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一、費馬點回顧 我們先通過這篇文章（幾何模型 | 費馬點）回顧一下費馬點。 1.費馬點的概念：就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點  2.費馬點的結(jié)論： ①對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點； ②對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點。 二、費馬點的解題方法 1.首先，我們明確費馬點是求線段和差最值問題； 2.其次，我們已經(jīng)知曉費馬點的基本求法是旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的三要素是： ①旋轉(zhuǎn)中心 ②旋轉(zhuǎn)方向 ③旋轉(zhuǎn)角度 3.最后，我們圍繞費馬點基本題型總結(jié)解題步驟（舉例）：  ①確定旋轉(zhuǎn)對象：△APC ②確定旋轉(zhuǎn)中心：A（C） ③確定旋轉(zhuǎn)方向：逆時針（順時針） ④確定旋轉(zhuǎn)角度：60度 4.針對以上步驟，做以下幾點說明： ①方法是旋轉(zhuǎn) ②旋轉(zhuǎn)是往外側(cè)旋轉(zhuǎn) ③最值用的是“兩點間線段最短” 三、費馬點（加權(quán)費馬點）的幾類題型          針對第3種和第4種，做以下補充說明： 1.一般情況下，三個系數(shù)滿足勾股定理； 2.除了用基本費馬點的旋轉(zhuǎn)思路來解決問題外，還要加上位似的思維； 3.總結(jié)解題具體步驟為： ①將三個系數(shù)中提取最小的系數(shù)出來，括號里面系數(shù)為1的線段，保證不動； ②三個系數(shù)，中間大小的那個系數(shù)，作為位似比； ③三個系數(shù)，最大的那個系數(shù)，作為旋轉(zhuǎn)中心； 以上三點，至關(guān)重要！至關(guān)重要！至關(guān)重要！ 也會出現(xiàn)系數(shù)不滿足勾股定理的情況： 4、總結(jié) ①當兩個系數(shù)為1時,旋轉(zhuǎn)系數(shù)最大的線段,旋轉(zhuǎn)角度由不為1的系數(shù)決定,30°,45°,60°,90°,120°都有可能。 ②若系數(shù)一個不為1時,且三個系數(shù)可以構(gòu)成直角三角形,就以系數(shù)最大那條線段的固定頂點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)90°就可以。 ③對于兩個系數(shù)不為1或三個都不為1，但是這些系數(shù)可以構(gòu)成直角三角形,首先觀察三個系數(shù)。 若為1的系數(shù)是最小的,這種情況就可以不改變式子的形式,以系數(shù)最大的線段頂點為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段及一邊所在的三角形90°,同時以另一個不為1的系數(shù)為縮放比例進行位似變換; 如果三個系數(shù)中,系數(shù)為1的不是最小的,或者三個都不是1,就要將式子變形,提出一個系數(shù),不要提最大的那個系數(shù),使變形后的三個系數(shù),有一個為1(最好是系數(shù)最小的為1),以變形后括號內(nèi)系數(shù)最大的線段頂點為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段及一邊所在的三角形90°,同時以另一個不為1的系數(shù)為縮放比例進行位似變換即可。 ④當“費馬點”問題線段中的系數(shù)滿足勾股定理時,可以通過構(gòu)造對應(yīng)的直角三角形解題,但是系數(shù)是否一定要滿足勾股定理呢？ ⑤還有一些系數(shù)不滿足勾股定理，具有特殊角的三角形內(nèi)也存在符合條件的“費馬點”。 ⑥當系數(shù)不滿足勾股定理時，會有特殊的角度出現(xiàn),這個特殊角的頂點位置就是我們旋轉(zhuǎn)的中心,在系數(shù)轉(zhuǎn)換的時候,注意不要把該頂點處的線段轉(zhuǎn)化為1,旋轉(zhuǎn)角度與這個特殊角有關(guān)聯(lián)。旋轉(zhuǎn)擴大的都是那個最大的系數(shù),然后需要通過特殊角構(gòu)造直角三角形和相似計算出變換的另一條線段是否符合系數(shù)要求,最后解直角三角形就可以求出結(jié)論。 |
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