我們知道，經(jīng)典粒子攜帶著物理量，如位置、動量和能量。當這個粒子在空間中運動并與物體相互作用時，這些物理量會隨著時間連續(xù)變化。因此，得出的結(jié)論是什么？首先，經(jīng)典物理量是單值的，也就是說它們在任何一個時刻只能取一個值。例如，一個粒子不可能同時處于兩個地方，也不可能有兩個不同的速度。其次，物理量是連續(xù)的，意味著它們隨著時間的推移平滑地變化，不會突然變化。

鑒于這兩個觀察結(jié)果，似乎很明顯我們應(yīng)該用一個連續(xù)函數(shù)來建模這些物理量。根據(jù)定義，一個函數(shù)在任何時刻只能取一個值，而且連續(xù)函數(shù)沒有突然的跳躍。因此，這就是為什么在經(jīng)典物理中，我們用連續(xù)函數(shù)來表示物理量！這看起來似乎有點顯而易見。我們還能用什么呢？為了看看這種模型何時失效，讓我們分析一個真實的物理系統(tǒng)，并比較經(jīng)典物理與量子物理的表現(xiàn)。特別地，我們來關(guān)注氫原子，它由一個圍繞質(zhì)子運動的電子組成。讓我們看看在經(jīng)典物理框架中，我們期望會發(fā)生什么。隨著電子圍繞質(zhì)子運動，它會以光的形式釋放能量。這是電磁學(xué)中的一個著名事實。

通過測量釋放的光的能量，我們可以測量出電子剩余的能量（以電子伏特為單位）。因此，我們可以設(shè)置一個探測器并進行測量。電子的能量顯示在左邊（以電子伏特為單位），而且根據(jù)經(jīng)典物理的要求，它是單值的且連續(xù)的。

現(xiàn)在讓我們進入量子世界，獲取一個實際的氫原子和探測器，看看會發(fā)生什么。我們會發(fā)現(xiàn)探測器只檢測到少量的能量值，測量結(jié)果是離散的。

重新進行實驗時，雖然能量值與上次有所不同，但仍是離散的。我們多次重復(fù)實驗后得出兩個結(jié)論：第一，物理量有時是離散的，不會取中間值；第二，測量結(jié)果是隨機的，但某些值的概率比其他值更高。這與物理量必須是連續(xù)且單值的觀點相矛盾。

顯然，連續(xù)函數(shù)無法用于量子世界的建模。那么，我們該用什么呢？這似乎是個棘手的問題，但我們可以戴上理論物理學(xué)家的帽子，看看能從這些結(jié)論中推導(dǎo)出什么。

首先，我們需要找到一種數(shù)學(xué)方法來建模隨機性問題?？雌饋碓跍y量之前，粒子包含了我們可能獲得的每一個結(jié)果的信息。那么，我們?nèi)绾?strong>數(shù)學(xué)地表示這一現(xiàn)象呢？

假設(shè)我們確定粒子的能量是E=A，用數(shù)學(xué)對象 M_A 來表示粒子。M可以是任何東，如函數(shù)、環(huán)的一個元素、流形等——只是我們尚未確定的某種數(shù)學(xué)對象。如果粒子的能量是 B，則用 M_B 來表示，以此類推。

因此，每一個可能的結(jié)果都有一個對應(yīng)的數(shù)學(xué)對象 M。粒子似乎在測量之前是所有這些數(shù)學(xué)對象的集合，表示所有可能的結(jié)果。那么，我們需要找到一種方法將這些數(shù)學(xué)對象組合起來。我們可以使用未知的“點符號”來將這些數(shù)學(xué)對象合并成一個描述粒子的整體對象。

接下來，我們需要給每個數(shù)學(xué)對象附加一個概率值，來表示獲得該結(jié)果的可能性。最簡單的方法就是在每個數(shù)學(xué)對象前面加一個數(shù)字，代表這個可能性。

現(xiàn)在，讓我們退一步，看看目前的成果?；仡櫮阒皩W(xué)過的一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，希望你會開始意識到這看起來很像某種線性組合。你看出來了嗎？粒子是所有可能結(jié)果的一種線性組合，假設(shè)這些結(jié)果由某種向量表示。

我們繼續(xù)討論離散性問題。這涉及到如何表示離散的物理量。已經(jīng)知道函數(shù)不適用；我們需要一種數(shù)學(xué)對象，能夠在特定情況下返回一組離散的結(jié)果或數(shù)值，而不是連續(xù)變化的數(shù)值。這有點難，但如果沿著線性組合的線索推測，或許線性算子，也就是矩陣，能夠表示物理量。

畢竟，矩陣由一組離散的數(shù)值組成，所以或許我們可以從這個離散集合中提取出物理量。

我們現(xiàn)在有了一個非?？煽康牟聹y，關(guān)于如何建模量子力學(xué)！粒子可以表示為某個向量空間中的向量的線性組合，物理量可以表示為該空間中的線性算子。

我們在幾分鐘內(nèi)發(fā)展出了量子力學(xué)的框架，而世界上最偉大的物理學(xué)家們花了多年才得出這些結(jié)論。重要的是你明白為什么線性代數(shù)是量子力學(xué)的一個好的起點。

當然，還有很多問題沒有解答。比如粒子如何是一個向量？不同的概率是如何計算的？粒子是如何隨時間演化的？后面我們將繼續(xù)討論。