凱利公式：永遠(yuǎn)給自己留一手牌

紅午雷碧 2024-02-12 發(fā)布于江西

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本文的“下注”是指游戲或合法投資，

所有賭博都不值得參與。

三個(gè)故事

故事1

最后一口水

有個(gè)人在沙漠上迷路了，后來沒有水，在救援人員趕來之前不幸離世。后來救援人員發(fā)現(xiàn)他隨身攜帶的鋼筆里還有墨水。有人說，假如他喝了墨水，沒準(zhǔn)兒能堅(jiān)持到獲救。

故事2

最后一層樓

這個(gè)故事大約是本世紀(jì)初我聽到的。有個(gè)富豪，生意做得很大。后來遭遇挫折，虧光所有資產(chǎn)。絕望時(shí)突然想起自己在HK買過一層寫字樓，一直沒放在心上，這時(shí)候真成了東山再起的籌碼。--幸好忘了，不然可能連這層樓也虧掉了。

故事3

最后一筆財(cái)

和幾個(gè)做投資的朋友吃飯。有位兄弟說起應(yīng)該像當(dāng)年猶太人那樣，備一些應(yīng)急的珠寶。一是如上世紀(jì)初地球混亂時(shí)能當(dāng)買路錢，二是逃到生地后也需要重振旗鼓的本錢。

我提及以上三個(gè)故事，重點(diǎn)不在應(yīng)急，而是想說：

任何時(shí)候，確保自己還有下注的能力，是一種極其重要的生存智慧。

這三個(gè)故事都揭示了一個(gè)核心的生存和成功原則：

無論你面對(duì)何種情況，都要確保自己保有下一步行動(dòng)的能力，無論是在商業(yè)、投資還是生活中。

故事一中的人如果意識(shí)到自己的鋼筆中的墨水，就可能能夠繼續(xù)生存下去，等待救援。

故事二中的富豪，在他的生意倒塌后，由于他之前在香港的一處寫字樓，他有機(jī)會(huì)重新開始，再次積累財(cái)富。

故事三中的猶太人，他們儲(chǔ)備了珠寶等貴重物品，使他們?cè)谧钤愀獾那闆r下仍有生存的可能。

所有這些故事都強(qiáng)調(diào)了保持“下注”的能力的重要性：

1、在投資中，這意味著你要保證自己有足夠的資金和資源來應(yīng)對(duì)市場(chǎng)的波動(dòng)和不確定性；

2、在生活中，這可能意味著你需要保持自己的身心健康，保持學(xué)習(xí)和進(jìn)步，以便在面對(duì)困難和挑戰(zhàn)時(shí)，你有能力和信心去應(yīng)對(duì)。

更往前一步，則是對(duì)凱利公式的思考。

凱利公式

一種聰明下注的方法

本文是對(duì)凱利公式的探討。該公式根據(jù)賭博贏或輸?shù)母怕?，?jì)算出每次下注的資金占所有賭本的最佳比例。

投資決策的一大特點(diǎn)是：在投資時(shí)機(jī)上，有一定的回旋余地，可以通過推遲行動(dòng)，以獲得有關(guān)未來的更多信息。

簡(jiǎn)而言之，對(duì)于不確定的事件，可以沿著時(shí)間軸，按照手上籌碼按照比例，分批次下注。

凱利公式只是一個(gè)公式，絕非神器。對(duì)于輸贏的概率，絕大多數(shù)時(shí)候只能是主觀判斷。

決策一定是面向未來的，充滿不確定性的。凱利公式將決策的”跨期“拆成了一個(gè)個(gè)單元，將時(shí)間變成了離散的下注區(qū)間。

在這個(gè)過程中，主觀概率亦能夠隨著時(shí)間而愈發(fā)逼近真相，此亦貝葉斯更新。

某種意義上，這是超越“人在時(shí)間洪流中只能活在當(dāng)下”的局限性，進(jìn)行整體的并發(fā)性思考。

人生總是起起伏伏，有輸有贏。

不要孤立地看待此生的某一個(gè)角落，也不要用某一個(gè)時(shí)刻為此生定性。

所謂大局觀，包括對(duì)空間、時(shí)間、事件、自我、“本金”的整體性思考。

時(shí)間，才是你我此生最大的本金。未來依然是寬廣的，忘掉沉沒的過往，也不要在狹窄的地方糾纏不清。

不管風(fēng)雨有多大，關(guān)鍵是讓自己留在牌桌上，等好運(yùn)再次降臨。

“賭神”的第一公式

孤獨(dú)大腦：說起下注，今天我們來聊凱利公式。

據(jù)說這是賭神的“第一公式”......

ChatGPT：凱利公式是一個(gè)用來決定最優(yōu)投注比例的公式，它幫助投資者和賭徒最大化長期的收益。

這個(gè)公式是由凱利在1956年提出的，他在貝爾實(shí)驗(yàn)室工作，試圖找到一種有效的通信線路噪聲管理策略。

然后他發(fā)現(xiàn)，他的理論可以應(yīng)用于賭博和投資領(lǐng)域，幫助人們確定每次下注的最佳金額。

凱利公式如下：

f* = (bp - q) / b

這里：

f* 是應(yīng)該下注的資金的比例；
b 是每次賭注的凈收益率（不包括本金的賠率）；
p 是獲勝的概率；
q 是失去賭注的概率，也就是（1-p）。

這個(gè)公式基于一個(gè)假設(shè)，那就是你可以準(zhǔn)確估計(jì)獲勝的概率和每次賭注的潛在收益。如果你的預(yù)測(cè)是準(zhǔn)確的，那么凱利公式可以告訴你應(yīng)該把多少錢投入到每次下注中，以最大化長期的收益。

然而，值得注意的是，凱利公式的應(yīng)用在實(shí)際情況中可能會(huì)非常復(fù)雜，因?yàn)椋?/span>

1、我們很難精確地預(yù)測(cè)獲勝的概率和每次賭注的潛在收益。

2、凱利公式可能會(huì)導(dǎo)致比較大的投注比例，如果你不能接受這種風(fēng)險(xiǎn)，那么你可能需要把下注比例降低一些。

孤獨(dú)大腦：講起凱利公式，我們必須要提一下香農(nóng)和索普。

當(dāng)年索普發(fā)現(xiàn)了在賭場(chǎng)玩兒二十一點(diǎn)戰(zhàn)勝莊家的辦法，但是，即使勝率占優(yōu)，期望值為正，因?yàn)橘€場(chǎng)的本金相對(duì)賭徒幾乎是無限多，所以每次如何下注依然是個(gè)難題。

索普向貝爾實(shí)驗(yàn)室最聰明的香農(nóng)求助，香農(nóng)于是推薦了第二聰明的凱利提出的公式。

ChatGPT：這個(gè)故事很有趣。

索普是一個(gè)極其聰明的數(shù)學(xué)家，他是最早系統(tǒng)性地研究二十一點(diǎn)游戲策略的人。他發(fā)現(xiàn)了一種可以在長期內(nèi)戰(zhàn)勝賭場(chǎng)的策略，這就是現(xiàn)在被廣泛使用的“基本策略”和“計(jì)數(shù)系統(tǒng)”。

然而，索普在確定每一局應(yīng)下注多少時(shí)遇到了問題。他明白，即使他有優(yōu)勢(shì)，但如果他每次下注過多，那么他仍然有可能在短期內(nèi)輸?shù)羲械腻X。他需要一種方法來平衡勝率和下注金額。

于是，他找到了香農(nóng)求助。香農(nóng)是信息論的創(chuàng)始人，他認(rèn)識(shí)到索普的問題實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于信息和噪聲的問題，于是推薦了凱利公式給他。

