一、試卷結(jié)構(gòu)的變化

本次考試開始之前調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)和題目分值的說法就甚囂塵上了，在流出試卷后果然試卷的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化。題目總量從22題變?yōu)榱?9題，在多選題、填空題和解答題中各減少了一個(gè)。題目數(shù)量的減少，可以給學(xué)生更多的時(shí)間進(jìn)行思考，加強(qiáng)對學(xué)生思維過程的考查。單選題題目的個(gè)數(shù)沒有發(fā)生改變，依舊是8個(gè)題目，每個(gè)題目5分，總分共計(jì)40分；多選題的個(gè)數(shù)從4個(gè)調(diào)整到了3個(gè)，總分從20分調(diào)整到了18分，每個(gè)題目的分值由5分變?yōu)榱?分；填空題從4個(gè)調(diào)整到了3個(gè)，總分從20分調(diào)整到了15分，每個(gè)題目分值不變依舊是5分；填選題總分共計(jì)73分，比之前的80分有所下降。解答題的題目總數(shù)從6個(gè)下降到了5個(gè)，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分，每個(gè)題目的分?jǐn)?shù)都有明顯提升，共計(jì)77分。

關(guān)于這樣的試卷結(jié)構(gòu)調(diào)整，我簡單的說說我個(gè)人的看法。單選題數(shù)量和分?jǐn)?shù)沒有變化，考查內(nèi)容的結(jié)構(gòu)上稍有變化，但仍是以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法為主。

對于多選題這種新高考剛加進(jìn)來的新題型而言，學(xué)生拿到全部分?jǐn)?shù)的難度確實(shí)比單選題和填空題更大一些，分值適當(dāng)提高是合情合理的。同時(shí)本次考試試卷的分?jǐn)?shù)說明當(dāng)中有著些許變化，以往的多選題會(huì)說“全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分”，很多同學(xué)對于沒有把握的問題選一個(gè)就跳過該問題?，F(xiàn)在的描述變?yōu)榱?span style="font-synthesis: style;font-weight: 600;">“全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分”，其中“部分選對的得部分分”的這種說法也是得到廣泛討論的?；旧隙紩?huì)認(rèn)為如果選項(xiàng)有2個(gè)，則每個(gè)選項(xiàng)3分，即選對一個(gè)得3分，全部選對得6分；如果選項(xiàng)有3個(gè)，則每個(gè)選項(xiàng)2分，即選對一個(gè)得2分，選對兩個(gè)得4分，全部選對得6分。這樣評分會(huì)更好的體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的差異，分?jǐn)?shù)的置信度更高。同時(shí)題量減少、分值分配更為合理，也會(huì)變向鼓勵(lì)學(xué)生去分析每一個(gè)選項(xiàng)。早期的多選題部分選對是得3分的，后期調(diào)整為2分，也是為了避免出現(xiàn)選一個(gè)選項(xiàng)就跳過的情況出現(xiàn)。但是實(shí)際流出的評分參考中給出的評分標(biāo)準(zhǔn)（下圖所示）并沒有根據(jù)選項(xiàng)個(gè)數(shù)來決定分?jǐn)?shù)，還是部分選對均視為3分的評分原則。不過這是評分“參考”，今后的評分情況仍舊有變化的可能。

填空題個(gè)數(shù)下降，在我看來是變向的降低試卷整體難度。學(xué)生在處理填空題時(shí)，在解決問題的過程當(dāng)中只要出現(xiàn)一些細(xì)節(jié)上的問題或者小的失誤，就會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤，又沒有選項(xiàng)的提示，得分率相對較低，降低填空題目的數(shù)量便可以減少這種情況的發(fā)生，變向降低了整體試卷難度。

解答題本身的題目特點(diǎn)是更側(cè)重于考查學(xué)生思維過程的題目，本次試卷中減少了題目數(shù)量，但是每個(gè)題目的分?jǐn)?shù)有明顯提高，整體分?jǐn)?shù)占比也提高了10%，更是說明了考試的側(cè)重開始向思維過程、思維邏輯能力方向傾斜。同時(shí)難度較大的解答題，即第18題和第19題的分?jǐn)?shù)總計(jì)34分，提高難題的分?jǐn)?shù)占比可以加強(qiáng)這張?jiān)嚲淼倪x拔性，這也符合近幾年來的高考方向和命題趨勢。

二、試卷難度的變化
此次試卷的整體難度變化還是比較明顯的，由于試卷題量減少，題目自身會(huì)更側(cè)重知識(shí)的綜合應(yīng)用，同時(shí)強(qiáng)調(diào)邏輯思維的考查，難度梯度更為明顯。對于整張?jiān)嚲泶蠹也灰^分去關(guān)注幾個(gè)難題，中肯的講，整體試卷的難度還是比較平衡的。從整體難度的梯度來看，隱約有些北京卷的感覺。

