯鑲嵌的迭代過程中，相鄰菱形的分割內(nèi)部部分被粘合在一起以完成較小的菱形。

類似的過程會生成所謂的“二進制拼法”（圖 9），其原點是兩個彭羅斯菱形，但分解規(guī)則卻截然不同。人們對這種密鋪法的性質(zhì)還不甚了解。簡單得令人難以置信的“風車密鋪”（圖 10）也是通過迭代分解產(chǎn)生的，它的拼塊以無限多的方向出現(xiàn)。所有這些密鋪--椅子密鋪、彭羅斯密鋪、二進制密鋪和風車密鋪--都是非周期性的，但同時它們又不是“無序的”，當然也不是隨機的。最重要的是，它們彼此迥異[15]。

圖9：“二元”鑲嵌的一部分

圖10：“風車”鑲嵌的一部分

數(shù)學家對非周期鑲嵌現(xiàn)象的下意識反應是試圖拓寬我們的對稱概念。我們已經(jīng)做了很長時間了。這就是數(shù)學結晶學的歷史。正如巴洛和邁爾斯在1900年指出的[3]，“它的發(fā)展歷史是試圖用幾何學表達晶體的物理性質(zhì)的歷史，在這個過程的每個階段，對已知形態(tài)性質(zhì)的訴求驅(qū)使幾何學家拓寬了他的研究范圍，擴大了他對同質(zhì)性的定義。”已經(jīng)為非周期性鑲嵌提出的更廣泛的對稱概念包括但不限于:

·自相似性（我在這里展示的所有平面圖都具有自相似性，但許多有趣的平面圖卻沒有）、

·連續(xù)體的對稱性（我們將簡要討論）、

·所謂的密鋪圖平移模塊的對稱性（我們將不討論），以及上述因素的各種組合。

·以及上述因素的各種組合。

但為什么還要堅持對稱性呢？大約十年前，一位物理學家對我說："我們現(xiàn)在都是非定態(tài)學家了?！彼囊馑际钦f，有趣的問題是如何描述過去被歸為 “非晶態(tài) ”一類的狀態(tài)。但我們?nèi)绾尾拍茏龅竭@一點呢？

解決這個問題的方法有很多；我將指出一個我認為特別有趣的大方向。我們可以將許多這樣的集合與任何密鋪或圖案聯(lián)系起來，例如密鋪的頂點集合就可以（圖 11）。

圖11：彭羅斯密鋪圖的一部分及其頂點集合。頂點集是一個 Delaunay 集

我們需要的基本概念是德勞內(nèi)集，B.N. Delaunay 和他在莫斯科的同事在 20 世紀 30 年代提出了(r, R) 系統(tǒng)。

定義

n 維歐幾里得空間中的德勞內(nèi)集是一個點 A 集，具有兩個性質(zhì)：(i)離散性：存在一個 r> 0，使得任何半徑為 r 的開球都包含最多一個 A 點；(ii)同質(zhì)性：存在一個 R> 0，使得任何半徑為 R 的閉球都包含至少一個 A 點 。

請注意，密鋪法的頂點集（密鋪法的大小均勻有界）是一個 Delaunay 集。在圖11 中 ， 參數(shù)r是薄菱形的短對角線，而參數(shù)R 是由厚菱形的三個頂點定義的圓心。

半個多世紀以來，德勞內(nèi)和他的同事們一直致力于廣泛的研究計劃，其中包括尋找除上述(i)和(ii)之外的最小條件，以確保德勞內(nèi)集合是一個對稱群的軌道。這項研究的高潮是他們在 1976 年證明了 “局部定理”，即全局正則性是局部正則性的結果[4]。

讓[x -y]成為連接x和y的線段。我們將x E A 的全局星 定義為連接x和A中所有其他點的線段集合：

x E A 的有界星 或局部星 （圖 12）或 p 星的構造與全局星類似，只是我們只在 A 中位于半徑為 p的球B(x, p) 內(nèi)的點上畫線段：

圖12：彭羅斯頂點集合中的局部恒星

對于某個給定的p，周期和非周期鑲嵌的頂點集(和其它點集)可以有一個以上的局部星同余類(圖13)設N A (p) = I Sh (x，p) I是計算p-星同余類數(shù)目的函數(shù)。