使用凱利公式，索普可以確定每次下注的最佳比例，使他的長期收益最大化。

凱利公式基于的思想是，如果你的策略具有正的期望收益，那么你應(yīng)該適度地增加投注，但又不能過度，以免風(fēng)險(xiǎn)太大。

這個(gè)故事是一個(gè)完美的例子，展示了數(shù)學(xué)、信息論和決策理論是如何在現(xiàn)實(shí)中發(fā)揮作用的。

凱利公式的推導(dǎo)

孤獨(dú)大腦：請(qǐng)你從數(shù)學(xué)角度，講一下凱利公式的原理、推導(dǎo)。

ChatGPT：凱利公式的基本思想是最大化長期投資的復(fù)利增長。它是在特定假設(shè)下推導(dǎo)出來的，主要用于確定在有正期望值的投資或下注中應(yīng)投入的比例。

先說原理。

凱利公式的基本思想源自信息理論和概率理論。

它的目標(biāo)是找到一個(gè)投資策略，使得資本的長期復(fù)利增長率最大。

這通常涉及到在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行權(quán)衡。

以下是公式推導(dǎo)。在一個(gè)簡(jiǎn)單的賭博游戲中，假設(shè)：

每次賭博贏的概率為p；
輸?shù)母怕蕿閝=1-p；
每次贏得的收益率為b（凈賠率）；
每次輸?shù)氖找媛蕿?1（輸?shù)舻氖悄阃度氲馁Y本）。

如果你決定每次賭博投入總資本的f比例，那么每次賭博后你的資本變?yōu)椋?/span>

贏：(1+f*b)；
輸：(1-f)。

假設(shè)每次賭博是獨(dú)立的，那么在n次賭博后，你的資本Cn為：

Cn = C0 * (1+f*b)^X * (1-f)^Y,

其中，X是你贏的次數(shù)，Y是你輸?shù)拇螖?shù)。

從長期來看（即n趨于無窮大），資本的期望對(duì)數(shù)增長率（即對(duì)數(shù)資本的期望增長率）是最重要的指標(biāo)。在這個(gè)模型中，這個(gè)增長率g為：

g = E[ln(Cn/C0)]/n = pln(1+fb) + q*ln(1-f).

你的目標(biāo)是找到一個(gè)f，使得g最大。這可以通過求解上面這個(gè)式子的最大值來實(shí)現(xiàn)。

使用微積分的方法，你會(huì)找到：

f* = (bp - q) / b,

其中f*是使得g最大的f值。

不確定情況下的復(fù)利

孤獨(dú)大腦：在某種意義上，凱利公式是用來計(jì)算不確定情況下的復(fù)利回報(bào)的。

在確定性情況下，復(fù)利的計(jì)算很簡(jiǎn)單；但在現(xiàn)實(shí)世界里，投資者哪怕勝率占優(yōu)，也是有輸有贏的。如上計(jì)算，全面考慮了虧和賺對(duì)整體收益的影響。

ChatGPT：是的，你的理解是正確的。

凱利公式就是在處理這樣的問題：在一個(gè)存在風(fēng)險(xiǎn)的環(huán)境中，你應(yīng)該如何分配你的投資，以最大化你的長期復(fù)利回報(bào)。

在確定性的環(huán)境中，復(fù)利的計(jì)算是簡(jiǎn)單直接的。如果你知道你的投資回報(bào)率，你可以簡(jiǎn)單地將這個(gè)回報(bào)率應(yīng)用于你的投資本金，然后持續(xù)復(fù)利，得到你的最終回報(bào)。

然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，投資者面臨的通常是一種風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境，即使你的策略勝率占優(yōu)，你也不能保證每一次投資都會(huì)贏。

這就是凱利公式的應(yīng)用場(chǎng)景。

凱利公式告訴你在每一次投資中應(yīng)該投入多少本金，這個(gè)數(shù)值是根據(jù)你的勝率和賠率計(jì)算出來的，以期最大化你的長期復(fù)利回報(bào)。

當(dāng)你遵循凱利公式進(jìn)行投資時(shí)，即使在一段時(shí)間內(nèi)有輸?shù)耐顿Y，只要你的策略在長期中勝率占優(yōu)，你的投資本金將會(huì)按照復(fù)利增長。

然而，需要注意的是，凱利公式并不能消除風(fēng)險(xiǎn)，它只是提供了一個(gè)理論上的最佳投資比例，以期望在長期中獲得最大的復(fù)利回報(bào)。

在實(shí)際應(yīng)用中，投資者可能需要考慮到其他的風(fēng)險(xiǎn)因素，比如市場(chǎng)的波動(dòng)性，投資者的風(fēng)險(xiǎn)承受能力等，所以可能不會(huì)完全按照凱利公式的建議進(jìn)行投資。

孤獨(dú)大腦：凱利公式只適用于期望值為正的投資。

也就是說，這個(gè)公式只能幫助一個(gè)好的投資，而無法挽救一個(gè)差的投資。

確切說，凱利公式無法幫助一個(gè)賭徒。

ChatGPT：是的，凱利公式是在投資或下注的期望值為正的情況下才能提供最優(yōu)策略的。

期望值是每次投資可能的收益與各自發(fā)生的概率的乘積之和。

如果一個(gè)投資的期望值為正，那就意味著在長期內(nèi)，這個(gè)投資平均每次能帶來正的收益。

反過來，如果一個(gè)投資的期望值為負(fù)，那就意味著在長期內(nèi)，這個(gè)投資平均每次會(huì)帶來損失。

凱利公式的目標(biāo)是找到一個(gè)策略，使得你的資本的長期復(fù)利增長率最大。

如果一個(gè)投資的期望值為負(fù)，那么無論你投入多少資本，長期來看你的資本都會(huì)減少。

在這種情況下，凱利公式?jīng)]有意義，因?yàn)闆]有任何策略能增加你的資本。

因此，凱利公式必須基于期望值為正的投資，否則，它無法提供有效的投資策略。

賠率和勝率的錯(cuò)覺

孤獨(dú)大腦：一篇強(qiáng)調(diào)“高賠率投資”的文章里，舉了一個(gè)“反面”例子。

按照凱利公式：

1、一個(gè)10倍賠率的機(jī)會(huì)，如果只有10%的概率贏，最佳下注倉位只有1%；

2、一個(gè)0.5倍賠率的機(jī)會(huì)（賺1虧2），如果有80%概率贏，最佳下注倉位可以到40%。

該文由此認(rèn)為：經(jīng)典投資理論更傾向于進(jìn)行高概率的投資，能夠提高對(duì)概率的把握就是提高勝率。

按照（凱利公式）這套重概率（勝率）輕賠率的做法，想在投資實(shí)踐中獲得高收益是非常不容易的。

因?yàn)楦怕屎茈y預(yù)估，并且由于投資并非扔骰子式的大規(guī)模重復(fù)，對(duì)結(jié)果無法驗(yàn)證。

問題來了，凱利公式真的“重勝率輕賠率”嗎？

ChatGPT：凱利公式是基于投資的概率和賠率來確定最佳的投資倉位的，所以它并非“重勝率輕賠率”或“重賠率輕勝率”，而是二者都要考慮。我們來具體計(jì)算一下你提供的兩個(gè)例子：

1、對(duì)于一個(gè)10倍賠率的投資機(jī)會(huì)，如果你贏的概率是10%，那么根據(jù)凱利公式：F* = p - q / b = 0.1 - 0.9 / 10 = 1%。

這就是說，如果你想最大化你的長期收益，那么你應(yīng)該把你的1%的資金投入這個(gè)投資機(jī)會(huì)。

2、對(duì)于一個(gè)0.5倍賠率的投資機(jī)會(huì)，如果你贏的概率是80%，那么根據(jù)凱利公式：F* = p - q / b = 0.8 - 0.2 / 0.5 = 40%。

