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引 言 在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，我們 不少老師或者學(xué)生都遇到過這樣一個題目： 如圖，正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C是網(wǎng)格上的點(diǎn)，則∠ABC=____.
連接AC，不難發(fā)現(xiàn)三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC=45°。重新審視這道題，如圖改造一下，
我們發(fā)現(xiàn)：
這，就是我們今天要給大家分享的“1 2 3 4 5 ”模型之一。即：
更多結(jié)論，請繼續(xù)往下看~ 題外話 應(yīng)一些朋友的要求，我們把去年暑假整理的關(guān)于“12345”模型的文檔分享出來，一起交流學(xué)習(xí)！在此特別感謝常州特級教師于新華老師的無私奉獻(xiàn)，是他引領(lǐng)了一批數(shù)學(xué)行者領(lǐng)略數(shù)學(xué)的別樣精彩，感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，他的每一場講座都讓人震撼，驚嘆數(shù)學(xué)思維的精妙，一些獨(dú)特的解法，在確定性思維的引領(lǐng)之下又是顯得如此的自然，靈動。他的兩本巨作，《數(shù)學(xué)世界漫游記》用通俗的語言介紹初等數(shù)學(xué)研究中的豐碩成果，《于新華中考數(shù)學(xué)16講》是于老師結(jié)合二十多年教學(xué)、輔導(dǎo)和命題經(jīng)驗(yàn)編撰而成，這兩本都是不可多得的數(shù)學(xué)資料。
本文是黃萍老師整理的2012年到2017 的南通中考題和17年南通各縣市的?？碱}，發(fā)現(xiàn)幾乎每份試卷中總有那么一題，甚至幾題，而且大多是壓軸題，均可以用“12345”來解決.并且你將會發(fā)現(xiàn)它所帶來的神奇！那么究竟什么是“12345”模型呢？下面主要從兩方面來談?wù)?一、“12345”的由來；二、“12345”在中考題中的運(yùn)用. 一、“12345”的由來( 于新華老師） 首先請大家思考這樣一個問題： 我們?nèi)绾慰坍嬕粋€角大小呢？ 角的大小有兩種刻畫方法：一種是傳統(tǒng)的、人人皆知的度數(shù)刻畫法；另一種是常被我們忽略的邊長刻畫法（即三角函數(shù)值）. 如果兩個角的大小是用度數(shù)體現(xiàn)的，那么這兩個角的和與差的度數(shù)能夠非常容易地計(jì)算出來.但如果兩個角的大小是采用邊長（即三角函數(shù)值）刻畫的，那么兩個角的和或差的大小是多少呢？自然，這兩個角和與差的大小也只能采用三角函數(shù)值刻畫. 雖然，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人第一反應(yīng)是馬上想到高中的兩角和與差的三角公式，但現(xiàn)在討論的背景是初中數(shù)學(xué)教學(xué)，因此我們應(yīng)回避用高中數(shù)學(xué)知識. 大家都知道，一般處理三角函數(shù)都是把要求的角構(gòu)造在一個直角三角形中處理的。而在所有的直角三角形中，我們最熟悉的就是邊長為345的直角三角形.而它在一些綜合題中也是頻頻出現(xiàn)?？赡苁敲}人為了突出考查數(shù)學(xué)的思維能力，簡化運(yùn)算量，在設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)時比較多地用到了345或其倍數(shù).而且兩個銳角的半角表示也極其簡單！請看：
對于這個直角三角形，只要給定邊，我們很容易知道兩個銳角∠A、∠B的三角函數(shù)。大家也會很快構(gòu)造出它們的半角，從而求出其三角函數(shù)：
為了形象好記，便于交流，網(wǎng)絡(luò)上稱之為“12345”. 二、“12345”在中考題中的運(yùn)用 1 網(wǎng)格類：
2 折疊類（倍半角）：
3 綜合題：
其實(shí)，“12345”是處理有關(guān)角關(guān)系中特殊的一種，面臨更一般的兩角和差倍分是否有其通法呢？如2014南通壓軸題：
這就是網(wǎng)絡(luò)上所說的“矩形大法”.利用這個矩形構(gòu)造可以解決所有已知兩角的和差.如果有機(jī)會我們再一起研討它的構(gòu)造與實(shí)際運(yùn)用. 以上所列舉的題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的，但至少可以成為一種通性通法，可以在短時間內(nèi)快速破題，而不必死掉過多的腦細(xì)胞.畢竟在考試的時候時間是非常寶貴的. 如果大家感興趣的話，可以做做下面幾題，感受一下“12345”在解決一些壓軸題中的作用.
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