【原】6σ黃帶系列第二講：基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)學(xué)Ⅶ 中央極限定理

靖說六西格瑪 2023-10-29 發(fā)布于廣東

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我們對(duì)幾種中心趨勢(shì)的度量方法（平均值、中位數(shù)）做了說明。毫無(wú)疑問，均值是度量中心趨勢(shì)最常見的方法，通常用樣本均值來估計(jì)總體均值.

均值的抽樣分布 (sampling distribution of the mean)

在給定樣本容量的情況下所有可能的樣本均值的分布.

算術(shù)平均數(shù)的無(wú)偏性
算術(shù)平均數(shù)是無(wú)偏（unbiased）的，因?yàn)樗锌赡艿臉颖揪担ńo定樣本容量n）的平均值肯定等于總體的均值u.
均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差
      所有可能的樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差叫做均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（standard error of the mean）,表達(dá)了樣本均值是如何隨著樣本的不同而變動(dòng)的.
      均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差等于總體的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量n的平方根.

      在一個(gè)小樣本中，樣本均值也各不相同，因?yàn)槊恳粋€(gè)樣本均值將樣本中所有的數(shù)取平均了，所以樣本均值的波動(dòng)比總體本身的波動(dòng)小.
      總體中的個(gè)體結(jié)果可以在極小和極大之間波動(dòng)，假設(shè)樣本中包含一個(gè)極端的數(shù)據(jù)，即使它對(duì)樣本均值有影響，因?yàn)樗鼤?huì)被其他數(shù)據(jù)平均分?jǐn)偅运鼘?duì)樣本均值的影響也會(huì)被削弱.
       隨著樣本容量的增大，單個(gè)極端數(shù)據(jù)的影響就會(huì)變得越來越小，因?yàn)樗辉絹碓蕉嗟臄?shù)據(jù)平均分?jǐn)偭?所以，均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差就會(huì)因?yàn)槭軜颖救萘康钠椒礁绊懚冃?
正態(tài)分布總體的抽樣
如果總體服從正態(tài)分布，均值為u，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，那么不管樣本容量n的大小，均值的抽樣分布也服從正態(tài)分布，均值,均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，隨著樣本容量的增大，均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差則會(huì)變小，樣本均值越來越接近于總體均值.

在很多情況下，總體并不服從正態(tài)分布，也不能不切實(shí)際的假設(shè)它為正態(tài)分布,為了解決這個(gè)問題，需要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的定理.

中央極限定理(central limit theorem)-非正態(tài)分布的總體的抽樣
     當(dāng)樣本容量（樣本中的觀察值數(shù)量）足夠大的時(shí)候，不管總體的分布形狀如何，樣本均值的抽樣分布都近似于正態(tài)分布.
     作為一項(xiàng)一般準(zhǔn)則，統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多總體分布樣本容量至少為30的時(shí)候，均值的樣本分布接近正態(tài).如果總體分布極端偏斜或者有多種模式時(shí)，為保證正態(tài)性，樣本容量大于30.
      抽樣數(shù)為n,則此抽樣樣本所形成的抽樣平均值會(huì)是如何?
可以把此做法想象成:每次抽樣n個(gè)后統(tǒng)計(jì)平均值經(jīng)歷過無(wú)限次數(shù)后,平均值的分布狀況會(huì)如何?