為了比較兩個集合數(shù)目的大小，康托爾下了一個定義：“如果能夠根據(jù)某一法則，使集合M 與集合N 中的元素建立一一對應的關系……那么，集合M 與集合N 等勢或者說具有相同的基數(shù)?！被鶖?shù)，是對有限集合元素個數(shù)概念的一個推廣。康托爾這個定義的重要性表現(xiàn)在它并未限定集合是有限集還是無限集。
按照這一定義，顯然自然數(shù)集與正偶數(shù)集的數(shù)目一樣，具有相等的基數(shù)。對具有這一基數(shù)的無窮集合，康托爾稱為可數(shù)集。于是，正偶數(shù)集、整數(shù)集、自然數(shù)的平方的集合因為能與自然數(shù)建立起一一對應關系，所以也都是可數(shù)集。并且可以證實，沒有比可數(shù)集更小的無窮集合?；蛘哒f，在無窮集合的等級上，可數(shù)集是最小的。既然沒有比它更小的，那么有沒有比它更大的無窮集合呢？試圖把握無限的康托爾由此踏上了一條不歸路。下一步的研究，會讓我們非常自然地想到所熟悉的分數(shù)（或說是有理數(shù)集）。自然數(shù)放在數(shù)軸上是稀稀落落的，而有理數(shù)則顯得密密麻麻。憑直覺，我們會覺得有理數(shù)集似乎是可數(shù)集之上的一個新的等級，但康托爾給出的答案是：否！事實上，我們不難給出兩者之間的一個一一對應關系。比如我們可以把正分數(shù)按下述規(guī)則排列起來：寫下分子與分母之和為2 的分數(shù)，這樣的分數(shù)只有一個，即1 / 1；然后寫下兩者之和為3 的分數(shù)，即2 / 1 與1 / 2；再往下是兩者之和是4 的，即3 / 1, 2 / 2, 1 / 3, …出現(xiàn)重復的則去掉，就這樣一直做下去。于是便把所有的正有理數(shù)排成了一隊。至于把0 與負有理數(shù)加進去也是一件很容易的事：在隊列中先排上0，然后上面隊列中每個正分數(shù)后跟上其相反數(shù)，這樣所有的有理數(shù)就都排進去了。可見，有理數(shù)與自然數(shù)竟然是一樣多的！因此，有理數(shù)集也是可數(shù)集?？此贫嗟枚嗟挠欣頂?shù)實際上并不比自然數(shù)多。是不是所有的無窮大都是相同的呢？如果是這樣，倒顯得無窮王國太冷清了些。好在，事情并非如此。1873 年11 月29 日，康托爾在給戴德金的一封信中提出了一個問題：自然數(shù)集與實數(shù)集之間能否一一對應起來，即自然數(shù)與實數(shù)個數(shù)是否相等？實際上，他已經(jīng)把這個問題考慮了很久，特別是考慮連續(xù)性的本質時，他總要碰到這個根本的問題。他在信中說：“取所有自然數(shù)的集合，記為N，然后考慮所有實數(shù)的集合，記為R。簡單說來，問題就是兩者是否能夠對應起來，使得一個集合中的每一個體只對應另一個集合中一個唯一的個體？乍一看，我們可以說答案是否定的，這種對應不可能，因為前者由離散的部分組成，而后者則構成一個連續(xù)統(tǒng)，但是從這種說法里我們什么也得不到。雖然我非常傾向于認為兩者不能有這樣的一一對應關系，但卻找不出理由，我對這事極為關注，也許這理由非常簡單。”1873 年12 月7 日，康托爾再次寫信給戴德金，說他已經(jīng)成功證明了自己想法的正確性，即實數(shù)集不能同自然數(shù)集里的元素一一對應。這一天可以看作集合論的誕生日。康托爾曾給出兩種證明，他在第二種證明中使用了極其有名的對角線證法。這一證法并不復雜，讓我們來領略一下吧。在這種證明中，康托爾考慮的是區(qū)間(0,1] 上的點與自然數(shù)集不能一一對應。當然，如果能證明這一點，那么實數(shù)集全體就更不可能與自然數(shù)集一一對應了。用反證法：假定(0,1] 是可數(shù)集，那么就可以把它里面的實數(shù)全部列出來，排成一個序列現(xiàn)在將每個這樣的實數(shù)寫成十進小數(shù)形式（約定將有理數(shù)也寫成無窮小數(shù)，如1/2= 0.4999... ）。于是實數(shù)集(0,1] 中的所有數(shù)可排成下面的序列：