這就是說，如果你想最大化你的長期收益，那么你應(yīng)該把你的40%的資金投入這個(gè)投資機(jī)會(huì)。

以上兩個(gè)例子清楚地表明，凱利公式并不是“重勝率輕賠率”，而是同時(shí)考慮了勝率和賠率來確定最佳的投資倉位。

孤獨(dú)大腦：其實(shí)有個(gè)簡(jiǎn)單的辦法。

為了讓人們理解凱利公式計(jì)算的是最佳結(jié)果，我們假設(shè)上面的第一個(gè)例子里，下注比例分別調(diào)整為2%、10%和20%。然后對(duì)比1%的最佳建議下注比例，看看最終整體回報(bào)分別是多少。

ChatGPT：我們分別算算看就知道了。

如果我們以1%的下注比例進(jìn)行投資，每次投資成功，收益是初始金額的10%，失敗則損失初始金額的1%。

假設(shè)有10000次獨(dú)立投資機(jī)會(huì)，其中有10%的機(jī)會(huì)獲勝（1000次），90%的機(jī)會(huì)失?。?000次）。

在這種情況下，最終的資金狀況如下：

在如上四種情況下，按照凱利公式1%的下注比例將會(huì)得到最大的最終資金。

當(dāng)你增加下注比例，盡管短期內(nèi)可能看到更高的回報(bào)，但由于下注更多，每次失敗時(shí)的損失也會(huì)更大，因此長期來看，最終的復(fù)利增長率將會(huì)降低。

孤獨(dú)大腦：從直覺上看，似乎凱利公式偏好勝率高而賠率一般的投資，而對(duì)賠率高但勝率低的投資比較冷靜。

ChatGPT：這是一個(gè)常見的誤解，但實(shí)際上凱利公式并不偏愛勝率高的投資。

凱利公式的重點(diǎn)是找到最佳的下注比例，以最大化長期的復(fù)利增長。這個(gè)比例取決于兩個(gè)因素：勝率和賠率。

在一個(gè)特定的賭局或投資中，賠率和勝率是相互關(guān)聯(lián)的。較高的賠率通常意味著較低的勝率，反之亦然。凱利公式會(huì)考慮這兩個(gè)因素，尋找一個(gè)平衡點(diǎn)，使得你的長期復(fù)利增長最大化。

實(shí)際上，如果賠率很高但勝率很低，凱利公式可能會(huì)建議你押注較小的比例，因?yàn)檫@樣可以降低你因?yàn)檫B續(xù)失敗而破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。

相反，如果賠率較低但勝率較高，凱利公式可能會(huì)建議你押注較大的比例，因?yàn)槟阌休^大的機(jī)會(huì)贏得這場(chǎng)賭局。

因此，凱利公式并不偏愛勝率高的投資，它只是試圖在勝率和賠率之間找到最佳的平衡，以最大化你的長期復(fù)利增長。

孤獨(dú)大腦：從人對(duì)下注比例的錯(cuò)覺看，人類在賭博的時(shí)候其實(shí)是有很大風(fēng)險(xiǎn)偏好的，這倒是很有趣。所以投資的時(shí)候謹(jǐn)慎一些總是好的。

“成長型”下注

孤獨(dú)大腦：假如一個(gè)下注游戲是不斷優(yōu)化的過程，前半截是期望值為負(fù)，但不斷下注會(huì)優(yōu)化勝率，直至期望值為正。請(qǐng)問這類游戲如何使用凱利公式？

ChatGPT：對(duì)于這種情況，可以將整個(gè)游戲過程看作是兩個(gè)階段，并分別對(duì)這兩個(gè)階段應(yīng)用凱利公式。

在第一階段，期望值為負(fù)。在這個(gè)階段，根據(jù)凱利公式，你應(yīng)該減小你的投入，甚至可以選擇不參與，以盡量減少損失。同時(shí)，你可以尋找改進(jìn)策略的方法，比如學(xué)習(xí)新的技巧，獲取更多的信息，以提高你贏的概率。

在第二階段，你已經(jīng)優(yōu)化了你的策略，期望值變?yōu)檎?/span>此時(shí)，你可以根據(jù)凱利公式，計(jì)算出最優(yōu)的投資比例，并據(jù)此進(jìn)行下注。

這種策略假設(shè)你可以準(zhǔn)確地估計(jì)每個(gè)階段的期望值，以及你有足夠的資源來經(jīng)受第一階段的損失。

在實(shí)際應(yīng)用中，這可能是一種挑戰(zhàn)，因此需要謹(jǐn)慎考慮是否有其他的風(fēng)險(xiǎn)管理策略，如止損、分散投資等。

孤獨(dú)大腦：但第一個(gè)階段不參與，就無法進(jìn)入第二個(gè)階段，請(qǐng)問該怎么辦？

ChatGPT：這是一個(gè)復(fù)雜的問題，因?yàn)槟愕臎Q策需要權(quán)衡短期的損失和長期的收益。在這種情況下，你可能需要做一些調(diào)整：

1、分配一部分資金用于“學(xué)習(xí)”階段。在期望值為負(fù)的初期階段，你可以將這視為一種學(xué)習(xí)或優(yōu)化的過程。你可以預(yù)先設(shè)定一個(gè)“學(xué)習(xí)預(yù)算”，并準(zhǔn)備在這個(gè)階段可能會(huì)有損失。這部分的資金應(yīng)該是你愿意并能夠承受損失的。

2、逐步提高投資。當(dāng)你的技能提升，勝率提高，期望值逐漸提高時(shí)，你可以逐漸增加你的投資，直到達(dá)到凱利公式推薦的最優(yōu)投資比例。需要注意的是，你應(yīng)該確保你的勝率確實(shí)有提升，并且期望值確實(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)正。

3、不斷審視和調(diào)整。在整個(gè)過程中，你應(yīng)該不斷審視自己的策略和結(jié)果，確保你正在朝著正確的方向進(jìn)步。如果發(fā)現(xiàn)自己的策略不起作用，或者損失超過了你預(yù)設(shè)的“學(xué)習(xí)預(yù)算”，你應(yīng)該停下來重新考慮你的策略。

總的來說，在面對(duì)期望值會(huì)發(fā)生變化的投資或下注時(shí)，使用凱利公式需要更加小心和靈活。

你需要準(zhǔn)備好在學(xué)習(xí)和優(yōu)化階段面臨一些損失，并適時(shí)地調(diào)整你的投資比例。

孤獨(dú)大腦：我們這里討論的“第一個(gè)階段”，是不是屬于精益創(chuàng)業(yè)的價(jià)值假設(shè)和價(jià)值驗(yàn)證階段？

ChatGPT：你的觀察非常有趣，確實(shí)可以將這個(gè)兩階段過程與精益創(chuàng)業(yè)的某些階段相對(duì)應(yīng)。

在精益創(chuàng)業(yè)中，初期階段通常被分為價(jià)值假設(shè)和價(jià)值驗(yàn)證。

在價(jià)值假設(shè)階段，創(chuàng)業(yè)者會(huì)基于對(duì)市場(chǎng)和用戶需求的理解，制定一個(gè)商業(yè)模式或產(chǎn)品方案。

然后在價(jià)值驗(yàn)證階段，通過構(gòu)建最小可行產(chǎn)品（MVP）并在目標(biāo)用戶中測(cè)試，來驗(yàn)證這個(gè)假設(shè)是否正確。

如果將這個(gè)概念應(yīng)用到你的問題中，第一階段的期望值為負(fù)的游戲，可以看作是一個(gè)“價(jià)值假設(shè)”階段。

你正在通過參與游戲，學(xué)習(xí)規(guī)則，試錯(cuò)，收集數(shù)據(jù)，以嘗試找到一個(gè)有利可圖的策略或技巧。

這個(gè)階段可能會(huì)有一些損失，就像創(chuàng)業(yè)初期可能需要投入一些成本進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研和產(chǎn)品開發(fā)。