在單選題中，第1題到第6題仍是考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本思想方法的，相對而言是有利于調(diào)節(jié)整張?jiān)嚲淼碾y度的。但是題目并沒有出現(xiàn)多少“送分”的情況，除了第1題、第2題相對簡單之外，其他的問題都需要進(jìn)行一些思考才能完成問題，很少出現(xiàn)所謂的“固定題型”、“套路”化的問題。從第7題開始題目難度開始有了提升，難度梯度十分明顯。多選題的3個(gè)問題也遵循著合理的難度梯度設(shè)置，而且由于題量減少，知識(shí)覆蓋自然就會(huì)減少，所以更加側(cè)重了知識(shí)的綜合應(yīng)用，第9題、第10題都是從同一個(gè)知識(shí)模塊的不同角度設(shè)計(jì)的選項(xiàng)讓學(xué)生去進(jìn)行分析。第11題的選項(xiàng)關(guān)系是逐個(gè)遞進(jìn)的，即前面的選項(xiàng)可以幫助后續(xù)選項(xiàng)的分析。填空題的3個(gè)問題中，第12題、第13題都屬于知識(shí)應(yīng)用的問題，難度中檔，相比以往第一個(gè)填空題比較簡單情況產(chǎn)生了變化；同時(shí)這兩個(gè)問題也是綜合了同一個(gè)模塊中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，以此來應(yīng)對題量減少的情況。第14題是有一定難度的，難度梯度變化十分明顯，題目具有較強(qiáng)的選拔性。綜合全部的填選題目來看，其實(shí)除了每個(gè)部分的最后一個(gè)問題難度較大外，其余問題的絕對難度并不是很大。

解答題的難度梯度變化是最為明顯的，5個(gè)題目，前三個(gè)題目注重基礎(chǔ)性，強(qiáng)調(diào)了通性通法的考查以及知識(shí)方法的應(yīng)用。第18題和第19題的難度明顯提高，且分值占比較大，這也是很多學(xué)生直觀感受到這張?jiān)嚲黼y度提升的原因。在后續(xù)的解析中我也會(huì)談一談我個(gè)人關(guān)于這兩個(gè)問題的一些想法。實(shí)際上，這張?jiān)嚲硖钸x題目除了部分幾個(gè)問題，整體難度適中，已經(jīng)適當(dāng)平衡了整張?jiān)嚲淼碾y度。同時(shí)解答題的知識(shí)點(diǎn)的分布也有了變化，這種變化在近幾年的高考中也開始有所體現(xiàn)了，解答題的知識(shí)點(diǎn)順序總有調(diào)整。比如本張?jiān)嚲碇薪獯痤}第一個(gè)問題就是一個(gè)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問題，并沒有出現(xiàn)我們習(xí)慣的導(dǎo)數(shù)壓軸的情況。同時(shí)由于每個(gè)題目的分值有所增加，那么就會(huì)更注重推理的細(xì)節(jié)，也要求大家的說理過程要更加嚴(yán)謹(jǐn)，關(guān)注書寫的規(guī)范。

同時(shí)還有一些問題在方法選擇上體現(xiàn)出了差異性，通過解決問題的耗時(shí)來提高區(qū)分度。比如第3題，如果選擇利用基本量法處理就需要構(gòu)造方程組、求解方程組再去求和，但如果利用等差數(shù)列自身的性質(zhì)去處理問題則會(huì)大量減少解題時(shí)間；又比如第10題的D選項(xiàng)，如果利用必修二課本中《7.3 復(fù)數(shù)的三角表示》的內(nèi)容解決問題，相比只用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算去解題會(huì)節(jié)約大量的化簡時(shí)間，這種在時(shí)間維度上的差異，也更強(qiáng)調(diào)了知識(shí)方法應(yīng)用的重要性。


三、后續(xù)復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)的建議

近幾年高考數(shù)學(xué)的改革始終在進(jìn)行著，這一次試卷結(jié)構(gòu)和難度的變化試一次很大膽的嘗試，不過對于今年的考生來說不用過于擔(dān)心，因?yàn)檫@是一次適應(yīng)性考試，高考的命題雖然會(huì)改革會(huì)調(diào)整，但是不會(huì)有這么大的步伐的。類似于去年的四省聯(lián)考內(nèi)容，四省聯(lián)考考試內(nèi)容是也有不小的變化，甚至考出了一個(gè)lights out puzzle這樣的問題，但當(dāng)年的高考題明顯沒有四省聯(lián)考變化那么明顯。



所以對于今年參加高考的同學(xué)來說，更重要的還是按照自身的節(jié)奏進(jìn)行復(fù)習(xí)，不要被這張?jiān)嚲碇械牟糠謫栴}影響到。但是也要適當(dāng)調(diào)整復(fù)習(xí)側(cè)重，更加重視思維能力的訓(xùn)練。對課本內(nèi)的知識(shí)方法選擇更加重視，不要死板固定的記憶解題套路，要能理解方法選擇的原因而非機(jī)械背誦；要重視知識(shí)的應(yīng)用，了解不同的知識(shí)方法可以解決怎樣的問題，而不是只對固定的題型有印象，要本著分析問題解決問題的方向進(jìn)行解題訓(xùn)練；同時(shí)可以適當(dāng)?shù)淖鲆恍┩卣购蜕钊耄阌诖蜷_我們的思路，了解一些復(fù)雜問題的背景，在考場上可以節(jié)約思考時(shí)間，在這種更加重視思考的考試中是很有必要的；同時(shí)一些基本的運(yùn)算、分析能力還是要培養(yǎng)的，在一次較難的考試之后，很多同學(xué)都會(huì)去關(guān)注難題的訓(xùn)練，反而一些基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用會(huì)忽略掉，雖然本次考試難題的分?jǐn)?shù)占比提高了，但是今年高考未必會(huì)有這么大的變化，而且簡單和中檔題目的占比還是遠(yuǎn)高于難題的。另外，在復(fù)習(xí)時(shí)不要對知識(shí)考查預(yù)設(shè)難度，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)在試卷中考查的位置是不確定的，導(dǎo)數(shù)可以壓軸，也可以在解答題第一題，比如復(fù)數(shù)可以在填選第一個(gè)題目的位置，也能像本卷一樣，出現(xiàn)在第10題。在復(fù)習(xí)過程中要適當(dāng)提高復(fù)習(xí)深度，注意到知識(shí)點(diǎn)由易到難得不同考查方式。最后，還是要強(qiáng)調(diào)多關(guān)注課本內(nèi)容，后續(xù)的解析當(dāng)中其實(shí)會(huì)出現(xiàn)很多課本內(nèi)容的細(xì)節(jié)，回歸課本是復(fù)習(xí)的根本?？傊畡?wù)必平穩(wěn)心態(tài)，而且要難大家一起難，要不適應(yīng)大家一起不適應(yīng)，主打一個(gè)“眾生平等”。

