本文嘗試濃縮書本中關(guān)于正態(tài)分布的知識(shí)，幫助讀者在20分鐘內(nèi)理解主干知識(shí)及用途，并希望寫得盡可能有趣。

（德幣10馬克印有高斯頭像，以及他的“代表作”——高斯分布曲線。）

正態(tài)分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，它描述的就是正常分布，比如身高、體重、一些社會(huì)中的財(cái)富等分布，多數(shù)人都會(huì)集中在某個(gè)區(qū)間。盡管在高斯之前，有些數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，但高斯是將其更嚴(yán)格描述的人。

（正態(tài)分布的知識(shí)關(guān)系圖）

01 正態(tài)分布的背景知識(shí)

平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差三個(gè)部分如同土壤，會(huì)很大程度影響正態(tài)分布這棵樹的生長(zhǎng)情況。因此，在介紹正態(tài)分布前，我需要簡(jiǎn)單介紹它們（如你已掌握，可直接跳至 02正態(tài)分布的主干知識(shí) 進(jìn)行閱讀~）。

由于樣本量的不同，平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差可以分“總體”和“樣本”兩類。為強(qiáng)化對(duì)比，在后文的介紹中，我會(huì)在它們前面加上限定詞，即“總體”或“樣本”。如果沒(méi)有限定詞，那么平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差所指代的就是總體的平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。

• 平均值

（平均值示例圖）

在正態(tài)分布中，由于樣本量不同，平均值又可以分為總體平均值（μ）和樣本平均值（）兩類，兩者的計(jì)算方法是一樣的，只是符號(hào)有差異。

小貼士：希臘字母“μ”，發(fā)音為mu，是代表總體平均值的符號(hào)；“”這個(gè)符號(hào)念作“X bar”，用于代表樣本平均值。

• 方差

方差是衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的統(tǒng)計(jì)量。我們學(xué)習(xí)方差最重要的，不在于掌握繁雜的計(jì)算，而是能夠根據(jù)其結(jié)果，了解所有數(shù)據(jù)的狀態(tài)。

方差分為兩類：總體方差和樣本方差。兩者的基本思路一致，但最大的差別在于樣本量不同，前者是整體，后者是整體中的部分。

若x1,x2,x3......xn的平均數(shù)為μ，則總體方差可表示為：

小貼士：希臘字母“ ∑” 的小寫形式為“σ”，英譯音為Sigma，大小寫符號(hào)都念“西格瑪”。表示從1到n的多項(xiàng)求和。

（Excel 里也能看到它的身影~）

（少量數(shù)據(jù)好計(jì)算，數(shù)據(jù)多的話，就讓計(jì)算機(jī)/器幫忙吧~）

回到總體方差和樣本方差區(qū)別的話題，這里舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明。假設(shè)我們想知道中國(guó)人身高的標(biāo)準(zhǔn)差，但因人、財(cái)、物力有限，我們不可能把所有人都量一遍，因此，只能退而求其次，采取抽樣策略，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)推測(cè)整體，這時(shí)，我們就會(huì)用到樣本方差。

樣本方差和總體方差計(jì)算上略有區(qū)別，主要體現(xiàn)在分母上。不同于總體方差的分母為n，樣本方差的分母為n-1。這里“-1”是為了修正樣本方差對(duì)總體方差的估計(jì)偏差，這種現(xiàn)象被稱為“貝塞爾校正”（Bessel's correction）。

這個(gè)減去的“1”，不特指任何一個(gè)數(shù)，它代表那個(gè)失去“獨(dú)立客觀”的維度（自由度）。

樣本方差的計(jì)算公式如下：

因此，在計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差（S，即樣本方差開根號(hào)）時(shí)，其分母也是n?1而不是n（即樣本大小減1）。這里在后文標(biāo)準(zhǔn)差的部分還會(huì)提到。

小貼士：樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分母為什么為n-1在數(shù)學(xué)領(lǐng)域已被證明，是較復(fù)雜的內(nèi)容，這里不做過(guò)多展開，有興趣的讀者可查閱相關(guān)資料哦~