然后，當(dāng)你找到了一個(gè)可能贏的策略，就進(jìn)入了“價(jià)值驗(yàn)證”階段。

你開始實(shí)施你的策略，看看它在實(shí)踐中是否有效。

如果你的策略確實(shí)提高了勝率并使期望值轉(zhuǎn)為正，那么你就找到了一個(gè)有效的策略，就像創(chuàng)業(yè)者找到了一個(gè)有效的商業(yè)模式。

所以說，這個(gè)兩階段過程的確有一些與精益創(chuàng)業(yè)相似的地方。

但請(qǐng)注意，這只是一個(gè)類比，兩者之間還有很多區(qū)別。

例如，創(chuàng)業(yè)過程中的許多因素，如市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，客戶反饋，技術(shù)更新等，在游戲或投資中可能并不適用。

孤獨(dú)大腦：那么，我們上面說的第二個(gè)階段，對(duì)應(yīng)的是精益創(chuàng)業(yè)的哪個(gè)階段？

ChatGPT：第二個(gè)階段，即期望值為正的階段，可以對(duì)應(yīng)到精益創(chuàng)業(yè)的持續(xù)優(yōu)化和擴(kuò)大規(guī)模階段。

在這個(gè)階段，創(chuàng)業(yè)者已經(jīng)驗(yàn)證了他們的價(jià)值假設(shè)，也就是說他們已經(jīng)找到了一個(gè)滿足市場(chǎng)需求的產(chǎn)品或服務(wù)，并已經(jīng)找到了一條有效的商業(yè)模式。

然后，他們需要在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)優(yōu)化產(chǎn)品或服務(wù)，提高產(chǎn)品質(zhì)量，增強(qiáng)用戶體驗(yàn)，以提高客戶滿意度和用戶留存率。

同時(shí)，他們也需要開始擴(kuò)大規(guī)模，拓展市場(chǎng)，吸引更多的客戶，增加銷售額，以實(shí)現(xiàn)更大的商業(yè)成功。這可能包括增加營銷和銷售活動(dòng)，擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，拓展到新的市場(chǎng)，甚至尋找新的收入來源。

同樣地，在第二個(gè)階段的游戲或投資中，你已經(jīng)找到了一個(gè)有利可圖的策略，然后你需要在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)優(yōu)化你的策略，提高你的勝率，以提高你的收益。

同時(shí)，你也可能需要開始擴(kuò)大投資規(guī)模，投入更多的資本，以實(shí)現(xiàn)更大的收益。

總的來說，這個(gè)階段的主要目標(biāo)是在驗(yàn)證了價(jià)值假設(shè)后，實(shí)現(xiàn)持續(xù)的優(yōu)化和擴(kuò)大規(guī)模，以實(shí)現(xiàn)更大的成功。

虧和賺的不對(duì)稱

孤獨(dú)大腦：我們說回凱利公式吧，它的目標(biāo)是最大化長期的復(fù)利增長。

如果算到每年，其實(shí)就是最大化每年的復(fù)合回報(bào)率，也就是最大化期末財(cái)富的幾何平均值。

ChatGPT：你的理解完全正確。凱利公式的目標(biāo)就是最大化長期的復(fù)利增長，換句話說，它試圖找到一個(gè)投資策略，使得在長期內(nèi)你的期末財(cái)富的幾何平均值達(dá)到最大。

這是因?yàn)?，在投資中，我們對(duì)復(fù)利回報(bào)非常感興趣，因?yàn)閺?fù)利回報(bào)是資產(chǎn)增長的關(guān)鍵驅(qū)動(dòng)力。

這一點(diǎn)很重要，因?yàn)樵S多投資者可能會(huì)犯一個(gè)常見的錯(cuò)誤，那就是關(guān)注算術(shù)平均回報(bào)，而忽視了幾何平均回報(bào)。

算術(shù)平均回報(bào)可以給出一種投資策略在每個(gè)時(shí)期的平均收益，但是它并不能準(zhǔn)確反映一個(gè)投資策略的長期表現(xiàn)。

反之，幾何平均回報(bào)更能準(zhǔn)確地描述投資的長期增長，因?yàn)樗紤]了資產(chǎn)價(jià)值的復(fù)利增長。

因此，凱利公式的目標(biāo)就是找到一個(gè)策略，使得期末財(cái)富的幾何平均值最大。這通常意味著它會(huì)建議投資者在面對(duì)有利的機(jī)會(huì)時(shí)增加投資，而在面對(duì)不利的情況時(shí)減少投資。

這是一種動(dòng)態(tài)的投資策略，需要投資者在每個(gè)時(shí)期都根據(jù)當(dāng)前的勝率和賠率來調(diào)整投資比例。

孤獨(dú)大腦：我們講一下幾何平均回報(bào)和算術(shù)平均回報(bào)之間的差別吧。

ChatGPT：好的，來看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

假設(shè)你有一個(gè)投資，第一年你賺了50%，第二年你虧了50%。讓我們看看算術(shù)平均回報(bào)和幾何平均回報(bào)是如何計(jì)算的。

算術(shù)平均回報(bào)很簡(jiǎn)單，你只需要把每年的回報(bào)相加然后除以年數(shù)。在這個(gè)例子中，算術(shù)平均回報(bào)就是（50% - 50%）/ 2 = 0%，看起來你沒有賺也沒有虧。

然而，如果我們真正地去看你的投資表現(xiàn)，情況就不是這樣了。假設(shè)你初始投資了100元，第一年你賺了50%，所以你有150元。第二年你虧了50%，那么你就只剩下150元的50%，即75元。實(shí)際上，你在這兩年里虧了25元。

這時(shí)候，你需要計(jì)算的是幾何平均回報(bào)，也就是每年投資的復(fù)合增長率。在這個(gè)例子中，幾何平均回報(bào)是(75/100)^(1/2) - 1 = -13.4%，這意味著每年你平均虧損了13.4%，這才是反映你真實(shí)投資表現(xiàn)的指標(biāo)。

這個(gè)例子清楚地表明，當(dāng)我們關(guān)注投資的長期表現(xiàn)時(shí)，幾何平均回報(bào)（也就是復(fù)合年化回報(bào)率）比算術(shù)平均回報(bào)更能準(zhǔn)確地反映投資的真實(shí)收益。

這也是為什么凱利公式的目標(biāo)是最大化幾何平均回報(bào)，而不是算術(shù)平均回報(bào)。

孤獨(dú)大腦：顯然，我們一生的財(cái)富復(fù)利，是一個(gè)連續(xù)相乘的過程。所以，漲50%與跌50%并不對(duì)稱。

ChatGPT：你說得對(duì)。

我們?cè)谟?jì)算投資收益時(shí)，漲50%和跌50%并不對(duì)稱，這是因?yàn)橥顿Y收益是按照復(fù)利計(jì)算的，而不是簡(jiǎn)單地相加或相減。

這就是為什么幾何平均回報(bào)（反映復(fù)利增長）比算術(shù)平均回報(bào)（簡(jiǎn)單地加總每個(gè)時(shí)期的收益）更能準(zhǔn)確地反映投資的真實(shí)收益。

復(fù)利是一種強(qiáng)大的力量，它可以使你的投資在長期內(nèi)顯著增長。

但是，復(fù)利同時(shí)也意味著你的損失會(huì)被放大。如果你的投資在某一年虧損了很多，那么你需要獲得更高的回報(bào)才能彌補(bǔ)這個(gè)損失。