圖13：具有一類以上頂點星的周期和非周期鑲嵌

人們可以證明如下定理：

一個Delaunay集合A是非周期的當且僅當N A (p)在p趨于無窮大時無界

但正如我們所看到的，非周期性有很多種。研究它們的一種方法可能是考慮N A(p)的行為（我們假設它對p的每個有限值都是有限的）。我們還不知道對于哪種類型的點集，函數(shù)是線性增長的，還是多項式增長的，或是指數(shù)增長的；這是一個難題，但這一研究方向似乎很有希望。

讓我們把一個Delone集合的所有全局星疊加得到的點集稱為它的差集；我們用A-A來表示。也就是說，

在圖14中，我們看到彭羅斯鑲嵌的差集是離散的。這不是二進制鑲嵌的頂點集的情況，它(最終)變得稠密。另一方面，椅子鑲嵌的頂點的差集是一個格。這表明Delane集合中恒星的重疊程度可能是無序的有用表征。

圖14：A和A - A對應三個密鋪。頂部：(部分)彭羅斯密鋪。中間：二元密鋪。下圖:椅子密鋪。線段已被省略

按照Lagarias [10]、[11]和Moody [12]，我們可以考慮越來越嚴格的要求的層次結構:

(a) A - A既不是有限生成的，也不是離散的。

(b) A - A是有限生成的，但不是離散的。

(c) A - A是德勞內(nèi)；等價于A - F 2 A - A，其中F是有限集。

(d)A-A=A+F

(e) A -A = A。

風車狀鑲嵌的頂點集是類型(a)的Delaunay集；二元鑲嵌的頂點集似乎是(b)型，彭羅斯鑲嵌的頂點不是(c)型就是(d)型；椅子拼塊的頂點集是(d)型，有的周期集是(d)型，有的是(e)型。

A - A 無疑是理解 A 的連續(xù)體的關鍵，而連續(xù)體是表征階次的另一種重要方法。連續(xù)體本質(zhì)上是 A - A 的傅立葉變換，但要考慮到某些點是加權的（即重疊）這一事實。這種變換是一種度量，而對度量進行分類的方法眾所周知。我們無法在此詳述，但這些連續(xù)體圖樣清楚地顯示了階數(shù)的增加[15]。

更廣義地說， 理解局部與全局、部分與整體之間的關系，與物理學家統(tǒng)一量子力學和引力理論的努力一樣深刻，一樣重要。對稱只是我們最簡單的情況，群論只是我們最簡單的工具。

現(xiàn)代和后現(xiàn)代數(shù)學

我們在這里進行的不過是連續(xù)與離散之間永恒的對話，這種對話可以追溯到古希臘哲學家。16 世紀的詩人約翰·戴維斯爵士問道：

或者這就是我們所看到的一切、

是否就像閑散的莫菲斯教導一些病態(tài)的大腦一樣？

是由一個個微塵組成的、

這美麗的建筑是如何建成的？

或者它們是用什么方法聚在一起的？

有人說它們是偶然結合在一起的：

是愛讓它們在秩序井然的舞蹈中相遇！

——選自《管弦樂》，或一首關于舞蹈的詩， 約翰·戴維斯爵士，1569-1626 年

今天，對話仍在繼續(xù)。1998 年前夕，《紐約時報》發(fā)表了一份科學家/政治家自問自答的宇宙問題清單。其中包括：

“萬有理論”會是原理理論，而不是粒子理論嗎？它會從上面而不是下面調(diào)用命令嗎？

——肯尼斯·福特，美國物理研究所退休主任

從根本上說，時間的流動是真實的嗎，或者我們對時間流逝的感覺可能只是一種錯覺，掩蓋了真實只是一大堆瞬間的事實？

——賓州州立大學物理學家李·斯莫林。

關于自然法則的對稱性，我在這里只字未提。斯莫林最近出版的《宇宙的生命》[16]一書是一個很好的起點，該書認為這些自然法則很可能是偶然的。我還推薦另一本新書《最初的模態(tài)》（The First Modems）[6]，這本書的作者威廉·埃弗德爾（William Everdell）試圖在我們超越“后現(xiàn)代主義”之前，先了解什么是“現(xiàn)代主義”。

