【原】以后不用釣魚了，直接下水抓！這個(gè)神器的數(shù)學(xué)工具可以提前預(yù)測魚塘里魚每時(shí)每刻游走的位置。

科學(xué)羊 2024-07-08 發(fā)布于廣東

展開全文

大家好，我是科學(xué)羊??，這里是數(shù)學(xué)篇第五季第17篇，今天我們再談一個(gè)實(shí)用的數(shù)學(xué)工具。

在我們?nèi)粘Ｉ钪校S多現(xiàn)象看似無序、隨機(jī)，卻暗藏規(guī)律。

這些現(xiàn)象從粒子在液體中的運(yùn)動(dòng)到金融市場的波動(dòng)，從污染物在河流中的擴(kuò)散到動(dòng)物的遷徙，都可以用一種神奇的數(shù)學(xué)工具來描述，這就是著名的科爾莫戈羅夫方程。

今天，我們通過生動(dòng)的故事和簡單的比喻，帶大家一起探秘科爾莫戈羅夫方程的起源、推導(dǎo)以及廣泛應(yīng)用。

故事開始于1827年，那時(shí)植物學(xué)家羅伯特·布朗正在顯微鏡下觀察水中的花粉粒。

他驚奇地發(fā)現(xiàn)，這些微小的花粉粒在水中不斷地做無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，仿佛有一群看不見的小魚在水中游動(dòng)。

這一現(xiàn)象后來被稱為布朗運(yùn)動(dòng)。

模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng)

雖然布朗當(dāng)時(shí)并不知道這種運(yùn)動(dòng)的原因，但他的發(fā)現(xiàn)為后來的科學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)。

不過這要提點(diǎn)誤解，其實(shí)布朗所說的花粉其實(shí)并不是花粉，而是花粉粒子中迸出的微小粒子。所以后面您的物理老師如果隨口說是花粉運(yùn)動(dòng)，請你立刻糾正！

花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運(yùn)動(dòng) ｜圖源 wiki

因?yàn)橥ǔ?，花粉的直徑分布?0～50μm之間，最小也有10μm左右。

而相比之下，水分子的直徑大約為0.3nm（由于水分子非球形，具體尺寸依不同部位有所差異），大約是花粉直徑的十萬分之一。

因此，花粉很難產(chǎn)生不規(guī)則振動(dòng)，事實(shí)上，花粉幾乎不受布朗運(yùn)動(dòng)的影響。在羅伯特·布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”指的是“從花粉粒中迸出的微小粒子”，而非花粉本身。

然而在翻譯成其他語言時(shí)，這一描述常常被誤解，認(rèn)為是“水中的花粉受布朗運(yùn)動(dòng)影響而呈現(xiàn)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)”。

這種誤解經(jīng)過長期傳播，已在大眾觀念中根深蒂固。

我們繼續(xù)。

時(shí)光飛逝，來到了1905年。

這一年，年輕的阿爾伯特·愛因斯坦發(fā)表了一篇關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的論文。

他提出，布朗運(yùn)動(dòng)是由于水分子不斷撞擊花粉粒引起的。愛因斯坦用數(shù)學(xué)公式描述了這種隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，揭示了布朗運(yùn)動(dòng)背后的物理原理。

愛因斯坦的公式可以簡單地表示為：

其中：

- x^2 表示粒子位移的平均平方值。

- D 是擴(kuò)散系數(shù)，描述了隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度。

- t 是時(shí)間。

3000步的2維布朗運(yùn)動(dòng)的模擬

通過這個(gè)公式，愛因斯坦展示了如何用數(shù)學(xué)描述隨機(jī)過程，為布朗運(yùn)動(dòng)提供了一個(gè)科學(xué)解釋。

與愛因斯坦同時(shí)期，波蘭物理學(xué)家馬里安·斯莫盧霍夫斯基也在研究布朗運(yùn)動(dòng)。他獨(dú)立提出了類似的理論，通過統(tǒng)計(jì)力學(xué)的方法，進(jìn)一步驗(yàn)證了愛因斯坦的理論。斯莫盧霍夫斯基的工作為擴(kuò)散過程的數(shù)學(xué)描述增添了新的力量。

1914年，德國物理學(xué)家阿道夫·?？颂岢隽艘粋€(gè)描述布朗運(yùn)動(dòng)的微分方程，后來稱為?？?普朗克方程。

這個(gè)方程為科學(xué)家提供了一個(gè)強(qiáng)大的工具，用于描述各種隨機(jī)過程的時(shí)間演變。

1931年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家安德烈·科爾莫戈羅夫?qū)﹄S機(jī)過程進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。

他提出了一組更加通用的方程，用于描述時(shí)間和狀態(tài)空間中的隨機(jī)過程。

這些方程后來被稱為科爾莫戈羅夫前向方程（或?？?普朗克方程）和后向方程。

科爾莫戈羅夫前向方程描述了系統(tǒng)的概率密度函數(shù)隨時(shí)間的演變，而后向方程則描述了條件概率的演變。這些方程為隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)描述提供了強(qiáng)大的工具。

那么它能干什么呢？

1、金融數(shù)學(xué)：預(yù)測市場波動(dòng)

在金融市場中，股票價(jià)格、期權(quán)定價(jià)等問題可以用隨機(jī)過程來描述。

布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes Model）就是一個(gè)經(jīng)典的例子，它用到了科爾莫戈羅夫方程來描述期權(quán)的定價(jià)。

