這節(jié)我們通過畫曲線來一起感受數(shù)學(xué)的美麗，其中標(biāo)題有個心臟線，也叫笛卡爾心臟線，是笛卡爾寫給公主的一個函數(shù)，函數(shù)圖像像一個愛心而得名，是個悲傷的故事。笛卡爾，大家都很熟悉，最常見的就是發(fā)明了坐標(biāo)系，將幾何和代數(shù)結(jié)合起來了，創(chuàng)立了解析幾何，所以也叫做“解析幾何之父”。

所以畫圖基本都是在坐標(biāo)系里面進(jìn)行，我們先來熟悉如何畫一個圓？

1、畫圓、圓柱、球

沒錯，這樣的一個函數(shù)，就可以畫出來一個以(0,0)為圓心，半徑為5的圓，如果圓心位置變化，比如：

(x-2)2+(y+3)2=25

圓心就是在點(2,-3)的位置，函數(shù)是一種映射，也就是說我輸入一個x值，計算處理之后會得到一個y值，比如在第一個函數(shù)中，我們輸入x=0，將會得到y=5，這樣的一個對應(yīng)關(guān)系，將這樣的一個點一個點畫出來，就成了一個圓。

如果在三維中，就可以表示為圓柱體(高是∞)：

當(dāng)然還有一個變量是z軸，所以它的實質(zhì)形式為：

x2+y2+0z2=25

當(dāng)然如果有z軸的情況：

就是一個球心(0,0,0)，半徑為5的圓球體，如下圖：

好了，熟悉了圓、圓柱體、球體在二維和三維中的表示，這里的坐標(biāo)是常見的笛卡爾坐標(biāo)系，很多情況下使用極坐標(biāo)，可能更簡單，極坐標(biāo)就是平面上的有序數(shù)對，這樣的點(極徑,極角)，如：M(ρ,θ)，就可以很方便畫各種曲線。

比如畫一個半徑為4的圓就可以下面這樣畫出：

Curve((4;θ),θ,0,2*pi)

θ角度旋轉(zhuǎn)1周(2π)，半徑為4的不變值

在笛卡爾坐標(biāo)系中，我們知道是這樣的方程：

這里其實是

x=ρ*cosθy=ρ*sinθ

也可以求得ρ=4，當(dāng)然這里的實質(zhì)就是參數(shù)方程。

2、圓錐曲線

圓錐曲線作為高考必考題型，也是讓很多同學(xué)感到頭暈的知識點，其實不要怕，我們先從興趣開始，熟悉這個曲線，從畫圖中去掌握它有哪些性質(zhì)就好了，這節(jié)就使用畫曲線圖來感受數(shù)學(xué)的美妙。

對于畫曲線，我們很多時候使用極坐標(biāo)，這樣很方便。

滑動塊a，0到2，增量為0.1

其中a為離心率，離心率的變化就會產(chǎn)生下面四種曲線：

當(dāng)a=1，為拋物線當(dāng)a>1，為雙曲線當(dāng)a<1，為橢圓當(dāng)a=0，為圓

使用e來表示離心率也可以，只不過在GeoGebra中e就是exp(1)，如果e不是滑動塊(變量)的情況，表示的是自然數(shù)e，所以為了忘記定義變量而使用a。

對于極坐標(biāo)所對應(yīng)的直角坐標(biāo)系方程，我這里也順便給大家推導(dǎo)下，這里以雙曲線為例，如下圖：

有了這個推導(dǎo)，我們需要將圓錐曲線從極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到笛卡爾坐標(biāo)系就非常簡單了。

3、圓線

這里是雙變量，所以我們需要在3D視圖中查看，點擊視圖--勾選3D繪圖區(qū)

我們想要在二維平面中查看，可以使用序列來表示，這些直線就組成了中間一個圓，所以叫做圓線：

Sequence(yuan(x, θ), θ, 0, 6π, 0.1)

類似于先畫圓然后做切線，我們將圓分成50份，也就是50個點，然后使用Tangent函數(shù)畫出圓的切線，zip是映射函數(shù)，將序列點的切線全部畫出來

4、笛卡爾心臟線

由于像一顆愛心，所以得名為笛卡爾心形曲線

滑動條a，-5到5，有上下左右四個朝向：

ρ1=a*(1+cosθ) ρ2=a*(1+sinθ)

我們來對這條曲線做切線。

滑動條n=Slider(1,100,1)

曲線上描點

經(jīng)過S1上的點，做曲線的切線

S2=zip(Tangent(a, ρ1), a, S1)

這里介紹另一種愛心形狀：

除了上面這種，還可以使用兩個函數(shù)來組合成一個可以填充顏色的心形，更加漂亮：

f1=sqrt(1-(|x|-1)^2)f2=cos^-1(1-|x|)-3

將里面填充顏色，可以使用：IntegralBetween積分介于

這樣就將f1和f2兩個函數(shù)的交集[-2,2]之間的積分(面積)給顯示了出來，然后選擇紅色，虛實選擇100，就是一顆愛心了。

其中a=8.86就是這顆心的面積了。

再來看下使用直線組合成的心臟線

xz(x,θ)=(tan(θ/2)(cos(θ)+2x*cosθ+x-1))/(2*cosθ-1)

使用序列在平面顯示一組心臟線：

5、葉形線

還有一個詩一樣的名字：茉莉花瓣曲線

滑動塊a，1到20

x^3+y^3=a*x*y

或者極坐標(biāo)：

直線組成葉形線：

dke(x,θ)=(tan(θ)(3*tanθ+x*tan^3(θ)-2x))/(2*tan^3(θ)-1)Sequence(dke(x,θ), θ, 0, 2π, 0.1)

6、玫瑰線

看上去像花瓣，很漂亮。

滑動塊n，1到10

當(dāng)n為奇數(shù)時，有n個花瓣；當(dāng)n為偶數(shù)時，有2n個花瓣

直線組成玫瑰線

mgx(x,θ)=(2x*(cos(2θ)-2cos(4θ))+1+cos(6θ))/(2sin(2θ)+4sin(4θ))Sequence(mgx(x,θ), θ, 0, 2π, 0.1)

7、雅各布曲線

雙變量函數(shù)需要在3維中顯示：視圖--勾選3D繪圖區(qū)

使用序列在平面顯示一組雅各布曲線：

Sequence(ygb(x, θ), θ, 0, 2π, 0.1)

8、阿基米德螺旋線

跟雅各布曲線都屬于等角螺旋線

其中a控制螺旋線形狀，b控制螺旋線間距

同樣使用序列畫出一組阿基米德螺旋線：

Sequence(ajmd(x, θ), θ, 0, 2π, 0.1)

通過優(yōu)美的曲線圖案感受數(shù)學(xué)之美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)有趣的一面。有興趣的可以觀看視頻：