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學(xué)校數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)最近磨了一節(jié)課，課題是四年級(jí)上冊(cè)《角的度量》。比較難得的是，團(tuán)隊(duì)結(jié)合一些課例對(duì)教材進(jìn)行了創(chuàng)造性加工，用學(xué)習(xí)長(zhǎng)度、面積測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)，用大單元、結(jié)構(gòu)化的視角審視本課，以學(xué)生具身經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，重視量感培養(yǎng)，是華羅庚先生“量是量出來的”這句話的具體應(yīng)用。 
如何理解“量是量出來的”？其關(guān)鍵在于“找”度量單位，不是簡(jiǎn)單的規(guī)定、告知，而是讓學(xué)生“找”，要充分經(jīng)歷嘗試、矯正并最終統(tǒng)一的過程，從“過盡千帆”到“柳暗花明”；然后是量，讓學(xué)生“運(yùn)用單位體會(huì)累加”，從1到5、從5到10、從10到幾十，以清晰地建立“度”的表象。師：今天我們一起學(xué)習(xí)《角的度量》，什么是“度量”？師：是的，所謂角的“度量”也就是角的“測(cè)量”。結(jié)合長(zhǎng)度的測(cè)量、面積的測(cè)量，想一想，關(guān)于“角的度量”你想知道什么？師：測(cè)量長(zhǎng)度或面積，需要用“厘米”“平方厘米”等作為標(biāo)準(zhǔn)，誰含有的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)多，誰就大。角的度量也需要有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。師：同學(xué)們提出的問題都很有研究?jī)r(jià)值，下面我們就帶著這些問題開啟今天的探究之旅。本課“生問”起步，通過喚醒學(xué)生與“測(cè)量”有關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)同學(xué)們用初步形成的“測(cè)量”內(nèi)容的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)研究“角的度量”，從而積極主動(dòng)地應(yīng)用結(jié)構(gòu)探究新的問題，埋下探究的種子：角的度量的前提是要有一個(gè)合適的度量單位，再用它的個(gè)數(shù)來描述角的大小，要用什么作單位來量角呢？找度量單位恰恰是本節(jié)課的關(guān)鍵所在。創(chuàng)設(shè)兩個(gè)小朋友早上上學(xué)的情境，分針走過的地方，各形成一個(gè)角，讓學(xué)生比較兩個(gè)角的大小。
師：根據(jù)角的兩邊張開的大小來判斷角的大小，這是一種基本的感覺。就像這里有兩條線段，我們很容易看出第二條線段更長(zhǎng)些，但是還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。你能更準(zhǔn)確地描述它們的大小關(guān)系嗎？生2：線段1大約長(zhǎng)6厘米，線段2大約長(zhǎng)10厘米，線段2比線段1大約長(zhǎng)4厘米。師：我們來量一量，看看你的感覺準(zhǔn)不準(zhǔn)。師：能用數(shù)字和長(zhǎng)度單位來描述它們之間的關(guān)系，你對(duì)這兩條線段太有感覺了。再回頭想一想，∠1和∠2誰大？生1：數(shù)大格，∠1有2個(gè)大格，∠2有4個(gè)大格，∠2比∠1大2個(gè)大格。生2：數(shù)小格， ∠1有10個(gè)小格，∠2有20個(gè)小格，∠2比∠1大10個(gè)小格。師：我們?cè)跍y(cè)量線段長(zhǎng)度的時(shí)候“用線量線”，測(cè)量面的大小時(shí)“用面量面”。不管是數(shù)大格還是數(shù)小格，其實(shí)是在用什么量∠1和∠2？生：分針走過1大格或1小格，分別形成1個(gè)角，我們用的就是這2個(gè)角。師：分針走過1大格所形成的角，不妨叫做“大格角”；分針走過1小格所形成的角，叫做“小格角”， 我們實(shí)際上是在“用角量角”！分針在鐘面上形成兩個(gè)角，學(xué)生自然而然地想到用“數(shù)格子”的方法去量，即用所謂“大格角”“小格角”量。這樣做的好處在于降低難度，兩個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)量的角呼之欲出，使“用角量角”變得特別順暢。但如此設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)也是顯而易見的。