• 標(biāo)準(zhǔn)差
  

當(dāng)我們談?wù)撘粋€(gè)正態(tài)分布時(shí)，通常是在談?wù)撘粋€(gè)總體的分布，而不是一個(gè)樣本的分布。因此，使用 μ 來(lái)表示正態(tài)分布的均值是合適的。

• 正態(tài)分布

正態(tài)分布一種常見(jiàn)的連續(xù)概率分布，它在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中常用于表示未知的隨機(jī)變量。若隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ2的正態(tài)分布，則記為N(μ，σ2)。

正態(tài)分布的曲線呈鐘型，因此人們又經(jīng)常稱之為“鐘形曲線”。正態(tài)分布雖有無(wú)數(shù)種形態(tài)，但仍由μ（平均值）和σ（標(biāo)準(zhǔn)差）兩個(gè)數(shù)值決定。其中，μ決定了正態(tài)分布的位置，σ決定了分布的幅度。理解了這一點(diǎn)，你就不需要單獨(dú)記憶每一個(gè)正態(tài)分布圖啦。

現(xiàn)在，讓我們一起來(lái)看一些有代表性的正態(tài)分布圖吧（下面的文字濃度有點(diǎn)高，值得多看幾遍~）：

當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，這個(gè)正態(tài)分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，（見(jiàn)下圖紅線）。

以正態(tài)分布為參考標(biāo)準(zhǔn)，μ為負(fù)則圖形向左移動(dòng)（見(jiàn)下圖綠線），反之，μ為正，則圖形向右移動(dòng)。

（正態(tài)分布圖   圖源：維基百科）

小貼士：不知道你是否注意到，和各行業(yè)一樣，數(shù)學(xué)也有自己的“黑話”（業(yè)內(nèi)術(shù)語(yǔ)），比如正態(tài)分布定義里的“服從”和“期望”。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的“服從”是指“符合”、“遵從”的意思，一般指事物符合數(shù)學(xué)中的發(fā)展規(guī)律。

除了上面的例子，正態(tài)分布其實(shí)還有數(shù)種形態(tài)，但它們的模型主要由μ（平均值）和σ（標(biāo)準(zhǔn)差）兩個(gè)數(shù)值決定。

介紹了決定正態(tài)分布曲線的關(guān)鍵參數(shù)后，我們?cè)賮?lái)看看關(guān)于曲線下方覆蓋面積呈現(xiàn)的規(guī)律。在距離平均值±1的標(biāo)準(zhǔn)差（即±σ）范圍內(nèi)，集中著約全體68.26%的數(shù)據(jù)；距離平均值±2的標(biāo)準(zhǔn)差（即±2σ），集中著約95.45%的數(shù)據(jù)；距離平均值±3的標(biāo)準(zhǔn)差（即±3σ），包含著99.73%的數(shù)據(jù)。曲線下方覆蓋的面積，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上被稱“置信區(qū)間”。

（正態(tài)分布圖   圖源：維基百科）

這張圖是不是有點(diǎn)抽象？哈哈哈，讓我舉幾個(gè)例子，讓置信區(qū)間中的數(shù)字走進(jìn)生活。

（1）有大約68%的可能性，動(dòng)態(tài)范圍不超過(guò)平均值±σ。在一個(gè)班上，一班的平均分為80分，如果標(biāo)準(zhǔn)差為5分，我們就有68%的置信度說(shuō)，考慮到隨機(jī)性的影響，這個(gè)班的平均成績(jī)應(yīng)落在75~85之間，而不是之外。

（2）有大約95%的可能性，動(dòng)態(tài)范圍不超過(guò)平均值±2σ，即兩個(gè)σ的置信度是95%。做科學(xué)試驗(yàn)時(shí)，通常需要有95%的置信度，才能得到大家認(rèn)可的結(jié)論；在產(chǎn)品質(zhì)檢中，可以通過(guò)抽樣檢測(cè)來(lái)估計(jì)產(chǎn)品的平均質(zhì)量水平，并利用95%置信區(qū)間來(lái)評(píng)估這個(gè)估計(jì)的可靠性。

