|
作者：Erik Kersten 翻譯：Tony&小河 拼圖設(shè)計(jì)：小河 1971年5月，埃舍爾完成了他的最后一幅鑲嵌作品 ---- 用印度水墨和水彩畫的一個(gè)人物，他把這個(gè)人物稱作“小幽靈”。這是他筆記本上眾多鑲嵌畫作的最后一幅。但這也是一張非凡的創(chuàng)作。 1962年，英國數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）前往荷蘭，拜訪了住在巴倫的埃舍爾。 彭羅斯在1954年的國際數(shù)學(xué)大會(huì)（International Mathematical Congress）上看到埃舍爾的作品，兩人就這樣認(rèn)識(shí)了。1960年，他們開始互通信件，并促成了埃舍爾創(chuàng)作木版畫《上升與下降》。在彭羅斯的職業(yè)生涯中，他始終沉迷于鑲嵌圖形，這是他和埃舍爾共同的興趣。 彭羅斯曾收到了埃舍爾的一幅畫，作為回贈(zèng)，他送給埃舍爾一套木板拼圖，基本圖形只有一個(gè)：一個(gè)菱形的變形圖案。 菱形的兩條邊被切割出一個(gè)60度/120度的梯形形狀，如圖所示。這些基本圖形可以隨意拼合，但有且只有一種獨(dú)特的方式可以將它們?nèi)拷M合起來，形成一幅鑲嵌圖案。埃舍爾得到拼圖后，為此困惑了好一陣子，直到幾個(gè)星期后，他才給彭羅斯寫了一封信，概述了他的解決方案。在信中，埃舍爾表達(dá)了他的驚訝，因?yàn)檫@些圖案只能以一種方式組合在一起。這和他多年以來的對(duì)鑲嵌圖形的理解背道而馳：他一直認(rèn)為通過各種各樣的平移和反射，一幅鑲嵌圖案可以無限期地繼續(xù)下去。這一次他的想法受到了挑戰(zhàn)。 埃舍爾沒有就此停止，彭羅斯圖案帶給創(chuàng)作的靈感，他希望演繹出自己的版本。在給彭羅斯的一封信中，他設(shè)計(jì)出了自己的圖案，并把它稱作“小幽靈”。又過了幾年，直到1971年5月的時(shí)候，埃舍爾才利用這個(gè)基本圖案來制作出一幅鑲嵌畫。這是一個(gè)極為獨(dú)特的鑲嵌作品，作品中的鑲嵌圖案只能以唯一的模式組合，同時(shí)，這也是埃舍爾的最后一幅作品。 彭羅斯也沒閑著。他一直都試圖設(shè)計(jì)一種鑲嵌的方案，使之永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)平移重復(fù)。很長一段時(shí)間以來，人們都認(rèn)為如果以一種有序的模式填充無序的表面，必然會(huì)出現(xiàn)重復(fù)。直到20世紀(jì)50年代，所有的數(shù)學(xué)家都是這么認(rèn)為的。然而，隨著數(shù)學(xué)家對(duì)此問題逐步深入的探索，人們開始意識(shí)到，存在非周期性鑲嵌的可能。1958年，羅杰·彭羅斯和他的父親萊昂內(nèi)爾·彭羅斯為英國《新科學(xué)家》（New Scientist）雜志的圣誕特刊寫了一篇關(guān)于這個(gè)問題的文章。在文章中，他們鼓勵(lì)讀者去思考這些基于七種不同形狀的特殊鑲嵌問題。 1974年，彭羅斯發(fā)明了一種只有兩種基本形狀的非周期性鑲嵌方案。他稱這兩個(gè)圖案為飛鏢和風(fēng)箏。 它們通過最明顯的方式就能拼在一起，形成一個(gè)菱形。 但是，如果你想創(chuàng)造一個(gè)非周期性鑲嵌，就不能以這么拼接。下圖中的弧線指示了拼接規(guī)則：弧線段必須連在一起。 后來人們發(fā)現(xiàn)，這些非周期性的鑲嵌可以通過第二種形狀來創(chuàng)建: 一個(gè)銳角菱形和一個(gè)鈍角菱形，角度分別為(36, 144)和(72, 108)，即所有的角的度數(shù)必須是36的倍數(shù)。 在彭羅斯拼圖中，飛鏢與風(fēng)箏的比例以及銳角與鈍角的比例總是相同的，這個(gè)數(shù)值就是黃金分割比例——1:1.618。 換句話說，如果一個(gè)彭羅斯拼圖包含100個(gè)飛鏢，它將包含162個(gè)風(fēng)箏。 數(shù)字越大，比率越接近黃金分割比率。 牛津大學(xué)數(shù)學(xué)西門口的彭羅斯不規(guī)則鑲嵌瓷磚 科學(xué)記者馬丁·加德納（Martin Gardner）在《科學(xué)美國人》(Scientific American)上的兩篇專欄文章都是關(guān)于非周期性鑲嵌的。1988年，這些專欄文章，包括關(guān)于彭羅斯的專欄，均被收錄到《從彭羅斯瓷磚到暗門密碼》（Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers）一書中。
數(shù)學(xué)雜志《尤里卡 Eureka》于2012年重刊了彭羅斯首發(fā)于1979年的文章《復(fù)雜的五邊形》，描述了他對(duì)非周期性鑲嵌的研究。網(wǎng)上可以下載到這本期刊 在2007年2月出版的《科學(xué)》雜志上，彼得·盧（Peter Lu）和保羅·斯坦哈特（Paul Steinhardt）發(fā)表了他們對(duì)中世紀(jì)早期伊斯蘭藝術(shù)模式的研究。 他們發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)個(gè)世紀(jì)前的藝術(shù)創(chuàng)作就已經(jīng)包含了具有非周期性鑲嵌。 其中一個(gè)例子是15世紀(jì)伊斯法罕（伊朗城市）的達(dá)比伊瑪目（Darb-i Imam）墓園的拱門。它是用瓷磚加馬賽克來裝飾的，瓷磚的排列井然有序，但沒有出現(xiàn)平移重復(fù)。盡管科學(xué)家們還不清楚古代的工匠們是從什么時(shí)候開始使用這樣的圖案來作建筑裝飾，但可以肯定的是，這些模式直到幾百年后才在西方被發(fā)現(xiàn)。 彼得·盧和保羅·斯坦哈特在伊斯蘭裝飾圖案中，發(fā)現(xiàn)了五種獨(dú)特的瓷磚單元，稱之為“肌理瓷磚”（Girih Tiles）。在當(dāng)時(shí)可能每個(gè)從事建筑裝飾的工匠那兒都有這種瓷磚單元。它們分別為菱形，弓形，正十邊形，正五邊形和不規(guī)則六邊形。使用這些肌理瓷磚可以創(chuàng)造出周期性和非周期性鑲嵌。 這五種磚的邊長都一樣。工匠們按照一定的規(guī)律去加以組合，并排列出來優(yōu)美而獨(dú)特的圖案。
- 相關(guān)視頻 - The Art of The Impossible 彭羅斯與埃舍爾的數(shù)學(xué)緣https://www.bilibili.com/video/av88282497/ Animated Penrose Tiling - 怎么用非周期性的多邊形實(shí)現(xiàn)平鋪https://www.bilibili.com/video/BV1v7411G7x6
------ 通過制作5個(gè)工具/玩具，探索埃舍爾的數(shù)學(xué)藝術(shù)世界，詳見《二十面體》雜志 | 開始動(dòng)手創(chuàng)作，方能遇到意外之喜 |
|
|