如果還在讀高一、高二的學(xué)生，相信到了你們參加高考的時(shí)候改革會(huì)更加深入，所以希望各位可以未雨綢繆了。高一高二期間除了掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法之外，更要注重自身的能力培養(yǎng)。能力培養(yǎng)在我看來很多時(shí)候源于對于自己學(xué)習(xí)內(nèi)容的反思和總結(jié)，多去思考和總結(jié)自己學(xué)過的知識(shí)如何應(yīng)用、做過的問題到底在考查我們什么，從而有意識(shí)的去朝著相應(yīng)方向努力。同時(shí)，高一高二期間是可以有相對更多的時(shí)間去做一些拓展和深入的，這種打開思路的工作盡量要趁早。最后，也希望大家趁著高一高二同步學(xué)習(xí)的時(shí)候做好課本內(nèi)容的閱讀，回歸課本關(guān)注課本中例題、習(xí)題涉及到的解題思路和方法，高考題目考查的知識(shí)、技能、思想方法和能力均是源自于課本內(nèi)容的。

單項(xiàng)選擇題：第1題
本題是一個(gè)關(guān)于中位數(shù)概念的考查，是對于概念的直接應(yīng)用，了解如何計(jì)算中位數(shù)便可以解決這個(gè)問題。在新高考中，除去中位數(shù)之外還有一些其他分位數(shù)的考查，比如四分位數(shù)等，這些也是值得關(guān)注的。大多時(shí)候我們會(huì)比較習(xí)慣性的認(rèn)為第一個(gè)題目主要以集合、復(fù)數(shù)運(yùn)算為主，但實(shí)際上第一個(gè)問題就是一些簡單的知識(shí)概念的應(yīng)用，其實(shí)只要符合這種考查要求，出在哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是可以的，所以一定要關(guān)注課本中所學(xué)的一些基礎(chǔ)概念，不要有特定知識(shí)點(diǎn)就考特定難度的思維定式。

單項(xiàng)選擇題：第2題

本題基于橢圓離心率求解橢圓方程中參數(shù)的一個(gè)問題，這個(gè)問題重點(diǎn)考查的就是橢圓中的相關(guān)概念。對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)參數(shù)a、b、c而言，它們?nèi)齻€(gè)自身存在一個(gè)關(guān)系，即b、c的平方和的等于a的平方。如果通過題目條件再給出兩個(gè)關(guān)系，三個(gè)變量三個(gè)關(guān)系自然是可以求解的，所以這里是有著方程思想相關(guān)考查的。本題當(dāng)中給出的條件是b的值以及離心率即c和a的比，隨后可以選擇不同的方式求解方程組，最終得到答案。這里要強(qiáng)調(diào)一個(gè)解題習(xí)慣，就是拿到橢圓或者雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程后，一定要首先分析長軸（實(shí)軸）的位置，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤的字母對應(yīng)關(guān)系。

單項(xiàng)選擇題：第3題

本題是一個(gè)等差數(shù)列的相關(guān)考查，在上文中也提到過，本題的方法選擇對求解本題有很大的影響。對于等差數(shù)列而言，其基本量就是數(shù)列首項(xiàng)以及公差，即兩個(gè)變量，題目當(dāng)中也給出了關(guān)于數(shù)列自身的兩個(gè)條件，可以圍繞著這兩個(gè)條件構(gòu)造方程組求解基本量。這種方法是常見通法，通法適用范圍廣，但未必是最簡單的。本題可以利用等差數(shù)列性質(zhì)實(shí)現(xiàn)更快的求解。由第3項(xiàng)和第7項(xiàng)我們可以推理出第5項(xiàng)的值，同時(shí)題目給出了第12項(xiàng)的值，那么自然角標(biāo)和為5+12=17的兩項(xiàng)之和都是可以求解的，此時(shí)首項(xiàng)和第16項(xiàng)的和可以求解，而這個(gè)和就是求和公式中的“首項(xiàng)+末項(xiàng)”的結(jié)果，帶入求和公式后可以直接求解。這樣處理需要一定的觀察分析能力，但是運(yùn)算量和化簡的量會(huì)大大減少。