例如，在我們前面的例子中，投資第一年賺了50%，第二年虧了50%，結(jié)果是投資總體上虧損了。

這就是為什么我們?cè)谠u(píng)估投資的風(fēng)險(xiǎn)和收益時(shí)，需要考慮到復(fù)利的影響。

這也是為什么凱利公式在確定投資比例時(shí)，會(huì)考慮到賠率和勝率，以便在最大化期望收益的同時(shí)，盡可能地減少虧損的可能性。

通過動(dòng)態(tài)地調(diào)整投資比例，凱利公式能夠幫助投資者在保持投資回報(bào)的同時(shí)，有效地管理投資風(fēng)險(xiǎn)。

避免歸零

孤獨(dú)大腦：按照我們上面的說法，“損失厭惡”其實(shí)也有理性的一面，而且還有數(shù)學(xué)解釋呢。

ChatGPT：確實(shí)如此。

'損失厭惡'是行為經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，指的是人們對(duì)損失的厭惡感大于對(duì)同等數(shù)額收益的喜愛感。

從傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)角度來看，這似乎是非理性的，因?yàn)檎５娘L(fēng)險(xiǎn)厭惡者應(yīng)該對(duì)收益和損失的感受是對(duì)稱的。

然而，實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，人們的行為往往是損失厭惡的。

從數(shù)學(xué)的角度看，損失厭惡其實(shí)有其合理之處。

正如我們前面討論的，由于投資收益的復(fù)利效應(yīng)，損失確實(shí)比同等數(shù)額的收益更具破壞力。一旦你的投資虧損，你需要獲得更高的回報(bào)才能彌補(bǔ)損失。

因此，對(duì)于希望長期復(fù)利增長財(cái)富的投資者來說，避免虧損就變得尤為重要。

孤獨(dú)大腦：我們是不是可以這樣理解，凱利公式一方面是為了最大化長期的復(fù)利增長，一方面是為了避免因短期運(yùn)氣不好而被歸零的風(fēng)險(xiǎn)。

ChatGPT：你的理解非常準(zhǔn)確。

凱利公式的目的確實(shí)是在追求最大化長期復(fù)利增長的同時(shí)，盡可能降低在短期內(nèi)遭受重大損失甚至破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。

具體來說，凱利公式推薦的投注比例是基于你的勝率和賠率來計(jì)算的。如果你的勝率較高，或者你的賠率較好，那么凱利公式將推薦你增加投注額。

然而，無論你的勝率和賠率如何，凱利公式推薦的投注額都不會(huì)超過你的全部資金，這就確保了你在任何一次投注后都不會(huì)破產(chǎn)。

永遠(yuǎn)不要All in，更不要加杠桿。

同時(shí)，由于凱利公式推薦的投注額是根據(jù)你的勝率和賠率動(dòng)態(tài)調(diào)整的，因此當(dāng)你的運(yùn)氣不好，或者你的策略效果下降時(shí)，凱利公式會(huì)自動(dòng)降低你的投注額，從而降低你的風(fēng)險(xiǎn)。

這就是凱利公式如何在追求長期增長的同時(shí)，避免短期的重大損失。

所以，如果你正在尋找一個(gè)既可以最大化長期回報(bào)，又可以管理短期風(fēng)險(xiǎn)的策略，那么凱利公式可能是一個(gè)值得考慮的選項(xiàng)。

伯努利原理

孤獨(dú)大腦：請(qǐng)你說說伯努利原理和凱利公式之間的關(guān)系。

ChatGPT：伯努利原理和凱利公式都是解決風(fēng)險(xiǎn)決策問題的重要工具，但它們的應(yīng)用場(chǎng)景和側(cè)重點(diǎn)不同。

伯努利原理，或伯努利定理，是概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)基本定理，它描述了在大量獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值會(huì)趨近于期望值。

在投資領(lǐng)域，伯努利原理常被用來描述資產(chǎn)的期望回報(bào)。如果我們把每一次投資看作是一個(gè)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，那么伯努利原理告訴我們，隨著投資次數(shù)的增加，我們的平均收益將趨近于投資的期望收益。這就是眾所周知的大數(shù)定律。

而凱利公式則是一個(gè)優(yōu)化工具，它告訴我們應(yīng)該如何分配資金，以在給定的勝率和賠率下，最大化投資的長期復(fù)利回報(bào)。

凱利公式的目標(biāo)不僅僅是期望收益，而是長期的復(fù)利增長。因此，凱利公式的應(yīng)用往往更側(cè)重于風(fēng)險(xiǎn)管理和資金分配。

總的來說，伯努利原理和凱利公式都是幫助我們理解和管理風(fēng)險(xiǎn)的重要工具，但它們的側(cè)重點(diǎn)不同：

伯努利原理更側(cè)重于理解風(fēng)險(xiǎn)；
凱利公式則更側(cè)重于管理風(fēng)險(xiǎn)。

孤獨(dú)大腦：那么，長期看，運(yùn)用凱利公式所實(shí)現(xiàn)的期望值，與伯努利原理計(jì)算的期望值是否一樣？

ChatGPT：在理論上，運(yùn)用凱利公式所實(shí)現(xiàn)的長期期望值（復(fù)利增長率）和伯努利原理計(jì)算的期望值（算術(shù)平均回報(bào)）可以是不同的。

原因在于這兩者考慮的重點(diǎn)不同：

a、伯努利原理側(cè)重于每次投注的平均回報(bào)；

b、凱利公式則關(guān)注的是長期復(fù)利增長。

實(shí)際上，運(yùn)用凱利公式管理投資策略，我們的目標(biāo)是最大化長期復(fù)利增長，而不僅僅是每次投注的平均回報(bào)。

這也就意味著，即使在短期內(nèi)存在波動(dòng)，只要長期能實(shí)現(xiàn)更高的復(fù)利增長，我們就能獲得更好的投資效果。

這就是為什么凱利公式在實(shí)踐中往往能帶來更好的投資效果，盡管在單次投注的期望值上，它可能并不是最優(yōu)的。

通過合理的風(fēng)險(xiǎn)管理，我們可以避免由于短期波動(dòng)而導(dǎo)致的大幅損失，從而保證長期的復(fù)利增長。

所以，雖然伯努利原理和凱利公式的期望值計(jì)算可能不同，但凱利公式往往能為投資者帶來更好的長期投資效果。

實(shí)現(xiàn)遍歷性

孤獨(dú)大腦：是不是可以這樣說，凱利公式從理想的角度，例如賠率、勝率是已知并且不變的，理論上確保了投資者的遍歷性？

ChatGPT：在理想條件下，凱利公式確實(shí)能幫助投資者優(yōu)化他們的投注策略以最大化長期復(fù)利增長。

這種優(yōu)化在一定程度上確保了投資者在所有可能的投注結(jié)果中的遍歷性，也就是說，如果按照凱利公式進(jìn)行投注，長期來看，投資者將在各種可能的結(jié)果中均有所得，最終實(shí)現(xiàn)長期復(fù)利的最大化。

然而，這并不意味著凱利公式可以完全確保投資者的遍歷性，因?yàn)閷?shí)際中的許多因素，如市場(chǎng)波動(dòng)、不確定性，以及投資者自身的行為偏好等，可能會(huì)影響到投資者的遍歷性。

因此，雖然在理想條件下，凱利公式在理論上可以增強(qiáng)投資者的遍歷性，但在實(shí)際應(yīng)用中，投資者還需要考慮到其他的因素，并靈活調(diào)整自己的投注策略。

孤獨(dú)大腦：對(duì)于上面遍歷性的討論，我們是不是可以有個(gè)簡(jiǎn)單形象的描述--

凱利公式可以確保投資者在一個(gè)期望值為正的項(xiàng)目中能夠始終留在牌桌上，進(jìn)而有機(jī)會(huì)實(shí)現(xiàn)最大化長期收益。