埃弗戴爾認為，“現(xiàn)代主義”本質(zhì)上是從19世紀的“世界從根本上說是連續(xù)的”觀點轉(zhuǎn)向“世界從根本上說是離散的”觀點。他認為，他所討論的數(shù)學家、科學家、藝術家、音樂家和作家——畢加索、斯特林堡、勛伯格、康托爾、戴德金德、羅素、玻爾茲曼、愛因斯坦、喬伊斯、德弗里斯以及其他許多人--都在大約同一時間得出了離散近似于連續(xù)的結論，就像森林是由樹木組成的一樣。這就是時代精神。對稱性非常適合現(xiàn)代主義范式。但現(xiàn)在的時代已經(jīng)是“后現(xiàn)代”了。

當然，許多人認為，正如哲學家理查德·羅蒂（Richard Rorty）最近宣稱的那樣，后現(xiàn)代主義只是一個偽裝成思想的詞語：皇帝根本沒有穿衣服。我不敢茍同。文化后現(xiàn)代主義者似乎還沒有意識到這一點，但我們可以從中看出一種觀念。如果說現(xiàn)代主義認為整體實際上是由部分組成的，那么后現(xiàn)代主義則更進一步，否認了任何整體的存在。他們說，整體是我們自己制造的藝術品，是我們集體想象的產(chǎn)物，他們試圖解構這些藝術品。鐘擺又擺回到了德謨克利特、原子和虛空。

但是，正如歷史并沒有隨著冷戰(zhàn)的結束而終結，連續(xù)與離散之間的對話也沒有隨著后現(xiàn)代主義的結束而終結。在數(shù)學和藝術中，在物理學和語言中，在音樂和生物學中，我們再次發(fā)現(xiàn)，離散和連續(xù)神秘地交織在一起。如果我們能夠超越對稱的神秘感，我們就可以開始--用紡織品的比喻--解開它們。

參考文獻

[1] Benedict Anderson, Imagined Communities: reflections on the origins and spread of nationalism, London, Verso, 1983.

[2] Elizabeth J.W. Barber, Prehistoric Textiles, Princeton University Press, 1991.

[3] W. Barlow and H. Miers. "The Structure of Crystals, Too in Report of the Meeting of the British Association for the Advancement of Science, 71st meeting. London, 1901, pp. 297-337.

[4] B.N. Delone (Delaunay), N.P. Dolbilin, M.l. Shtogrin, and R.Y. Galiulin, "A local criterion for regularity of a system of points," Soviet Math. Dokl. 17, No.2 (1976), 319-322.

[5] N. Dolbilin, J. Lagarias, and M. Senechal, "Multiregular point set," Discrete and Computational Geometry, Vol. 20, 1998, pp. 477--498.

[6] William Everdell, The First Modems, University of Chicago Press, 1997.

[7] Karl von Frisch, Animal architecture, translated by Lisbeth Gombrich, London, Hutchinson, 1975.

[8] Solomon W. Golomb, Polyominoes, New York, Scribners, 1965 (2nd ed., Princeton University Press, 1994).

[9] E.H. Gombrich, The Sense of Order: a study in the psychology of decorative art, Ithaca, Cornell University Press, 1979.

[10] Jeffrey Lagarias, "Geometric models for quasicrystals. T: Delone sets of finite type," Discrete and Computational Geometry, Vol. 21, 1999, pp. 161-191.

[11] Jeffrey Lagarias, "Geometric models for quasicrystals. II: local rules under isometries," Discrete and Computational Geometry, Vol. 21, 1999, pp. 345-372.

[12] Robert Moody, "Meyer sets and their duals," in The Mathematics of Long Range Aperiodic Order, R.Y. Moody, ed., Kluwer Acadademic Publishers (NATO series), 1997, pp.403--442.

[13] Doris Schattschneider, Visions of Symmetry: notebooks, periodic drawings, and related work of M.c. Escher, New York, W.H. Freeman, 1990.

[14] Marjorie Senechal, "The Algebraic Escher," Structural Topology, No. 15, 1988, 31-42.

[15] Marjorie Senechal, Quasicrystals and geometry, Cambridge University Press, 1995; corrected paperback edition, 1996.

[16] Lee Smolin, The Life of the Cosmos, New York, Oxford University Press, 1997.

[17] Dorothy Washburn and Donald Crowe, Symmetries of Culture: theory and practice of plane pattern analysis, Seattle, University of Washington Press, 1988.

[18] Hermann Weyl, Symmetry, Princeton, Princeton University Press, 1952.

[19] Marjorie Senechal, The Symmetry Mystique