（3）如果我們進(jìn)一步擴(kuò)大誤差范圍到±3σ，那么這個(gè)置信度就提高到99.7%。在要求極高的實(shí)驗(yàn)中，我們甚至?xí)筮_(dá)到99.7%的置信度，甚至更高；在招聘中，面試官可以使用3σ原則來(lái)確定錄取分?jǐn)?shù)線。通過(guò)計(jì)算應(yīng)聘者的平均分?jǐn)?shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，可以確定一個(gè)合理的分?jǐn)?shù)線范圍，從而篩選出合格的應(yīng)聘者。

在02正態(tài)分布的主干知識(shí)中，我們介紹了影響正態(tài)分布形態(tài)的土壤（平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差），以及由此長(zhǎng)出的小樹（正態(tài)分布的圖像）。結(jié)束前，我想跟大家介紹一個(gè)與正態(tài)分布有關(guān)的常用小工具。

• 標(biāo)準(zhǔn)化與查表求概率

雖然通過(guò)觀察圖也能把握大致情況，但計(jì)算數(shù)值后會(huì)更便于理解，也方便向他人展示。好消息是，Z轉(zhuǎn)換（標(biāo)準(zhǔn)化）可以實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一尺度。

對(duì)于數(shù)據(jù)集中的每一個(gè)數(shù)值X，可使用以下公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

在這個(gè)公式中，Z是轉(zhuǎn)換后的標(biāo)準(zhǔn)值，X 是原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的值，μ是原始數(shù)據(jù)的平均值和σ是原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

別被公式嚇到，放進(jìn)日常的簡(jiǎn)單應(yīng)用場(chǎng)景就豁然開朗了。

小A參加了小學(xué)模擬考試，數(shù)學(xué)得了73分，英語(yǔ)得了76分。數(shù)學(xué)平均分是60分，英語(yǔ)平均分是68分。那么，小A的數(shù)學(xué)成績(jī)和英文成績(jī)，哪一個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較好呢？（得分均按照正態(tài)分布）實(shí)際上，僅這些條件是無(wú)法進(jìn)行判斷的，還需要能夠表示全體離散程度的標(biāo)準(zhǔn)差?，F(xiàn)在，我們假定數(shù)學(xué)是標(biāo)準(zhǔn)差為8分的正態(tài)分布，英語(yǔ)則是標(biāo)準(zhǔn)差為6分的正態(tài)分布。

用Z變換的公式可得：

英語(yǔ) :  （得分-平均分）÷標(biāo)準(zhǔn)差=（76-68）÷6=1.333

也就是說(shuō)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差為1時(shí)，小A的數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差分別是1.625、1.333。不同學(xué)科的成績(jī)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)得分后，變得可比較了。

另外，用“標(biāo)準(zhǔn)得分=1”進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化，“平均值”會(huì)變成什么樣呢？本來(lái)，平均分根據(jù)科目的不同而不同，但以標(biāo)準(zhǔn)得分進(jìn)行分布的時(shí)候，平均值為0。

因此，在對(duì)成績(jī)進(jìn)行“標(biāo)準(zhǔn)化”時(shí)，分布會(huì)變?yōu)槠骄?0、標(biāo)準(zhǔn)差=1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。需注意的是，標(biāo)準(zhǔn)化改變的只是圖的位置，比如向左或向右平移，但并不會(huì)改變“高矮胖瘦”。

完成z變換，我們就通過(guò)可以利用z值表找到對(duì)應(yīng)的概率值啦。這里會(huì)用到“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”。

這個(gè)表是前人整理好的數(shù)據(jù)，用起來(lái)也很方便。首先，我們要看最左手列，去查閱Z至小數(shù)點(diǎn)后1位數(shù)，之后，我們?cè)俨樽钌弦恍?，看Z的第二位小數(shù)，左右交叉得到的數(shù)，就是我們需要找的數(shù)。

放到小A的例子中，數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.625、英語(yǔ)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.333。我們來(lái)試試查這個(gè)表。以數(shù)學(xué)為例，先看最左列，Z至小數(shù)點(diǎn)后1位數(shù)為1.6，接著，再看最上行，Z的第2位小數(shù)我取0.02，交叉得到的數(shù)就是0.9474（藍(lán)色方框中的數(shù)）。英語(yǔ)的查閱方式同理，取值為0.9082。

04 結(jié)語(yǔ)