單項(xiàng)選擇題：第4題

本題是一個(gè)立體幾何部分比較經(jīng)典考題形式，讓我們根據(jù)給出的線、面的空間位置關(guān)系來判斷新的線、面空間位置關(guān)系是否成立。雖然是第四題，但是它出現(xiàn)的位置及考查的方式都是比較常規(guī)的。作為選擇題而言，找反例否定選項(xiàng)中的結(jié)論是比較常見的方法。但是，如果作為日常的練習(xí)，尤其是高一高二的同學(xué)，還是希望大家可以嚴(yán)格的對一些結(jié)論進(jìn)行證明，還是要去培養(yǎng)自己推理論證的能力的，尤其是哪些基本事實(shí)（公理）、定理能直接使用，哪些定理結(jié)論不能直接用于高中階段的立體幾何證明，這些意識(shí)都是要通過日常練習(xí)慢慢建立起來的。尤其是在后期可能出現(xiàn)解答題分值提高的情況下，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评聿拍鼙ＷC過程不被扣去分?jǐn)?shù)。比如本題當(dāng)中的C選項(xiàng)的證明，通過圖形關(guān)系感覺結(jié)論顯然成立，但是要完全利用課本內(nèi)的定理證明還是有一定難度的，需要涉及到平行的轉(zhuǎn)化。又比如本題當(dāng)中的D選項(xiàng)，它正確的結(jié)論應(yīng)該是α與β平行（因?yàn)閺?qiáng)調(diào)了是兩個(gè)平面，所以不能重合），這個(gè)結(jié)論看上去很直觀，同樣證明起來也具有一定難度。最后還要強(qiáng)調(diào)，日常訓(xùn)練可以證明，但是考試還是通過圖形直接分析尋找反例性價(jià)比最高。

單項(xiàng)選擇題：第5題

本題是一個(gè)計(jì)數(shù)問題，經(jīng)典的排隊(duì)背景。在隊(duì)列中有兩組元素是有特殊需求的，自然會(huì)利用到特殊元素特殊位置優(yōu)先排列的方法。本題甲以及乙和丙是兩組特殊元素，那么優(yōu)先排列哪一組都可以完成這個(gè)計(jì)數(shù)問題的。如果優(yōu)先排列乙、丙，因?yàn)橐冶奈恢弥挥袃煞N可能，第一步確定好位置，隨后分配乙丙具體的位置，再然后將甲排在非排頭的位置，最后再給兩個(gè)沒有要求的人安排位置即可。如果優(yōu)先排甲，按道理是應(yīng)該根據(jù)甲的位置分三種情況討論，但是根據(jù)對稱性，有兩種情況計(jì)數(shù)結(jié)果一致，綜合來看也就只分了兩類進(jìn)行計(jì)數(shù)?？傮w邏輯與第一種方法基本類似，先確定甲的位置，再選擇乙、丙位置分布并安排他們具體的位置，最后安排兩個(gè)沒有需求的人的位置。但是第一種方法屬于直接分步；第二個(gè)屬于先分類，再在每一類中分步完成計(jì)數(shù)。

單項(xiàng)選擇題：第6題

本題是一個(gè)跨章節(jié)綜合問題，涉及到了直線方程以及平面向量的坐標(biāo)表達(dá)兩個(gè)部分的知識(shí)內(nèi)容。作為一個(gè)單選題，我們可以直接尋找題目條件背后的幾何含義，通過圖形直接判斷選項(xiàng)?？梢栽谧鴺?biāo)系中做出直線l，并在上面繪制一個(gè)向量QP，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)起來時(shí)，P隨著Q的變化形成的軌跡恰好是與l平行的一條直線，以此便可以否定A、B、D選項(xiàng)，只能選擇C選項(xiàng)了。如果要嚴(yán)謹(jǐn)說明的話，則需要利用到相關(guān)點(diǎn)軌跡方程求解的方法，題目中P是動(dòng)點(diǎn)Q的相關(guān)點(diǎn)，用P的坐標(biāo)表示Q的坐標(biāo)，并將其帶入到Q所在直線的方程中，便可以得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程了。由于E與l平行，隨后利用平行直線的距離公式可以求解出E上動(dòng)點(diǎn)到l的距離了。到第6題為止，這六個(gè)問題的難度并沒有很大，而且題目的情景也相對常見，正如前文所說，前6個(gè)單選問題比較常規(guī)，還是比較容易進(jìn)行處理的。雖然試卷當(dāng)中難題是存在的，但不要一直盯著它，不要因?yàn)檫@次考試中的部分難題在日常復(fù)習(xí)中就一味抓著難題不放，千萬不要忽略一些通性通法的學(xué)習(xí)，拿到該拿的分?jǐn)?shù)才能體現(xiàn)出求解難題的意義，不然難題分?jǐn)?shù)有了，其他地方的分?jǐn)?shù)丟掉，得不償失。

單項(xiàng)選擇題：第7題

本題涉及到了多個(gè)三角函數(shù)相關(guān)的公式，題目在三角函數(shù)范圍內(nèi)有較高的綜合度，同時(shí)還有一定的計(jì)算量。題目首先給出了θ的范圍，隨后給出了θ二倍角和θ和角相關(guān)的正切關(guān)系。這里我們要意識(shí)到，題目給出的這個(gè)條件是關(guān)于θ的方程，理論上是可以對θ進(jìn)行求解的。高中階段我們所謂的求解一個(gè)角，更多的情況下是求解出它的某一個(gè)三角函數(shù)值，對于這個(gè)條件，不論是正切的2倍角，還是正切的和角公式，如果我們對這兩個(gè)公式熟悉，那么它們進(jìn)行恒等變換之后均只與tanθ相關(guān)，也就是說題目給出的條件實(shí)際上就是關(guān)于tanθ的方程。通過求解該方程并結(jié)合θ的范圍，我們可以計(jì)算出tanθ=-1/2. 此時(shí)問題就又變成了利用角的正切去求值的問題，這樣看來本就是將兩個(gè)問題連接在一起形成的一個(gè)新的問題，這種出題邏輯很經(jīng)典，但換句話說就是比較老套。后續(xù)求解的式子實(shí)際上是可以化為與θ正余弦相關(guān)的齊次分式，通過同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可以利用tanθ來表示該式，最終求值即可。

