本系列文章預(yù)計(jì)會(huì)有10個(gè)章節(jié)，這套文獻(xiàn)將系統(tǒng)的講述物理學(xué)本身，今天是第二季第3篇，本篇為選讀。

今天我們繼續(xù)闡述“芝諾悖論”之二分法悖論“，即運(yùn)動(dòng)是不可能的。因?yàn)樗羞\(yùn)動(dòng)的物體在到達(dá)目標(biāo)之前，首先要到達(dá)其一半的地點(diǎn)，而在到達(dá)其一半地點(diǎn)之前，還要到達(dá)其一半的一半。如果依此類推，運(yùn)動(dòng)就連起點(diǎn)也不會(huì)存在。”

“芝諾悖論”引發(fā)了一個(gè)關(guān)于連續(xù)性的哲學(xué)問(wèn)題，柏拉圖主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)上的連續(xù)性是精神的實(shí)在，而經(jīng)驗(yàn)是對(duì)精神實(shí)在的認(rèn)識(shí)。

亞里士多德認(rèn)為，當(dāng)兩個(gè)互相接觸的物體各自的端點(diǎn)成為兩者的共同端點(diǎn)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)連續(xù)的連接，連續(xù)統(tǒng)（直線）可以被分割，但不能被分割盡。這就是說(shuō)，不能把線段無(wú)限地分割到最終變成“點(diǎn)集狀態(tài)下”。

芝諾悖論涉及“點(diǎn)”的語(yǔ)義學(xué)表達(dá)：一個(gè)點(diǎn)有沒(méi)有體積？如果體積是零，加起來(lái)豈不還是零？如果體積不是零，無(wú)窮的點(diǎn)加起來(lái)體積應(yīng)該是無(wú)限大的？

亞里士多德可能已經(jīng)看到這個(gè)困難，所以堅(jiān)決反對(duì)直線（或物體）由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)組成的看法。但是，正如伽利略指出的那樣，由有窮的不可分的東西組成的東西，又怎能連續(xù)變化呢？

一般來(lái)說(shuō)，我們的直覺(jué)上認(rèn)為“連續(xù)性”的感覺(jué)和概念是不言而喻的，但數(shù)學(xué)上的“連續(xù)性”問(wèn)題卻要復(fù)雜得多。

芝諾悖論導(dǎo)致了連續(xù)性的問(wèn)題，而連續(xù)性與無(wú)理數(shù)的奧秘相關(guān)，與無(wú)窮大及無(wú)限細(xì)分密不可分。如果沒(méi)有發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯定理，就不會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)史上是極其重要的。

在數(shù)學(xué)上，無(wú)理數(shù)就像芝諾的二分悖論一樣，是試圖表達(dá)和解釋數(shù)軸上連續(xù)性的一個(gè)結(jié)果。

二分悖論就是把一個(gè)連續(xù)的物理過(guò)程分解成一個(gè)無(wú)窮多步的離散過(guò)程。所以，二分悖論可以看成是歷史上第一次企圖在數(shù)學(xué)上表示連續(xù)性。無(wú)理數(shù)是有理數(shù)軸在技術(shù)上不連續(xù)的原因。無(wú)理數(shù)代表有理數(shù)軸上的縫隙或洞眼。通過(guò)這些縫隙，無(wú)窮大沒(méi)完沒(méi)了地闖進(jìn)并攪亂了整潔的古希臘數(shù)學(xué)。

19世紀(jì)后期，人們發(fā)現(xiàn)，揭示無(wú)窮大或無(wú)窮小最直觀的方法可以使用古希臘的一項(xiàng)數(shù)學(xué)遺產(chǎn)：數(shù)軸。德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金提出了無(wú)理數(shù)的一個(gè)嚴(yán)格理論或定義，而對(duì)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上地位的最全面充分的處理來(lái)自康托爾。

數(shù)軸真是太重要了，既直觀又具有科學(xué)代表性，你可能覺(jué)得現(xiàn)在數(shù)軸就是一個(gè)三歲小孩都直到的概念，但是在人類歷史上數(shù)軸的發(fā)現(xiàn)與使用卻經(jīng)歷了一千多年。