雖然有“用線量線”“用面量面”作基礎(chǔ)，但“用角量角”不是水到渠成的，應(yīng)該是學(xué)生不斷嘗試、比較、調(diào)整、優(yōu)化的結(jié)果，直接提供一個(gè)鐘面，是老師“給”而不是學(xué)生“找”；建議給學(xué)生提供三角板、直尺、不同的小角等多種工具，讓學(xué)生想辦法比較兩個(gè)角的大小，比如用直尺測(cè)量邊或開口的長(zhǎng)短、用三角板上的角或不同的小角作標(biāo)準(zhǔn)等等，在思維碰撞、質(zhì)疑中使學(xué)生明確，角的兩邊是無限長(zhǎng)的射線，用直尺測(cè)量是行不通的，描述一個(gè)角的大小，就是看大角里面含有幾個(gè)小角；再者，在同圓中，大角對(duì)應(yīng)的弧線長(zhǎng)，小角對(duì)應(yīng)的弧線短，量弧線（線段）的長(zhǎng)短是能夠比較角的大小的，這顯然是一種誤導(dǎo)。當(dāng)然，課堂上還有必要溝通測(cè)量?jī)?nèi)容的聯(lián)系，使學(xué)生理解其本質(zhì)是相同的，用單位長(zhǎng)度測(cè)量線段大小是在橫向上的累加，而用工具角量角的大小是沿頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)著累加。注：基于上面的分析，下面用2個(gè)大小不同的角，代替磨課過程中的“大格角”“小格角”。師：請(qǐng)打開“學(xué)具袋1”，選擇老師為你們準(zhǔn)備的1號(hào)角（20°）或2號(hào)角（6°）量出探究單1中三個(gè)角的大小【∠3（40°）、∠4（36°）和∠5（70°）】，完成后在小組內(nèi)分享。生1：∠3有2個(gè)1號(hào)角，不到7個(gè)2號(hào)角。生：1號(hào)角，剛好可以量完，用2號(hào)角的話，剩下的部分不能繼續(xù)測(cè)量了。生2：∠4有不到2個(gè)1號(hào)角，有6個(gè)2號(hào)角。師：∠3有2個(gè)1號(hào)角，我們記作“2”；∠4有6個(gè)2號(hào)角，我們記作“6”。2<6，所以∠3<∠4，對(duì)嗎？生：不對(duì)，1號(hào)角和2號(hào)角不一樣大，我們應(yīng)該選擇同樣的標(biāo)準(zhǔn)。師：是的，應(yīng)該統(tǒng)一度量單位再比較。再來看看∠5。生：∠5有3個(gè)多1號(hào)角，不到12個(gè)2號(hào)角。師：在度量∠5時(shí)，同學(xué)們遇到了問題，那可怎么辦呢？生：可以用更小的角作單位進(jìn)行測(cè)量。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，培養(yǎng)學(xué)生“量感”，要讓學(xué)生“知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性”“針對(duì)真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量”。這里讓學(xué)生用不同的工具角測(cè)量3個(gè)角的大小，就是想體現(xiàn)這樣的要求。測(cè)量時(shí)要統(tǒng)一度量單位，學(xué)生已有相關(guān)的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，如《認(rèn)識(shí)厘米》時(shí)從庹、拃到厘米，《面積和面積單位》時(shí)讓學(xué)生用各種形狀的圖形、一些物體的表面作標(biāo)準(zhǔn)，體會(huì)用單位正方形的優(yōu)越性。俗話說，鞋合不合適只有腳知道，要實(shí)際穿上走一走、跑一跑、跳一跳。同理，單位合不合適，也需要不斷地嘗試，要準(zhǔn)確測(cè)量角的大小，就要確定合適的度量單位。量感生成是個(gè)相對(duì)復(fù)雜的過程，但教學(xué)中往往被教師視作“規(guī)定”知識(shí)，草草告訴學(xué)生，從而掩蓋了知識(shí)產(chǎn)生的過程，忽略了背后鮮活的體驗(yàn)。量感本就抽象，再?zèng)]有豐富、具體的體驗(yàn)作基礎(chǔ)，無異海市蜃樓，風(fēng)一吹就散了。生：將圓平均分成360份，將其中1份所對(duì)的角，作為度量角的單位，它的大小就是1度。生：太小了，角的兩條邊只張開一點(diǎn)點(diǎn)。師：像眼睛稍稍睜開一條縫。請(qǐng)同學(xué)們閉上眼睛想象一下1°角有多大，再稍稍睜開，體會(huì)1°角的大小。師：有2個(gè)1°組成的角是（2°），有5個(gè)1°組成的角是（5°），那么10°角呢？（就是有10個(gè)1°角組成的），20°角呢？師：要知道這個(gè)角的大小，我們只要數(shù)一數(shù)這個(gè)角里有多少個(gè)1°角或多少個(gè)10°角就可以了。師：有了它，我們就可以測(cè)量一個(gè)角的度數(shù)了。請(qǐng)看，這個(gè)角有多少度？
