【原】從“2024中考數學”看核心素養(yǎng):模型觀念

妍小青 2024-07-31 發(fā)布于上海

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《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出：“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識。知道數學建模是數學與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑；初步感知數學建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性。.”

除了課標中提及的“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律”，也包含了將“幾何模型運用到實際問題的應用”。

因此與“模型觀念”相關的項目式學習的類型在本文中主要涵蓋以下三類：①與函數模型相關的綜合與實踐問題；②與方程、不等式相關的綜合與實踐問題；③與解三角形相關的綜合與實踐問題。

與函數模型相關的綜合與實踐問題

思路點撥：2024北京第25體現(xiàn)了三種函數的表達方式：解析法、表格法和圖像法，綜合利用這三種方法解決問題。

本題的第(1)問通過表格的數據可以發(fā)現(xiàn)V和h1之間呈現(xiàn)正比例關系，因此可以通過解析法補全表格；本題的第(2)問通過描點法可以作出V關于h1和h2的圖像；本題的第(3)問通過圖像法，根據點所在的位置進行估算。

除此以外，吉林23題則根據兩個數據之間的線性關系表示出一次函數關系。

思路點撥：2024吉林第23結合圖③和表格可以發(fā)現(xiàn)y與x之間是一次函數的線性關系。因此本題的第(1)問設出一次函數的解析式，利用待定系數法求解；本題的第(2)問令y=213，代入解析式即可求出x的值。

與方程、不等式相關的綜合與實踐問題

思路點撥：2024深圳第17題以項目式學習的方式呈現(xiàn)了三個任務。任務1通過素材建立L關于n的表達式，這是比較典型的利用代數推理尋求數據規(guī)律的問題；任務2只需要將2.6代入任務1中的表達式即可求出一列購物車的數量；任務3中不妨設直立電梯和扶手電梯分別運輸m次和n次，根據“最多用5次”，“運輸100輛購物車”建立不等關系，進而確定運輸方案的種類。

對于一次方程和一次不等式，我們可以根據等量和不等關系求得取值范圍；但是對于二次式，對于求最值，我們往往可以通過“配方法”，根據對稱軸和定義域確定最值，比較典型的是江蘇鹽城的第26題。

思路點撥：2024江蘇鹽城第26題也是以項目化的形式出現(xiàn)。任務1主要是建立y關于x的函數關系式，可以根據“正”服裝總件數和“風”服裝相等建立等量關系；任務2的難點在于“雅”服裝的獲利計算，同時需要注意定義域的取值范圍是x>10；任務3通過將任務2的函數關系式進行配方，結合定義域和對稱軸取得最值，同時需要注意y必須為整數。

除此以外，廣西第23題給出了4個變量間的數量關系，結合項目式的任務驅動進行分析和計算。

思路點撥：2024廣西第23題給出了衣服洗滌前后的濃度關系式。本題的第(1)問通過代入d前=0.2%和d后=0.01%，即可求出w(清水量)；第(2)問需要分兩次計算，即已知兩次的d前和w=2，求出兩次的d后，進而進行比較；進而通過數據分析寫出第(3)問的用水策略。

與解三角形相關的綜合與實踐問題

思路點撥：2024連云港第25題是以正八邊形和解三角形展開的。

問題1利用三角形的內角和和多邊形的外角性質展開計算的。

問題2在問題1的基礎上，通過過點A1作BC的垂線，通過解△CA1D進行求解。

問題3通過聯(lián)結CA8交BM于點E，只需要通過求出BE的長度即可。在(2)的基礎上，結合解三角形和三角形一邊的平行線的性質定理進行求解。

除此以外，長春22題通過幾何模型衍生到生活實際問題中。在“類比推理思想”中，也有此類模型應用的影子。

思路點撥：2024長春第22題以“如何求最小值引入”，通過題設中問題解決的腳手架將“雙動點”問題轉化為“單動點問題”，以“垂線段最短”求得最小值。

本題的第(1)和第(2)問在【問題解決】的引導下，借助平行線的性質以及平行四邊形的性質證明AM=MP，同時根據垂線段最短，通過解△ACP求得MN的最小值。

本題的第(3)問雖然有實際問題的背景，但是問題解決的本質還是不變的。按照【問題解決】的路徑重復應用即可。

諸如此類的與“解三角形”相關的綜合與實踐問題可以關注“2023年的綜合與實踐問題”，本文中不再贅述。

如下圖所示是常見的解三角形的常見模型：

教學和學習建議

課標同時指出：通過經歷項目式學習的全過程。能綜合運用數學和其他學科的知識與方法，在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉化為合理的數學問題；能獨立思考，與他人合作，提出解決問題的思路，設計解決問題的方案；能根據問題的背景，通過對問題條件和預期結論的分析，構建數學模型；能合理使用數據，進行合理計算，借助模型得到結論；能根據問題背景分析結論的意義，反思模型的合理性，最終得到符合問題背景的模型解答。

對于方程、不等式和函數類的綜合與實踐問題，需要抓住變量之間的數量關系，建立等量關系，從而建立模型；對于幾何背景下的問題，需要善于應用解三角形的常見模型和方法進行突破，同時對于實際問題，需要將其轉化為我們熟悉的幾何圖形，從而助力問題解決。

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