單項(xiàng)選擇題：第8題

本題是一個(gè)雙曲線離心率求解的問題，離心率求解通常都是要找到和a、b、c相關(guān)的一個(gè)關(guān)系，結(jié)合雙曲線中參數(shù)關(guān)系，即a、b平方和等于c的展開求解。從變量角度來看，三個(gè)變量兩個(gè)關(guān)系，雖然不能求解每個(gè)變量的值，但是變量間可以相互表達(dá)，進(jìn)而得到c和a的比，也就是離心率。本題首先會(huì)考查到雙曲線的對稱性，因?yàn)橹本€過其對稱中心，所以直線與曲線的交點(diǎn)也是關(guān)于該中心對稱的，這樣兩個(gè)直線與曲線的交點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)對應(yīng)連線相互平分，可以形成平行四邊形。根據(jù)題目條件及雙曲線性質(zhì)，可以將平行四邊形四個(gè)邊均利用a進(jìn)行表達(dá)，但此時(shí)仍沒有得到字母間關(guān)系。想獲得字母間關(guān)系就需要在具體圖形中利用一些定理、公式了。如果圍繞焦點(diǎn)三角形解決問題，則可以利用題目給出的向量數(shù)量積來計(jì)算焦點(diǎn)三角形的一個(gè)頂角，隨后利用余弦定理建立字母間關(guān)系，進(jìn)而求解離心率。由于題目還存在著平行四邊形，直接利用和、差兩種形式的極化恒等關(guān)系結(jié)合題目給出的數(shù)量積也可以找到三個(gè)字母之間的關(guān)系。我也看到有些同學(xué)利用中線長公式去解決問題，其本質(zhì)就是加和形式的極化恒等關(guān)系。

多項(xiàng)選擇題：第9題

由于多選題的數(shù)量下降了，多選題部分的綜合程度實(shí)際上是有所提升的。本題便涉及到了三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)圖象相關(guān)性質(zhì)兩方面內(nèi)容。題目給出的函數(shù)f(x)可以利用輔助角公式進(jìn)行化簡，得到Asin(wx+φ)的形式。對于A選項(xiàng)，涉及到了簡單的復(fù)合函數(shù)和誘導(dǎo)公式的相關(guān)知識(shí)；B選項(xiàng)則涉及到了正弦相關(guān)函數(shù)對稱軸的求解；C選項(xiàng)涉及到了正弦相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性；D選項(xiàng)則涉及到了三角函數(shù)相關(guān)的值域求解。如果今后多選題和填空題題量減少，這種綜合度較強(qiáng)的題目勢必會(huì)提高出現(xiàn)頻率，以平衡題目總量減少帶來的知識(shí)點(diǎn)覆蓋不足的問題。

多項(xiàng)選擇題：第10題

本題也是關(guān)于復(fù)數(shù)的一個(gè)綜合考查，而且本題不同的方法選擇耗時(shí)差異是很大的。之所以會(huì)有這種現(xiàn)象，就是輕視復(fù)數(shù)部分知識(shí)導(dǎo)致的，其實(shí)近幾年復(fù)數(shù)部分的知識(shí)在高考中也已經(jīng)不是所謂的送分題了，同時(shí)很多高校的自主招生考試當(dāng)中也都有復(fù)數(shù)相關(guān)的考查。復(fù)數(shù)如果只了解相關(guān)的基本概念以及四則運(yùn)算是可以解決問題的，但是這樣會(huì)導(dǎo)致分析問題極其套路化，設(shè)出z=a+bi，之后一頓“猛算”。實(shí)際上，復(fù)數(shù)有著豐富的性質(zhì)，同時(shí)有幾何含義以及三角表示，本題的四個(gè)選項(xiàng)均可以有不同的角度進(jìn)行分析，所以下面的描述我不再說明利用z=a+bi運(yùn)算的求解方式了。A選項(xiàng)可以直接通過運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行判斷，等號(hào)左邊可能為虛數(shù)，右邊一定是實(shí)數(shù)，這里等式不成立；B選項(xiàng)利用復(fù)數(shù)與自身共軛復(fù)數(shù)之積等于模的平方，可以一步得到相應(yīng)結(jié)論；C選項(xiàng)是共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，實(shí)際上通過復(fù)數(shù)的幾何含義可以十分直觀的理解和說明這個(gè)結(jié)論，也便于記憶；D選項(xiàng)是最能體現(xiàn)出差異的，如果直接利用四則運(yùn)算方式分析，運(yùn)算量極大，實(shí)際上《必修二》7.3部分的內(nèi)容告訴我們復(fù)數(shù)除法的幾何含義就是模作比，輻角做差，那么自然商的模等于模的商。希望通過本題大家可以意識(shí)到復(fù)數(shù)相關(guān)的知識(shí)是值得深入學(xué)習(xí)的。

