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對(duì)于正方形或直角三角形背景下的幾何計(jì)算和幾何證明問(wèn)題，借助其直角的特殊性，可以利用“解析法”進(jìn)行解答。即通過(guò)選擇合適的“直角”建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)借助點(diǎn)的坐標(biāo)或直線解析式，利用交軌法或距離公式求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)或某條線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而達(dá)成目標(biāo)結(jié)論。利用解析法進(jìn)行幾何證明或幾何計(jì)算的一般路徑：① 選定合適的平面直角坐標(biāo)系(一般選取直角三角形的頂點(diǎn)或正方形左下方的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，再以頂點(diǎn)所在直角的兩邊為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，盡量建立在第一象限)；②盡量表示出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)(已知長(zhǎng)度的點(diǎn)、中點(diǎn)、線段上的分點(diǎn)等)③選擇合適的未知點(diǎn)設(shè)元，利用距離公式或線段間的等量關(guān)系建立數(shù)量關(guān)系。④可以通過(guò)設(shè)出直線的解析式，利用交軌法求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)。 與直角三角形相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問(wèn)題 
解法分析：本題要求的是線段DE的長(zhǎng)度。由于點(diǎn)E和點(diǎn)G都是動(dòng)點(diǎn)，因此相對(duì)應(yīng)的線段AG和GF的長(zhǎng)度也是不確定的，本題如果采用常規(guī)的方法計(jì)算比較復(fù)雜，因此可以采取解析法進(jìn)行解決。
由于該三角形是等腰直角三角形且腰長(zhǎng)確定，若以AC、AB為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則可以表示出點(diǎn)A、B、C、D和F的坐標(biāo)。由于點(diǎn)G隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此不妨設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t,0)，進(jìn)而利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，再利用距離公式求出AG和GF的長(zhǎng)度，當(dāng)AG=GF時(shí)，可以求出t的值，進(jìn)而利用距離公式求出DE的長(zhǎng)度。
解法分析：本題涉及到的是等腰三角形存在性背景下求線段CP長(zhǎng)度的問(wèn)題。已知條件中已知了AC和BC的長(zhǎng)度，因此可以通過(guò)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，同時(shí)可以求出斜邊CM的長(zhǎng)度，當(dāng)CM=CP時(shí)，可以直接求解。但是對(duì)于CM=MP或MP=CP這兩種情況時(shí)，對(duì)于輔助線添加的要求較高，很多同學(xué)對(duì)于這兩種情況沒(méi)有思路。因此可以以AC、CB為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)A、B、C、M的坐標(biāo)。由于點(diǎn)P在∠ACB的平分線上，即點(diǎn)P在一三象限的角平分線上，因此不妨設(shè)點(diǎn)P(x,x)，進(jìn)而就可以借助距離公式，用含x的代數(shù)式表示CP和MP的長(zhǎng)度，從而解決另兩種情況。
與正方形相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問(wèn)題
解法分析：本題要求的是△AGF的面積。△AGF的任意一條底或者高難以用字母表示，因此利用割補(bǔ)法求其面積。可以將△AGF的面積表示為△ABF和△ABG的差，由于△ABF的面積是正方形面積的一半，因此對(duì)于△ABG而言，只需要求出AB邊上的高即可。
常規(guī)的方法在于利用三角形的相似或解三角形求解。但是涉及到需要多次相似或多次解三角形，比較繁瑣，因此可以利用解析法解決。由于正方形的邊長(zhǎng)確定，且E和F為線段的分點(diǎn)，若以BC、AB為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則可以表示出點(diǎn)A、B、C、E和F的坐標(biāo)。由于AB邊上的高為點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，因此可以通過(guò)聯(lián)立直線AE和直線BF，利用交軌法求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而求解。
解法分析：本題涉及到的是正方形背景下的等積式證明。本題的難度在于對(duì)于系數(shù)2的化簡(jiǎn)。常規(guī)的方法是聯(lián)結(jié)AE和AF，多次證明全等或相似，進(jìn)而得證等積式的最終結(jié)果。本題也可以利用及西方進(jìn)行證明。以AB、CB為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)。由于關(guān)鍵點(diǎn)E、M、N、F都在線段EF上，因此不妨設(shè)點(diǎn)E(a,0)，進(jìn)而求出直線AC、EF的解析式，通過(guò)將直線AC與EF聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；通過(guò)將直線EF和AD聯(lián)立，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。但是本題的難度在于利用距離公式表示線段的計(jì)算量較大，因此本題還是推薦利用幾何法進(jìn)行證明。
由此可以看出，解析法也是解決與直角三角形、正方形等幾何圖形有關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題的一種方法。利用解析法解決平面幾何問(wèn)題，一是要根據(jù)圖形特征建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將有關(guān)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為某些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；二是要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)求某些直線的表達(dá)式或某些點(diǎn)的坐標(biāo)解決問(wèn)題。但是，不是所有的問(wèn)題都可以利用解析法進(jìn)行解決的。當(dāng)對(duì)于直角三角形或正方形背景的幾何證明或計(jì)算問(wèn)題沒(méi)有思路，且主動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)，可以考慮借助解析法建立平面直角坐標(biāo)系助力問(wèn)題解決。
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