通過這種方法，金融分析師可以更好地預(yù)測市場波動(dòng)，制定投資策略。

2、生物學(xué)：解讀自然現(xiàn)象

在生態(tài)學(xué)和生物學(xué)中，科爾莫戈羅夫方程用于描述種群的動(dòng)態(tài)行為，例如動(dòng)物的遷徙、擴(kuò)散和繁殖。

生物學(xué)家用這個(gè)方程來研究不同物種在自然環(huán)境中的分布和變化，幫助我們理解生態(tài)系統(tǒng)的復(fù)雜性。

3、化學(xué)工程：優(yōu)化反應(yīng)過程

科爾莫戈羅夫方程在化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)中用于描述反應(yīng)物和生成物濃度隨時(shí)間的變化。

通過這個(gè)方程，工程師可以預(yù)測化學(xué)反應(yīng)過程中的變化，優(yōu)化反應(yīng)條件，提高生產(chǎn)效率。

4、物理學(xué)：解析粒子運(yùn)動(dòng)

物理學(xué)家用科爾莫戈羅夫方程描述粒子擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)和流體力學(xué)等現(xiàn)象。通過這個(gè)方程，他們可以準(zhǔn)確地預(yù)測粒子在不同環(huán)境下的運(yùn)動(dòng)方式，揭示自然界的運(yùn)行規(guī)律。

5、神經(jīng)科學(xué)：理解大腦運(yùn)作

在神經(jīng)科學(xué)中，科爾莫戈羅夫方程用于建模神經(jīng)元的活動(dòng)，描述神經(jīng)脈沖的傳遞和擴(kuò)散。通過這種模型，科學(xué)家可以更好地理解大腦如何處理信息，揭示神經(jīng)疾病的成因。

6、環(huán)境科學(xué)：保護(hù)地球環(huán)境

環(huán)境科學(xué)家使用科爾莫戈羅夫方程描述污染物在空氣、水和土壤中的擴(kuò)散和傳播。通過這個(gè)方程，他們可以預(yù)測污染物的傳播路徑和速度，制定環(huán)境保護(hù)策略，保護(hù)我們的地球。

7、工程與技術(shù)：設(shè)計(jì)高效系統(tǒng)

在控制工程中，科爾莫戈羅夫方程用于分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，特別是那些涉及隨機(jī)擾動(dòng)的系統(tǒng)。通過這個(gè)方程，工程師可以設(shè)計(jì)出更加穩(wěn)定和高效的控制系統(tǒng)，提升工業(yè)生產(chǎn)效率。

想象一下，有一個(gè)神奇的池塘，里面有很多小魚。這些小魚在池塘里游動(dòng)，有時(shí)候會(huì)被水流推動(dòng)，有時(shí)候會(huì)隨機(jī)地游動(dòng)。我們想知道，經(jīng)過一段時(shí)間后，小魚在池塘里的分布情況。

漂移和擴(kuò)散

漂移：池塘里有一個(gè)溫和的水流，推動(dòng)小魚向右游動(dòng)。
擴(kuò)散：小魚有時(shí)候會(huì)隨機(jī)地左右游動(dòng)，沒有特定的方向。

我們可以用科爾莫戈羅夫方程來預(yù)測小魚的位置分布。

科爾莫戈羅夫方程可以寫成：

其中：

P(x,t) 是魚在位置 x 和時(shí)間 t 的概率密度函數(shù)。
A(x,t) 是漂移系數(shù)，描述水流的速度。
B(x,t) 是擴(kuò)散系數(shù)，描述魚的隨機(jī)游動(dòng)強(qiáng)度。

為了簡單起見，我們假設(shè)：

水流的速度 A(x,t)=v 是一個(gè)常數(shù)。
魚的隨機(jī)游動(dòng)強(qiáng)度 B(x,t)=D 也是一個(gè)常數(shù)。

因此，方程簡化為：

初始條件，假設(shè)在時(shí)間
t = 0t=0 時(shí)，所有的魚都集中在位置 x =0；

P(x,0) = δ(x)

以上可能會(huì)抽象，我們用寫給程序來模擬，

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.animation as animation
# 參數(shù)設(shè)置num_particles = 1000  # 魚的數(shù)量num_steps = 1000      # 總步數(shù)delta_t = 0.1         # 時(shí)間步長D = 1.0               # 擴(kuò)散系數(shù)v = 0.5               # 漂移速度delta_x = np.sqrt(2 * D * delta_t)  # 每步的位移
# 初始化位置數(shù)組x = np.zeros((num_particles, num_steps))
# 生成隨機(jī)游動(dòng)軌跡for i in range(1, num_steps):    theta = np.random.uniform(0, 2*np.pi, num_particles)    x[:, i] = x[:, i-1] + v * delta_t + delta_x * np.random.randn(num_particles)
# 創(chuàng)建動(dòng)畫fig, ax = plt.subplots()ax.set_xlim(-50, 50)ax.set_ylim(0, 0.1)line, = ax.plot([], [], lw=2)
# 初始化函數(shù)def init():    line.set_data([], [])    return line,
# 更新函數(shù)def update(frame):    n, bins, patches = plt.hist(x[:, frame], bins=50, density=True, alpha=0.75)    line.set_data((bins[:-1] + bins[1:]) / 2, n)    return line,
# 創(chuàng)建動(dòng)畫對象ani = animation.FuncAnimation(fig, update, frames=num_steps, init_func=init, blit=True, interval=30)
# 顯示動(dòng)畫plt.show()