人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)等階段，這些數(shù)在數(shù)軸上都可以體現(xiàn)出來(lái)。

數(shù)軸是規(guī)定了唯一的原點(diǎn)、唯一的正方向和唯一的單位長(zhǎng)度的直線。所有的實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，也可以用數(shù)軸來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小。實(shí)數(shù)（R）包括自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)。

通過(guò)數(shù)軸可以把數(shù)和幾何形狀看成差不多一樣的東西。數(shù)軸是一個(gè)威力無(wú)窮的工具。同時(shí)，它也是一個(gè)連續(xù)體，即一個(gè)結(jié)構(gòu)或分布是連續(xù)的不可分割的實(shí)體和物體的理想連續(xù)統(tǒng)。通過(guò)數(shù)軸，可以完美體現(xiàn)芝諾悖論所要表達(dá)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)實(shí)體和實(shí)際物理空間之間的關(guān)系就是離散和連續(xù)的關(guān)系。

每個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)。數(shù)軸不僅包含所有的點(diǎn)，而且也決定了它們的順序。所以，數(shù)完全可以由它們?cè)跀?shù)軸上相對(duì)其他數(shù)的位置來(lái)定義。根據(jù)定義，數(shù)軸是可以無(wú)限延伸的，是無(wú)窮密的，即任意兩個(gè)點(diǎn)之間總是存在第三個(gè)點(diǎn)，它們都是相繼排列或有序的。人們常說(shuō)：“自然數(shù)無(wú)窮多，實(shí)數(shù)軸無(wú)限長(zhǎng)。”

可以想象，盡管有理數(shù)稠密，但它們還是在實(shí)數(shù)軸上留下了“空隙”。也就是說(shuō)，有些點(diǎn)不對(duì)應(yīng)于任何有理數(shù)！數(shù)軸上0到1的有限區(qū)間不可想象地?fù)頂D，非常稠密。這里不僅有無(wú)窮多個(gè)分?jǐn)?shù)的無(wú)窮序列，還有無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)。每個(gè)無(wú)理數(shù)只有用無(wú)限不循環(huán)的十進(jìn)制數(shù)序列來(lái)表示。

歷史上，第一個(gè)認(rèn)真思考無(wú)窮的科學(xué)家是伽利略，伽利略考慮了2個(gè)無(wú)窮，放在今天來(lái)看就是自然數(shù)無(wú)窮（1，2，3...)和全體偶無(wú)窮(2，4，6，8...)。

伽利略問(wèn)自己一個(gè)問(wèn)題，是自然數(shù)多，還是偶數(shù)多呢？

一方面，似乎應(yīng)該是第一個(gè)較大，因?yàn)樗粌H包含第二個(gè)集合中所有的數(shù)，而且還包含其他的奇數(shù)。但另一方面，對(duì)于第一個(gè)集合中的每個(gè)數(shù)，在第二個(gè)集合中都有一個(gè)確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)。

對(duì)于第二個(gè)集合中的每個(gè)數(shù)，在第一個(gè)集合中也有一個(gè)確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)。按照兩個(gè)集合中這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，第一個(gè)集合應(yīng)該與第二個(gè)集合一樣大。在證明這個(gè)結(jié)論時(shí)，伽利略表現(xiàn)出了一個(gè)顯著的重點(diǎn)轉(zhuǎn)變，因?yàn)樗麤](méi)有像亞里士多德那樣，從量的角度考慮無(wú)窮大，而是像柏拉圖那樣，把注意力集中到作為數(shù)或者集合的無(wú)窮大上面。

但是，伽利略通過(guò)一一對(duì)應(yīng)發(fā)現(xiàn)“部分與整體相同”時(shí)，他沒(méi)敢再往下想，得出結(jié)論說(shuō)：“無(wú)窮量和無(wú)理數(shù)在本質(zhì)上對(duì)我們來(lái)說(shuō)是不可理解的。”