做到這一點很容易。比如，只需在ann＝ 5 時，令bn =6 ； ann ≠ 5時，令bn =5 即可。
一定與上面序列中的任一數(shù)都不相同。因為至少它們第n位數(shù)字不同，也就是對角線上的數(shù)字至少不同（因此這種證法稱為對角線法）這意味著，當假設兩者之間能一一對應時，我們指出這一對應遺漏了某個實數(shù)沒有配上對，所以假設是錯誤的。我們不可能把區(qū)間(0,1] 中的所有數(shù)與自然數(shù)集對應起來。
這一證法簡單、漂亮，從邏輯角度不可辯駁地證明了區(qū)間(0,1] 內(nèi)的點不再是可數(shù)集，它是比可數(shù)集更高的等級。康托爾稱之為不可數(shù)集（記作C）。另外容易證明，任何長度線段中的點，甚至整個數(shù)軸上的點都是相同的，都是不可數(shù)集。于是，上面提到的同心圓中大小圓上點誰多誰少的問題也有了答案：兩者一樣多。而且兩者都是不可數(shù)集。康托爾的這一成果在認識有理數(shù)與無理數(shù)集的內(nèi)在區(qū)別方面也有著重要意義。不論是有理數(shù)，還是無理數(shù)，在實數(shù)軸上都是處處稠密的，即：在任意兩個有理數(shù)之間，分布著無窮多個無理數(shù)；反之亦然。這樣，我們直覺上會認為：實數(shù)軸上一定均勻地分布著兩個基本相等的、巨大的有理數(shù)族與無理數(shù)族。然而康托爾的結論表明了兩者間的區(qū)別絕不僅僅是前者可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而后者不能的問題。更大的區(qū)別在于：前者是可數(shù)的，而后者是不可數(shù)的?；蛘哒f，這意味著無理數(shù)（它是不可數(shù)集）在數(shù)量上大大超過有理數(shù)（它是可數(shù)集）。數(shù)不勝數(shù)的有理數(shù)當初是如此豐富，現(xiàn)在在實數(shù)集中卻突然變得似乎無足輕重了。在康托爾的研究之前，人們只辨認出有限集與無窮集這兩種類型的集合，無人試圖對無窮集再作什么區(qū)分，正是康托爾引起普遍的驚奇。他對無限集合進行深入研究，得到自然數(shù)集合是可數(shù)集，而實數(shù)集是不可數(shù)集，因而發(fā)現(xiàn)無窮集合具有不同的等級。在得到上述的結論后，康托爾沒有就此止步，他進一步思考有沒有不可數(shù)集之上的等級。他首先考慮到：二維空間中的點應該多于一維直線上的點，因而空間上的點組成的集合應是比不可數(shù)集更大的等級。1874 年1 月，在寫給戴德金的信中他問道：區(qū)間和正方形這兩個點的集合是否能夠構成一一對應的關系？他近于肯定地認為，在二維正方形與一維線段之間是不可能存在這種對應關系的，因為前者似乎顯然具有更多的點。雖然做出證明可能十分困難，但康托爾卻認為證明也許是“多余”的。然而，有趣的是，這一幾乎多余的證明卻從未能夠做出。康托爾盡管盡了力，但始終未能證明在兩者之間不存在一一對應關系。后來，1877 年，他發(fā)現(xiàn)原來的直覺是完全錯誤的，這種一一對應的關系竟然存在！我們下面就在區(qū)間(0, 1) 與單位正方形兩者間建立一種一一對應關系。如上面所介紹的，區(qū)間(0, 1) 內(nèi)的點都可表示成無窮小數(shù)。任取一點，比如0.751 468 97...。我們可以把這個數(shù)的奇數(shù)位、偶數(shù)位分別取出來，得到兩個新的數(shù)：0.7169... 與0.5487...。以這兩個數(shù)作為橫、縱坐標得到的點將落在單位正方形中，于是任一單位區(qū)間內(nèi)的點可以用這種辦法對應單位正方形內(nèi)的一個點。反過來，如果任給了單位正方形內(nèi)的一個點，只需要把這個點的橫、縱坐標摻在一塊，就得到單位區(qū)間上相應的點。比如，(0.248 63...，0.367 89...）可對應0.234 687 683 9...。因而，單位區(qū)間與單位正方形內(nèi)點數(shù)是相同的。與兩條不同長度線段上的點相同類似，很容易證明正方形內(nèi)點數(shù)的多少與它的大小也無關。