生1：直尺上有刻度線，整十整五的刻度線長(zhǎng)一點(diǎn)，其它的短一點(diǎn)，這里也可以這樣，看著更清楚些。生2：再給標(biāo)上數(shù)字，就不用每次都從頭數(shù)了。師：同學(xué)們太有智慧了，這樣是不是就更直觀、更簡(jiǎn)潔、更方便了。好，現(xiàn)在說說這個(gè)角的大小。師：同學(xué)們真了不起，不知不覺間創(chuàng)造出了量角的工具，它就是全圓量角器。為了攜帶和測(cè)量方便，我們把它去掉一半，就是數(shù)學(xué)上常用的半圓量角器，是把半圓分成180等份制成的。師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)凇皩W(xué)具袋2”中拿出量角器（只有一圈刻度），先估一估，再量一量探究單2中各角的度數(shù)。
學(xué)生自主測(cè)量，教師巡視，了解學(xué)生完成情況，集體訂正時(shí)重點(diǎn)解決如下問題：（2）角的開口向左需要翻轉(zhuǎn)量角器或探究單。師：請(qǐng)同學(xué)們拿出自己的量角器，仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：是半圓的，把半圓平均分成180份，有一個(gè)中心，有兩圈的刻度、分別從0°-180°……師：老師這里有一個(gè)更大的量角器，這上面的1°與你的量角器上的1°一樣大嗎？量同樣一些角，結(jié)果會(huì)不同嗎？我們一起比試一下。教師巡視發(fā)現(xiàn)問題，在集體交流環(huán)節(jié)盡可能地暴露學(xué)生思維障礙，在對(duì)與錯(cuò)的爭(zhēng)論中掌握用量角器量角的方法。一直以來，建立1°角、幾度角的表象都是“量與計(jì)量”一類課的重點(diǎn)，本課通過讓學(xué)生用自己的語言描述、閉上眼睛想一想、從1°角不斷累加成幾度角、創(chuàng)造量角器（量角器的本質(zhì)是“單位小角”的不斷累加，能夠讓感受到角的有限可加）、先估后量等活動(dòng)，在積累豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，感受度量以及累加的思想，形成量感，并將量感內(nèi)化為穩(wěn)定的表象。最后一個(gè)問題的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生體會(huì)到“全世界的1°都一樣大，要不然就沒辦法交流了”，體現(xiàn)度量單位的一致性與優(yōu)越性。課件出示一個(gè)不是整數(shù)度數(shù)的角。師：這個(gè)角多大？怎么讀？我們手中的量角器能不能測(cè)量所有的角？當(dāng)它不夠精密的時(shí)候，怎么辦？師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)無止境的，許多未知的領(lǐng)域正等著我們?nèi)パ芯俊⑷グl(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造。師：角有大小，在比較兩個(gè)角的大小的過程中，我們想辦法描述角的大小關(guān)系，選擇合適的角作單位去度量角，在這一過程中，體會(huì)到要統(tǒng)一角的單位，最終找到了1°，知道一個(gè)角包含幾個(gè)1°，它就是幾度。師：我們以前學(xué)過線段的測(cè)量、面積的測(cè)量，測(cè)量其實(shí)從本質(zhì)上是一樣的，都是先形成合適的計(jì)量單位，再去數(shù)計(jì)量單位的個(gè)數(shù)。我們還可以像這樣去學(xué)習(xí)其它的度量知識(shí)。這一環(huán)節(jié)看似不起眼，實(shí)則意義重大。首先引發(fā)學(xué)生“有沒有比度更小的角的度量單位的思考”，這既是量感培養(yǎng)的需要，要讓學(xué)生初步體會(huì)“測(cè)量單位越小，測(cè)量出的物體含有的單位就越多”“要測(cè)量的屬性的量級(jí)和所需的精度決定了所需測(cè)量單位的匹配性”；同時(shí)也是學(xué)習(xí)能力發(fā)展的需要，滲透了科學(xué)探究的一般思路，舊的問題解決了，新的問題又產(chǎn)生了，人類社會(huì)的發(fā)展過程就是不斷地利用舊知識(shí)解決新問題的過程。要將單個(gè)、孤立的知識(shí)點(diǎn)納入知識(shí)結(jié)構(gòu)之中進(jìn)行思考，引導(dǎo)學(xué)生從“度量”大概念的視角考量每一個(gè)“量與計(jì)量”的內(nèi)容，不管是長(zhǎng)度、面積還是度數(shù)，測(cè)量不僅僅是拿刻度尺去量，本質(zhì)是給物體的某些屬性一個(gè)合適的數(shù)，即被測(cè)量的對(duì)象里包含多少個(gè)度量單位。教學(xué)過程也相對(duì)統(tǒng)一，即產(chǎn)生度量需求——尋找度量單位——發(fā)明使用工具——量（數(shù)）出結(jié)果。
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