多項(xiàng)選擇題：第11題

本意是一個(gè)抽象函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)分析問題，也是近幾年比較熱門的考查方式，像23年新高考I卷的第11題就是一個(gè)相關(guān)的考查。抽象函數(shù)相關(guān)的問題通常都是有兩種思路的，第一種可以解決問題但不是十分嚴(yán)謹(jǐn)，就是去尋找這個(gè)函數(shù)的具體的解析式。本題當(dāng)中給出的關(guān)系由于存在4xy，那么函數(shù)f(x)基本上就只能是多項(xiàng)式函數(shù)了，其他的函數(shù)形式很難出現(xiàn)這樣的項(xiàng)。同時(shí)等號(hào)左側(cè)有f(x)f(y)，那么這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)是一次的，否則左右關(guān)于變量次數(shù)是不一致的?；谝陨显蛭覀兛梢岳么ㄏ禂?shù)求解函數(shù)解析式后進(jìn)一步分析問題。另外一種求解方式就是比較常規(guī)的但是是絕對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，我們通過不同的賦值來分析函數(shù)的取值和性質(zhì)。具體賦值方式看下面解析即可，在此我想強(qiáng)調(diào)一下本題的特殊之處，即本題是可以求解出函數(shù)解析式的，通過賦值我們得到了f(x-1/2)的解析式，再利用整體代換是可以得到f(x)解析式的。實(shí)際上很多函數(shù)題目的解析式都是間接給出的，大家一定要熟悉哪些形式相當(dāng)于告訴了我們函數(shù)的解析式，這樣才便于處理后續(xù)更為復(fù)雜的問題。

填空題：第12題

集合的考查放到了填空題的第一個(gè)，考查的并不是常規(guī)的集合運(yùn)算，而是基于集合關(guān)系求解參數(shù)的問題，需要做出一些分析和推理，但難度并不算大。通過集合運(yùn)算的結(jié)果我們可以知道A是B的子集，那么此時(shí)便有兩種邏輯可以處理本題，第一種就是計(jì)算出B中元素的范圍，然后使A中元素均在這個(gè)范圍之內(nèi)，最終計(jì)算出m的最小值；另外一種則是利用子集定義，A中元素均屬于集合B，直接將A中所有元素代入到集合B描述法的描述當(dāng)中去，得到與m相關(guān)的不等關(guān)系，以此計(jì)算m的最小值。

填空題：第13題

本題是空間幾何體相關(guān)的綜合問題，我們注意到，這個(gè)問題又是一個(gè)綜合問題，正如第9題中說的一樣，如果出現(xiàn)題目數(shù)量減少的情況，題目綜合性的提升是在所難免的。題目給出了一個(gè)軸截面為正三角的圓錐以及一個(gè)以圓錐高為直徑的球體，讓我們分別分析它們的體積和表面積的比。我們只需要利用圓錐的高分別表示兩個(gè)幾何體的體積和表面積即可。本題的難度實(shí)際上并不是很高，

填空題：第14題

本題是填選問題當(dāng)中考查方式比較新穎同時(shí)具有一定難度的問題。題目新定義了一種對集合中元素取最大值的符號(hào)，并給從小到大依次給出了a、b、c三個(gè)在區(qū)間（0,1）上的實(shí)數(shù)，這三個(gè)實(shí)數(shù)實(shí)際上并沒有定量的關(guān)系，只有定性的限制，總體來看還是不相關(guān)的。我個(gè)人在解題時(shí)，習(xí)慣先考慮的還是去分析幾個(gè)變量之間存在的關(guān)系，由于是彼此之間沒有定量關(guān)系，就會(huì)考慮利用不相關(guān)多變量問題的思路處理問題。這里觀察到集合當(dāng)中三個(gè)元素b-a,c-b,1-c代表的是依次排列在數(shù)軸上的點(diǎn)之間的距離，這三段距離之和是1-a，我們便可以先假定a是定值去尋找最值，這其實(shí)就是不相關(guān)多變量問題的分析思路。如果希望這三個(gè)元素的最大值取到最小，就需要這三個(gè)距離均相等，具體證明在下面解析中有所說明。此時(shí)為了取到最值，b、c就和a有了定量關(guān)系，隨后再根據(jù)題目提供的a、b的不等關(guān)系可以計(jì)算a的范圍進(jìn)一步求解出最值。除了這種思路，本題還可以對這三個(gè)距離進(jìn)行放縮和配湊去解決問題。在方法二中，用三個(gè)距離重新表示a、b，就可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)關(guān)于a、b的不等關(guān)系都能變?yōu)槿舾蓚€(gè)距離的和對應(yīng)的最值關(guān)系，同時(shí)這個(gè)集合的最大值一定大于等于集合中的每一個(gè)距離，所以這里就可以通過放縮和配湊形成關(guān)于集合最大值的一個(gè)不等關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算最小值。本題當(dāng)中的兩個(gè)條件之間使用“或”進(jìn)行連接的，這也是與以往很多問題不同的地方，大家如果有興趣也可以嘗試將“或”改為“且”再去嘗試求解一下這個(gè)問題。