ChatGPT：是的，這是一個(gè)很好的形象化的描述。

凱利公式確實(shí)能夠幫助投資者最大化長期復(fù)利增長，同時(shí)也能避免短期內(nèi)由于運(yùn)氣不好而把自己逼到牌桌之外。

這就意味著，只要投資項(xiàng)目的期望值是正的，即你做出的投資決策是有益的，那么你就可以通過凱利公式找到一個(gè)最佳的下注比例，使得你在面臨短期風(fēng)險(xiǎn)時(shí)仍然能夠堅(jiān)持下去，從而實(shí)現(xiàn)長期的收益最大化。

這個(gè)過程就像是在賭場(chǎng)中始終留在牌桌上，通過長時(shí)間的積累實(shí)現(xiàn)收益的增長。

孤獨(dú)大腦：就像我們本文開始講的那三個(gè)小故事，確保自己始終有下注的能力，有進(jìn)一步行動(dòng)的本錢，是非常重要的。

ChatGPT：你提到的三個(gè)故事非常精彩，它們都展現(xiàn)了在極端情況下，始終保留下注能力的重要性。

這三個(gè)故事的主角們，他們的'最后一口水'，'最后一層樓'以及'最后一筆財(cái)'，都代表了他們的最后一次下注的機(jī)會(huì)。

在投資領(lǐng)域，這種思想也是至關(guān)重要的。無論我們面臨怎樣的挑戰(zhàn)，我們都應(yīng)該確保自己始終有機(jī)會(huì)繼續(xù)投資，有機(jī)會(huì)抓住可能出現(xiàn)的利潤機(jī)會(huì)。

這就是我們?cè)谡務(wù)搫P利公式時(shí)所強(qiáng)調(diào)的：最大化長期收益的同時(shí)，也要確保始終留在游戲中。

不論是在生活中還是在投資中，我們都應(yīng)該傾聽這個(gè)信息：

不要一次性把所有的資源都用完，而是要留有余地，這樣當(dāng)出現(xiàn)新的機(jī)會(huì)時(shí)，我們還有本錢去抓住它。

這就是我們討論遍歷性時(shí)所說的——始終保持在游戲中的能力，以便在長期中實(shí)現(xiàn)最大收益。

攻守兼?zhèn)?/span>

孤獨(dú)大腦：我覺得，凱利公式對(duì)投資者而言，特別強(qiáng)調(diào)攻守兼?zhèn)?。的確，偉大的投資者，首先都是偉大的防守者。這和下棋很像。

ChatGPT：你的比喻十分恰當(dāng)。無論是投資還是下棋，攻與防都同樣重要，這是一個(gè)平衡的過程。

在下棋中，如果只考慮攻擊而忽視防守，可能會(huì)因?yàn)槭韬龆數(shù)舯荣悺?/span>

同樣，在投資中，如果只追求最大的收益而忽視風(fēng)險(xiǎn)，可能會(huì)因?yàn)槭袌?chǎng)的變動(dòng)而遭受損失。

凱利公式，作為一種優(yōu)化投資策略的工具，提供了一種有效的平衡攻守的方法。它通過計(jì)算得出最優(yōu)的投資比例，以期在追求最大收益的同時(shí)，降低可能出現(xiàn)的損失，使投資者始終能保持在游戲中。

同時(shí)，凱利公式強(qiáng)調(diào)了長期視角的重要性，這也是偉大的投資者和下棋高手們共有的特質(zhì)。他們總是能從長期的角度看待問題，能在瞬息萬變的局勢(shì)中，預(yù)見并計(jì)劃未來的發(fā)展。

總的來說，投資如同下棋，需要考慮的因素眾多，而凱利公式則提供了一種有效的策略，幫助我們?cè)趶?fù)雜的游戲中找到最優(yōu)的路徑。

源源不斷的現(xiàn)金流

孤獨(dú)大腦：說起厲害的投資者，還有一點(diǎn)非常重要，對(duì)比普通投資者，他們有源源不斷的現(xiàn)金流。

如此一來，在凱利公式的框架里，他們就有更多本金來調(diào)節(jié)，讓幾何平均數(shù)更大，從而整體回報(bào)也更高。

尤其是，在整個(gè)市場(chǎng)出現(xiàn)較大回調(diào)時(shí)，補(bǔ)充彈藥可以起到很大的杠桿作用。

ChatGPT：你說得非常對(duì)，現(xiàn)金流對(duì)于投資者而言的確是非常重要的。

首先，源源不斷的現(xiàn)金流意味著投資者有能力在必要的時(shí)候調(diào)整投資策略。比如在看好的機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)增加投資，或者在市場(chǎng)環(huán)境不佳時(shí)減少風(fēng)險(xiǎn)。這樣的靈活性對(duì)于追求最大收益是非常有幫助的。

其次，強(qiáng)大的現(xiàn)金流還為投資者提供了更大的風(fēng)險(xiǎn)承受能力。投資總是伴隨著風(fēng)險(xiǎn)，即使在凱利公式的指導(dǎo)下，也無法完全避免可能出現(xiàn)的損失。然而，有了強(qiáng)大的現(xiàn)金流，投資者可以更有信心去承受這些風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)樗麄冎雷约河凶銐虻馁Y源去應(yīng)對(duì)可能出現(xiàn)的困難。

此外，對(duì)于那些有持續(xù)現(xiàn)金流的投資者，他們可以使用這個(gè)優(yōu)勢(shì)來提高自己的回報(bào)。比如說，他們可以使用這部分現(xiàn)金去投資那些可能帶來高收益但需要較大資金的機(jī)會(huì)，或者在市場(chǎng)低迷時(shí)，他們可以買入更多的股票，從而在市場(chǎng)回升時(shí)獲取更大的收益。

總的來說，現(xiàn)金流的確是投資者的一項(xiàng)重要優(yōu)勢(shì)，它可以幫助投資者更好地運(yùn)用凱利公式，從而獲取更大的收益。

凱利公式的“缺點(diǎn)”

孤獨(dú)大腦：說說凱利公式的缺點(diǎn)，以及我們使用時(shí)要特別小心什么。

ChatGPT：雖然凱利公式在理論上是最優(yōu)化長期資本增長的投資策略，但在實(shí)際應(yīng)用中，確實(shí)存在一些需要注意的問題和挑戰(zhàn)。

1、預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

凱利公式的應(yīng)用依賴于對(duì)勝率（贏的概率）和賠率（贏時(shí)的回報(bào)率）的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

然而，很多時(shí)候，尤其是在投資市場(chǎng)中，這兩個(gè)變量是難以精確估計(jì)的。

如果預(yù)測(cè)得不準(zhǔn)確，使用凱利公式可能導(dǎo)致過度投資或者投資過少。

2、風(fēng)險(xiǎn)容忍度。

凱利公式的建議投資比例可能會(huì)非常高，特別是在預(yù)期的回報(bào)率遠(yuǎn)大于損失時(shí)。

這可能會(huì)導(dǎo)致在短期內(nèi)的資本波動(dòng)過大，這對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者來說可能是不可接受的。

3、賠率的變化。

在許多情況下，賠率并不是固定的，而是會(huì)隨著市場(chǎng)狀況的變化而變化。

在這種情況下，使用凱利公式計(jì)算出來的投資比例可能需要經(jīng)常調(diào)整，這可能在實(shí)踐中是不現(xiàn)實(shí)的。

4、假設(shè)的限制。

凱利公式假設(shè)每次投資都是獨(dú)立的，這在許多投資場(chǎng)景中可能并不適用。

例如，如果你在股票市場(chǎng)投資，市場(chǎng)的總體狀況可能會(huì)影響所有的股票，這就使得投資的結(jié)果并不是獨(dú)立的。

因此，在使用凱利公式時(shí)，我們需要認(rèn)識(shí)到這些挑戰(zhàn)和限制，同時(shí)結(jié)合其他投資工具和理論來做出投資決策。

例如，我們可能需要結(jié)合其他風(fēng)險(xiǎn)管理工具，如分散投資，來降低風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí)，我們可能需要結(jié)合市場(chǎng)研究和經(jīng)濟(jì)分析，來更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)勝率和賠率。