康托爾曾提出這樣的問(wèn)題：

一個(gè)線段上的點(diǎn)與一條無(wú)窮長(zhǎng)的直線上的點(diǎn)一樣多嗎？

一個(gè)平面上的點(diǎn)能和一條線上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)嗎？

在直覺(jué)上，答案似乎很明顯是“不能”，證明它似乎顯得多此一舉。

但是，康托爾經(jīng)過(guò)幾年的思考和探索，利用他著名的“對(duì)角線法”解決了這個(gè)“無(wú)聊”的問(wèn)題。

他的答案是：“能”?？低袪栐?874年發(fā)表的論文，證明了一條線段上的點(diǎn)要比自然數(shù)多；不同長(zhǎng)短的兩條線段上的點(diǎn)也是一樣多；線段上的點(diǎn)和平面上的點(diǎn)以及立體空間上的點(diǎn)一樣多！

（1）線段AB的點(diǎn)與半圓CD的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，證明這條線段與這個(gè)半圓有一樣多的點(diǎn)。（2）這個(gè)半圓的點(diǎn)現(xiàn)在與整條直線的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以，一條有限的線段與一條無(wú)限的直線有正好相同數(shù)目的點(diǎn)

康托爾是從建立明確的無(wú)窮集的定義入手而獲得成功的。一一對(duì)應(yīng)，是人們認(rèn)識(shí)事物間數(shù)量關(guān)系的最基本的方法。什么是無(wú)窮集呢？

康托爾認(rèn)為，可以和自己的某一部分之間建立一一對(duì)應(yīng)的集合叫無(wú)窮集。無(wú)窮集合的最基本特性是它能夠與其自身的真子集一一對(duì)應(yīng)。

芝諾悖論從某種意義來(lái)說(shuō)，這不是一個(gè)物理問(wèn)題、或哲學(xué)問(wèn)題，其本質(zhì)其實(shí)是個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題卻讓人類困惑了兩千多年！

所以，無(wú)窮并不是一個(gè)數(shù)，實(shí)際上是一種趨勢(shì)，一種不斷趨近于零的趨勢(shì)。阿喀琉斯追趕烏龜?shù)慕Y(jié)論，就是無(wú)窮小趨近與零的速度，比分割次數(shù)趨近于無(wú)窮大的速度要快。

龜跑過(guò)的點(diǎn)與阿喀琉斯跑過(guò)的點(diǎn)一樣多。因?yàn)樵谫惻苤羞@段時(shí)間的每一時(shí)刻，他們各自要占據(jù)一個(gè)確切的空間位置。因此，龜所通過(guò)的無(wú)窮的點(diǎn)的集合，與阿喀琉斯所通過(guò)的無(wú)窮的點(diǎn)的集合，兩者之間有一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

但是，如果說(shuō)阿喀琉斯必須跑過(guò)更長(zhǎng)的距離才能贏得比賽，所以他必須比龜跑過(guò)更多的點(diǎn)，則是錯(cuò)誤的！因?yàn)榭低袪柕募侠碚撁鞔_地告訴我們：任意兩條線段，無(wú)論它們的長(zhǎng)度如何，都具有相同數(shù)量的點(diǎn)！

芝諾悖論的問(wèn)題并非阿喀琉斯將什么時(shí)候或者在什么地方追上烏龜，而是他怎樣追上烏龜。芝諾悖論讓人的思維認(rèn)為：無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小相加（也即烏龜每次都在阿喀琉斯前邊，但這個(gè)間距越來(lái)越小）=無(wú)窮大（無(wú)論跑多遠(yuǎn)）！事實(shí)上，上面的等式是錯(cuò)誤的！

學(xué)過(guò)極限的人肯定知道，在這里無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小相加等于一個(gè)有限值（阿喀琉斯追上烏龜?shù)木嚯x），數(shù)學(xué)上稱為極限，并非無(wú)窮大（無(wú)限遠(yuǎn)），所謂無(wú)窮大只是人們思維想象的結(jié)果。

但是，極限概念要等到18世紀(jì)才開(kāi)始出現(xiàn)，19世紀(jì)才嚴(yán)密化！由于沒(méi)有“極限”的范式思維，芝諾悖論讓人類困惑了兩千多年！

總結(jié)，關(guān)于芝諾悖論和相關(guān)的數(shù)學(xué)故事本篇就先談到這里！