解答題：第15題

本題考查的是導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識(shí)和應(yīng)用。解答題的第一題就考查導(dǎo)數(shù)，相信很多同學(xué)都是比較意外的，其實(shí)整張?jiān)嚲韽念^到尾只有這一個(gè)導(dǎo)數(shù)問題，還出成這樣的難度，我個(gè)人覺得不是特別合理，畢竟導(dǎo)數(shù)部分的知識(shí)是連接著高中和大學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶。不過確實(shí)近幾年的高考解答題部分的知識(shí)點(diǎn)分布并沒有一定之規(guī)，其實(shí)側(cè)面給我們的復(fù)習(xí)增加了難度?；氐竭@個(gè)問題，第一問通過垂直關(guān)系求解切線斜率，由于切點(diǎn)已知，求導(dǎo)后表示斜率便可以計(jì)算參數(shù)a的值。第二問就是很常規(guī)的利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的問題了，這里一定要關(guān)注到對數(shù)函數(shù)的定義域，其余的都是導(dǎo)數(shù)相關(guān)的基本技能考查。

解答題：第16題

本題是一個(gè)概率和離散型隨機(jī)變量相關(guān)的問題，其實(shí)核心還是去考查分析問題解決問題的能力。近幾年高考當(dāng)中概率相關(guān)的考查背景變得逐漸復(fù)雜起來，在利用古典概型求解概率時(shí)，基本事件個(gè)數(shù)以及符合某個(gè)事件的基本事件個(gè)數(shù)的求解是這些題目的難點(diǎn)。對于本題而言，其難點(diǎn)也是在于計(jì)數(shù)。本題的全體基本事件個(gè)數(shù)的求解比較清晰，就是在總計(jì)8個(gè)球中選取3個(gè)。對于第一問，需要3個(gè)球兩兩不同，那么首先要確定三個(gè)標(biāo)號(hào)，隨后從每個(gè)標(biāo)號(hào)的兩個(gè)球當(dāng)中選取一個(gè)球即可。第二問中給出的隨機(jī)變量X為所有球上的最小數(shù)字，那么首先我們要寫出隨機(jī)變量的所有取值，即1、2、3，之后分別分析取到它們的概率。這里要注意每個(gè)概率的求解都需要進(jìn)行分類。拿1為例，我們要考慮到取出的三個(gè)球中有幾個(gè)1，如果有1個(gè)1，先要從兩個(gè)標(biāo)號(hào)為1的球中取一個(gè)球，同時(shí)另外兩個(gè)球就要在標(biāo)號(hào)為2、3、4的6個(gè)球中??；如果有2個(gè)1，那么只剩下1個(gè)球從標(biāo)號(hào)為2、3、4的6個(gè)球中取。對于X=2和X=3也是這樣分析的，計(jì)算出概率后列出分布列求解數(shù)學(xué)期望即可。這里強(qiáng)調(diào)一下很多同學(xué)在求解最后一個(gè)概率的時(shí)候喜歡用1減去前面的概率之和，這種方式確實(shí)可以節(jié)約一些時(shí)間，但是有一定的風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)槿绻懊娴母怕仕沐e(cuò)一個(gè)，后面也會(huì)跟著發(fā)生錯(cuò)誤了。我個(gè)人比較建議每個(gè)概率都去求解一下，最后通過加和為1對概率求解進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)然，對自己概率運(yùn)算十分自信的同學(xué)是可以用這種方法的。本題總體來看難度適中，并沒有很困難。

解答題：第17題

本題是一個(gè)立體幾何和空間向量相關(guān)的問題。正如很多同學(xué)吐糟的一樣，現(xiàn)在橫平豎直的立體幾何題越來越少了，斜棱柱、切割體這種有些“眼歪嘴斜”的幾何體比比皆是。本題其實(shí)就是圍繞著一個(gè)斜棱柱展開的。斜棱柱相關(guān)分析最重要的是去分析上下兩個(gè)底面在俯視圖中的位置關(guān)系，而第一問證明線面垂直就是為了確定上底頂點(diǎn)在下底的投影。關(guān)于第一問，由于給出了角C1CB和角C1CD相等，這種條件出現(xiàn)之后，圍繞著這兩個(gè)角對應(yīng)的側(cè)面大多具有對稱性，所以這里可以利用對稱的關(guān)系去尋找垂直，說白了就是等腰三角形三線合一。我們利用兩個(gè)三角形全等可以得到C1BD為等腰三角形，從而得到C1O與BD垂直。C1O與BD垂直的證明也可以利用空間向量進(jìn)行說明，主要原因也是因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)角相等，可以構(gòu)造出數(shù)量積相等來進(jìn)行證明。另外一個(gè)垂直關(guān)系則需要利用余弦定理進(jìn)行簡單的計(jì)算了。其實(shí)這個(gè)幾何體給出了全部的棱長數(shù)據(jù)，當(dāng)條件中棱長數(shù)據(jù)給的很充分的時(shí)候，那么很有可能證明過程中就需要利用到三角形相關(guān)（勾股定理、余弦定理）的運(yùn)算去解決問題了。對于第二問就相對簡單常規(guī)了，通過第一問垂直關(guān)系的證明，以O(shè)B、OC、OC1分別為x、y、z、建立空間直角坐標(biāo)系，對于整體比較“傾斜”的幾何體，建議大家可以通過整個(gè)幾何體俯視圖去分析點(diǎn)的坐標(biāo)，確定好坐標(biāo)之后就是空間向量問題求解的常規(guī)思路了。