總的來說，凱利公式是一個(gè)有用的工具，但需要謹(jǐn)慎使用。

小心使用

孤獨(dú)大腦：的確如此。最初索普使用凱利公式，是用在賭場(chǎng)玩兒二十一點(diǎn)。

這類游戲和投資有很大不同，二十一點(diǎn)的勝率和賠率是相對(duì)穩(wěn)定的，而且是可以高頻、大規(guī)模地下注，比較容易實(shí)現(xiàn)所謂的遍歷性。賭場(chǎng)的每一次下注也符合概率原理里的獨(dú)立性。

但投資并不一樣。

ChatGPT：確實(shí)，凱利公式最初是用在賭場(chǎng)二十一點(diǎn)的環(huán)境中，這個(gè)環(huán)境與投資市場(chǎng)有很大的不同。

1、賠率和勝率的穩(wěn)定性。

在賭場(chǎng)二十一點(diǎn)游戲中，賠率和勝率是相對(duì)穩(wěn)定的。

而在投資市場(chǎng)中，賠率（即預(yù)期的回報(bào)）和勝率（即投資成功的概率）通常是不穩(wěn)定的，會(huì)受到許多因素的影響，比如市場(chǎng)環(huán)境、宏觀經(jīng)濟(jì)、公司基本面、政策風(fēng)險(xiǎn)等等。

這種不穩(wěn)定性增加了凱利公式應(yīng)用的難度和風(fēng)險(xiǎn)。

2、投資的獨(dú)立性。

在賭場(chǎng)的二十一點(diǎn)游戲中，每一次的游戲都是獨(dú)立的，即之前的游戲結(jié)果不會(huì)影響到后面的游戲結(jié)果。

而在投資市場(chǎng)中，投資的結(jié)果并不總是獨(dú)立的。

比如，市場(chǎng)的總體趨勢(shì)可能會(huì)影響到所有的投資，公司的某次財(cái)報(bào)可能會(huì)影響到接下來的股票價(jià)格等等。這種依賴性使得凱利公式的應(yīng)用更加復(fù)雜。

3、投注次數(shù)。

在賭場(chǎng)中，投注次數(shù)可以非常多，而且每一次投注的間隔相對(duì)較短。這使得遍歷性可以較容易地實(shí)現(xiàn)，即在足夠多的次數(shù)下，結(jié)果將接近預(yù)期的平均值。

而在投資市場(chǎng)中，由于市場(chǎng)只有每天開放一次，投注次數(shù)相對(duì)較少，且投注間隔長，這使得在短期內(nèi)可能會(huì)有很大的波動(dòng)，遍歷性的實(shí)現(xiàn)更加困難。

綜上所述，雖然凱利公式在理論上是一個(gè)優(yōu)秀的投資工具，但在實(shí)際投資環(huán)境中，由于上述原因，它的應(yīng)用需要更加謹(jǐn)慎，同時(shí)需要結(jié)合其他投資工具和策略。

孤獨(dú)大腦：有一種建議是，投資者可以按照凱利公式來計(jì)算投資比例，然后再除以二，作為實(shí)際的投資比例。

ChatGPT：這種策略通常被稱為'半凱利'投資策略。

其基本思想是，雖然凱利公式能夠提供期望回報(bào)最大化的投資比例，但由于該公式對(duì)預(yù)測(cè)賠率和勝率的準(zhǔn)確性有很高的依賴性，以及它可能產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)水平可能超過許多投資者的風(fēng)險(xiǎn)承受能力，因此在實(shí)際操作中，投資者可能會(huì)選擇投入較為保守的資金。

'半凱利'策略實(shí)際上就是將凱利公式計(jì)算出來的投資比例減半，從而達(dá)到在期望回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)之間更好的平衡。這種策略降低了投資者的風(fēng)險(xiǎn)敞口，同時(shí)還保留了利用凱利公式進(jìn)行優(yōu)化的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)然，這也意味著可能的期望回報(bào)將會(huì)降低。

總的來說，'半凱利'策略是一種相對(duì)保守的投資策略，適合對(duì)風(fēng)險(xiǎn)有較高敏感度或?qū)r率和勝率預(yù)測(cè)不甚確定的投資者。

然而，無論采取何種策略，投資者都應(yīng)該理解凱利公式和風(fēng)險(xiǎn)管理的基本原理，并根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)承受能力和投資目標(biāo)來做出決策。

'香農(nóng)惡魔'策略

孤獨(dú)大腦：我們說說香農(nóng)吧，他不僅是位優(yōu)秀的科學(xué)家，投資上據(jù)說也很厲害。

ChatGPT：克勞德·香農(nóng)是一位非常出色的科學(xué)家，他的貢獻(xiàn)在信息理論、密碼學(xué)以及很多其他領(lǐng)域都得到了廣泛的認(rèn)可。然而，他的才能并不止于此，香農(nóng)也是一位出色的投資者，他對(duì)投資的理解和策略值得我們學(xué)習(xí)。

他在后半生投身于股票，從1950年代末到1986年取得了年化28%的收益率，據(jù)說比巴菲特還高。

孤獨(dú)大腦：香農(nóng)曾經(jīng)提出過一種被叫做Shannon's Demon的投資方法，具體如下--

用投資組合的50%倉位持有一只股票，另外50%為現(xiàn)金。

操作的方法就是每天讓這個(gè)組合中股票和現(xiàn)金的比例保持50/50。假設(shè)有10000元，其中5000買了一只股票；

假如第二天股票跌了一半，你有2500的股票市值和5000現(xiàn)金，重新配置倉位（Rebalance），現(xiàn)在有3750的市值和3750的現(xiàn)金。

下一天，假如股票翻倍，你有7500的市值和3750現(xiàn)金，總資產(chǎn)11250，收益為1250。

雖然股票價(jià)格沒變。如果按價(jià)值投資者持有不動(dòng)不會(huì)有任何收益。這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)在于，完全不用預(yù)測(cè)市場(chǎng)漲跌，不需要任何先驗(yàn)信息。特別適合于震蕩市。

不過香農(nóng)說由于過高的傭金，他自己并沒有使用該方法。

ChatGPT：香農(nóng)的這種投資方法，即所謂的'香農(nóng)魔鬼'或'香農(nóng)惡魔'策略，的確具有一定的理論吸引力。

這種策略基于的是資產(chǎn)的再平衡原則，通過定期調(diào)整資產(chǎn)組合，使其保持在一個(gè)預(yù)定的固定比例。在這個(gè)例子中，就是保持股票和現(xiàn)金各占投資組合的50%。

這種策略的主要優(yōu)點(diǎn)是，它不依賴于市場(chǎng)的漲跌預(yù)測(cè)，只關(guān)注資產(chǎn)的比例。

因此，無論市場(chǎng)如何波動(dòng)，只要定期調(diào)整投資組合，就可以實(shí)現(xiàn)一定的收益。這也是為什么這種策略在震蕩市中特別有效，因?yàn)檎鹗幨兄械膬r(jià)格變化會(huì)創(chuàng)造出更多的再平衡機(jī)會(huì)。