解答題：第18題

本題開始，解答題難度有了極其明顯的提升，本題是一個(gè)圍繞著拋物線的解析幾何解答題，其實(shí)在小題里面已經(jīng)有了橢圓和雙曲線，自然此處就應(yīng)該是一個(gè)拋物線的問題了。本題的第一問就有了以往第二問的感覺，讓我們證明直線過定點(diǎn)，其實(shí)這樣難度特點(diǎn)的考查方式在高考中已經(jīng)出現(xiàn)了。對于定點(diǎn)問題而言，一般可以走兩種思路，第一種就是順著題目給出的繪圖順序去表示相應(yīng)的點(diǎn)和直線，最終表達(dá)出這條直線的方程，隨后利用點(diǎn)斜式分析它是否過定點(diǎn)；另一種思路就是通過猜想先分析出定點(diǎn)，再證明三點(diǎn)共線說明直線恒過定點(diǎn)。下面的解析我也給出了兩種不同的處理方式，另外本題在處理時(shí)也可以利用點(diǎn)差法去表示中點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，但由于點(diǎn)差法只能解決與交點(diǎn)坐標(biāo)之和相關(guān)的問題，而第二問中的<方法二>需要利用到交點(diǎn)坐標(biāo)乘積，所以并沒有在解答中進(jìn)行說明，大家可以自行嘗試處理。第二問的面積求解會(huì)有兩個(gè)方向的思路。第一種思路是考慮面積轉(zhuǎn)化，因?yàn)槿切蜧MN并不是形狀特殊的三角形，而且直接求解三角形的底和高也比較困難，所以才會(huì)考慮轉(zhuǎn)化面積。我個(gè)人習(xí)慣用解答中給出的[思路3]即向量的叉乘運(yùn)算來進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化，這種方式依賴計(jì)算不過分依賴對于圖形的觀察，不過只是通過它發(fā)現(xiàn)面積轉(zhuǎn)化關(guān)系，后續(xù)說理證明還是要利用到平面幾何的方法，如[思路1]和[思路2]。轉(zhuǎn)化后會(huì)發(fā)現(xiàn)所求三角形面積可以與對角線相互垂直的四邊形ADBE面積之間產(chǎn)生關(guān)系，進(jìn)而求解四邊形面積最值即可。第二種思路則需要結(jié)合題目極點(diǎn)極線的背景以及第一問證明的結(jié)論展開。點(diǎn)G在點(diǎn)F對應(yīng)的極線上，那么點(diǎn)G橫坐標(biāo)是定值，同時(shí)MN過定點(diǎn)，所以考慮是否可以圍繞著這兩個(gè)“定”來解決問題。這里需要利用鉛錘高乘以水平寬去表示面積，因?yàn)樗綄捒梢院蛢蓚€(gè)“定”產(chǎn)生聯(lián)系，而鉛錘高就是兩個(gè)中點(diǎn)的縱坐標(biāo)做差。其中鉛錘高的最值比較好求解，水平寬的最值直觀觀察可以猜想就是定點(diǎn)（3,0）到x=-1的距離，不過說理有一定困難。這兩個(gè)量取等條件一致，所以可以計(jì)算出最終的面積最值。

解答題：第19題

如果第18題是常規(guī)意義上的我們可以想象的難題的話，第19題的難法就有點(diǎn)超出很多同學(xué)的想象了。這個(gè)問題是一個(gè)數(shù)論相關(guān)的問題，如果對于學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)來說，本題可以通過一系列同余的性質(zhì)以及費(fèi)馬小定理進(jìn)行求解，但是并不知道評分細(xì)則里面這種方法會(huì)給出多少分?jǐn)?shù)。而且對于本題而言，我個(gè)人也只想出來這種處理辦法，我可以看出題目給出的一些信息是為了利用它去避開費(fèi)馬小定理、避開完全剩余系，但可能因?yàn)槲易约壕褪歉愀傎惓錾淼?，?shí)在是繞不開固有邏輯了。實(shí)話講我自己是沒有辦法在考場上想出來一個(gè)繞開費(fèi)馬小定理的解法的，可能只會(huì)證明一遍再去解決問題。所以后邊我也會(huì)附上評分參考當(dāng)中給出的答案。很抱歉個(gè)人能力有限，雖然利用以往的競賽知識(shí)解決了問題，但是真的不知道該如何避開這些數(shù)論知識(shí)直接引導(dǎo)大家去解決這個(gè)問題。所以本題的解答我給出了數(shù)論當(dāng)中一些常用的符號(hào)、性質(zhì)以及定理和推論用于證明這個(gè)題目，有能力的同學(xué)可以去閱讀一下。關(guān)于本題我想談?wù)勎业南敕?，明顯這個(gè)題目的設(shè)置就是為了提高選拔性的，但是從課程標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，數(shù)論的內(nèi)容在2017年課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中的E類課程中，這類型課程涉及到一些校本課程以及大學(xué)先修課程，對于絕大多不搞競賽的數(shù)學(xué)校來說，校本課程當(dāng)中是不會(huì)設(shè)計(jì)數(shù)論知識(shí)的。在老教材中還有一本書選修4-6講解初等數(shù)論，而現(xiàn)在普遍使用的新教材當(dāng)中是沒有任何章節(jié)涉及到數(shù)論的，如果非說有，可能就是課本邊邊角角處關(guān)于一些數(shù)論名詞（比如：素?cái)?shù)）的解釋了。如果今后的壓軸題目是這種考查方向，那通過這個(gè)題目篩選出來的一定是有著良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷或者極具數(shù)學(xué)天賦的考生了。所以對于本題來說，尤其是高三的同學(xué)，不要過分關(guān)注，還是要把前面的問題處理好才是關(guān)鍵。

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