然而，香農(nóng)魔鬼策略也存在一些局限性和風(fēng)險(xiǎn)。

首先，頻繁的再平衡會(huì)增加交易成本，這可能會(huì)侵蝕掉一部分收益。

其次，這種策略在大幅上漲或下跌的市場(chǎng)中可能不如簡(jiǎn)單的持有策略有效，因?yàn)樵倨胶饪赡軙?huì)導(dǎo)致賣出正在上漲的資產(chǎn)或買入正在下跌的資產(chǎn)。

此外，這種策略也需要投資者有一定的心理承受能力，因?yàn)樵谑袌?chǎng)下跌時(shí)，可能需要不斷地買入下跌的資產(chǎn)。

總的來說，香農(nóng)魔鬼策略是一個(gè)有趣且理論上有一定吸引力的投資策略，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要考慮到交易成本和市場(chǎng)環(huán)境的影響，并根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)承受能力做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

孤獨(dú)大腦：那么，香農(nóng)的高回報(bào)是如何實(shí)現(xiàn)的？

ChatGPT：香農(nóng)的投資成功更多的是源于他在信息理論和概率理論方面的專業(yè)知識(shí)，以及他對(duì)技術(shù)和創(chuàng)新公司的深入理解。

然而，他的投資哲學(xué)，特別是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和機(jī)會(huì)的均衡理解，對(duì)很多投資者和投資理論的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。

有記載稱，香農(nóng)的投資策略實(shí)際上更傾向于對(duì)創(chuàng)新技術(shù)和新興行業(yè)的長期投資。

他相信技術(shù)的進(jìn)步和創(chuàng)新是驅(qū)動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長的主要因素，因此，他大量投資了一些在當(dāng)時(shí)被視為風(fēng)險(xiǎn)較高的科技公司，包括早期的計(jì)算機(jī)公司和電信公司。

此外，香農(nóng)也被稱贊為是一位出色的投資者，他對(duì)市場(chǎng)的理解和對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的把握顯示出了他在投資領(lǐng)域的獨(dú)特見解和深厚實(shí)力。

總的來說，雖然香農(nóng)可能沒有直接應(yīng)用他的'香農(nóng)魔鬼'策略，但他的投資哲學(xué)和實(shí)踐無疑為后世的投資者和理論家提供了寶貴的啟示。

'凱利公式'小結(jié)

孤獨(dú)大腦：我們對(duì)凱利公式和下注比例做個(gè)總結(jié)吧。

ChatGPT：總結(jié)一下我們的討論。

1、凱利公式是一個(gè)強(qiáng)大的工具，它可以幫助我們理解如何最大化長期投資回報(bào)。這個(gè)公式告訴我們，對(duì)于任何有正期望值的投資機(jī)會(huì)，應(yīng)該投資的比例是多少，以最大化長期的復(fù)合增長。

2、凱利公式的應(yīng)用需要慎重考慮，尤其是在估計(jì)勝率和賠率時(shí)。在實(shí)際應(yīng)用中，這些參數(shù)往往很難準(zhǔn)確估計(jì)，如果預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致過度投資或投資不足。

3、不斷的再平衡（Rebalancing）是一個(gè)重要的策略，它可以幫助我們利用市場(chǎng)的波動(dòng)，進(jìn)一步提高投資回報(bào)。 這個(gè)策略的優(yōu)點(diǎn)是，不需要預(yù)測(cè)市場(chǎng)的走勢(shì)，只需要定期調(diào)整投資比例，使其保持在一定的比例。

4、投資是一種平衡風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的活動(dòng)。雖然我們都希望獲得高回報(bào)，但是我們也不能忽視風(fēng)險(xiǎn)。凱利公式可以幫助我們理解這種平衡，但在實(shí)際應(yīng)用中，我們還需要考慮我們自己的風(fēng)險(xiǎn)承受能力。

5、投資不僅僅是選擇正確的投資項(xiàng)目，還需要正確的投資比例和時(shí)間。凱利公式和再平衡策略都強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)。

十個(gè)'財(cái)富思維'

孤獨(dú)大腦：請(qǐng)你結(jié)合以上所有討論，給出對(duì)普通人而言最重要的十條財(cái)富思維。

ChatGPT：以下是對(duì)普通人而言十個(gè)重要的財(cái)富思維原則：

1、理解投資基礎(chǔ)。了解投資基礎(chǔ)知識(shí)，如凱利公式、風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的關(guān)系，以及復(fù)利增長的原理，都是非常重要的。

2、審慎決策。在投資決策中，不要只看到可能的回報(bào)，也要看到其中潛藏的風(fēng)險(xiǎn)。這需要你對(duì)投資目標(biāo)進(jìn)行充分的研究和理解。

3、應(yīng)急準(zhǔn)備。無論是個(gè)人生活還是投資活動(dòng)，都應(yīng)有足夠的現(xiàn)金或等效資產(chǎn)作為應(yīng)急儲(chǔ)備，以應(yīng)對(duì)意外情況和新的投資機(jī)會(huì)。

4、分散投資。 不要將所有的雞蛋放在一個(gè)籃子里。通過在不同的資產(chǎn)類別、地理位置和行業(yè)中投資，你可以有效分散風(fēng)險(xiǎn)。

5、長期視角。投資不是一夜暴富的游戲，而是長期積累的過程。耐心和長期投資通常能帶來更好的回報(bào)。

6、利用市場(chǎng)波動(dòng)。市場(chǎng)波動(dòng)性并不一定是壞事，如果你有正確的工具和策略（如凱利公式和再平衡策略），你可以利用這些波動(dòng)獲取利潤。

7、保持學(xué)習(xí)。金融市場(chǎng)和投資策略是不斷發(fā)展的，永遠(yuǎn)保持學(xué)習(xí)和適應(yīng)變化的心態(tài)是非常重要的。

8、避免情緒化決策。投資決策應(yīng)該基于事實(shí)和理性分析，而不是基于市場(chǎng)的短期波動(dòng)或者情緒化的反應(yīng)。

9、尊重?cái)?shù)學(xué)。投資和財(cái)富管理的許多原則都可以從數(shù)學(xué)中得到，如凱利公式的最大化長期增長，以及復(fù)利增長的力量。

10、保持謙虛和開放。即使是最成功的投資者也會(huì)犯錯(cuò)誤。承認(rèn)錯(cuò)誤，并從中學(xué)習(xí)，可以幫助你成為一個(gè)更好的投資者。同時(shí)，對(duì)所有類型的投資持開放態(tài)度，可以幫助你發(fā)現(xiàn)新的機(jī)會(huì)。

以上這些原則和思維方式可以幫助我們?cè)谕顿Y和財(cái)富管理上做出明智的決策。然而，需要強(qiáng)調(diào)的是，每個(gè)人的情況和需求都是獨(dú)特的，所以你的投資策略應(yīng)該是根據(jù)你自己的目標(biāo)、風(fēng)險(xiǎn)承受能力和時(shí)間范圍來定制的。

最后

孤獨(dú)大腦：請(qǐng)?jiān)试S我為本文收尾。

回到最開始的三個(gè)故事，對(duì)于每個(gè)人而言，確保自己始終有下注的能力，有進(jìn)一步行動(dòng)的本錢，是非常重要的。

我們未必真要懂得凱利公式的計(jì)算，在現(xiàn)實(shí)中也很難有完美應(yīng)用該公式的環(huán)境，但是其傳遞的理念值得銘記：聰明下注，永遠(yuǎn)給自己留一手牌。

此外，凱利公式計(jì)算的結(jié)果，是按照比例下注的。

所以，未必錢少的人就要去賭，要去搏一把。

因?yàn)橐獙?shí)現(xiàn)最終長期回報(bào)最大化，我們需要的是“最合適”的策略，而非“最拼命”的策略。

祝你好運(yùn)。

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來自：紅午雷碧 > 《下學(xué)士的備忘錄》

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