所以，單位區(qū)間（或整條直線）上的點與整個平面上的點是一樣多的。它們都是不可數(shù)集，具有相同的勢。證明簡單易懂。但這個結果太出人意料了。這是康托爾提出的最令人驚奇，甚至在當時數(shù)學家中引起混亂的定理。從古希臘人以來，一直有這樣的信念，即在一維、二維、三維幾何對象（曲線、曲面和空間區(qū)域）之間有著深刻的區(qū)別，而康托爾的結論像是消除了這種差別！甚至康托爾本人也對這一出乎自己意料的結論感到震驚。在1877 年寫給戴德金的信中報告這一發(fā)現(xiàn)時，他驚呼：“我發(fā)現(xiàn)了它，但簡直不敢相信！”在證明了二維空間的點也是不可數(shù)集后，下一步就變得簡單了：一般的n 維空間也可以和直線建立一一對應關系！因而，任意n 維空間上的點都是不可數(shù)集。還能找到比不可數(shù)集更大的基數(shù)嗎？看起來，這次在尋找無窮等級的道路上我們可以停步了。真是這樣嗎？康托爾還有另外的驚奇展現(xiàn)給我們。大膽向無限集合邁進的康托爾開始另辟新徑，而且是一下子開辟了兩條通向新的無窮的道路。我們先介紹康托爾1891 年成功找到的一種證明更高基數(shù)存在的方法，他的這一研究結果，現(xiàn)在通常稱為康托爾定理。讓我們來領略領略他的想法吧。給定一個集合A，假設它由兩個元素組成，即A = {a, b}，容易知道這一集合的所有子集數(shù)有4 個：?、{a}、、{a, b}。而這4 個集合放在一起，又能組成一個集合，這個集合康托爾稱為冪集。那么顯然的，有兩個元素的集合的冪集共有4 個元素。同樣，一個具有三個元素的集合其冪集有8 個元素。一般地，一個包含n 個元素的集合其冪集元素個數(shù)為2? 。顯然，有限集合冪集的元素數(shù)目要大于原集合。當推廣到無窮集合時，情況是否如此呢？或許憑直覺我們會認為這理所當然。但研究無限時直覺的局限與不可靠，我們在上面已經(jīng)多次領教過了。不過，幸好這次我們的直覺與事實統(tǒng)一起來了。康托爾證明了：對任意一個集合來說，它的冪集基數(shù)總是大于原集基數(shù)。對這一定理的證明細節(jié)，我們不再多做介紹。我們所了解的是，在有了這一結論后，就可以尋找到更大的基數(shù)了。康托爾把可數(shù)集的基數(shù)稱為阿列夫零，記作 ?? （? 是希伯來字母表的第一個字母）。于是，它的冪集基數(shù)可記為2?? ，并且?? ＜2?? ，而根據(jù)康托爾的上述定理，我們還可以考慮2?? 的冪集等。這是一個沒有結尾的故事。魔盒一經(jīng)打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集、不可數(shù)集這樣個別的無窮數(shù)的怪物。妖怪一旦逃出魔瓶，就再沒有什么能阻止康托爾了。通過反復應用康托爾定理，可以給出一個生成更大超限基數(shù)的永無盡頭的不等式鏈。也就是說，這一不等式鏈可以無限寫下去：因而，無窮集之間存在著差別，有著不同的數(shù)量級，可分為不同的層次，而且是無窮多個層次！無限王國比我們最初預想的可熱鬧多了。根據(jù)無窮性有無窮種的理論，康托爾對各種無窮大建立了一個完整的序列，并把這些基數(shù)稱為超限基數(shù)。與之相對應，一般的計數(shù)數(shù)即自然數(shù)被稱為有限基數(shù)。康托爾進一步創(chuàng)立了超限基數(shù)的算法。這種算法相對于“常識”，即有限數(shù)的一般算法而言，顯得非常不可思議。在超限算法中，我們可發(fā)現(xiàn)很多奇怪的規(guī)則，例如
康托爾在開辟上面通向無窮王國的道路之前，還有過另一種奇思妙想。上述研究建立在基數(shù)理論上?；鶖?shù)考慮的是集合中元素的多少，沒有考慮這些元素間可能出現(xiàn)的次序。這種比較數(shù)集多少的方法雖然有效，但與我們的習慣有點不同。我們通常在比較數(shù)目多少時使用計數(shù)的方式，即把不同的數(shù)按由小到大的次序排起來進行比較，這是利用了序數(shù)思想?？低袪栐缧r候思考的問題是：能否建立無窮的序數(shù)理論呢？康托爾是在19 世紀80 年代開始思考這一問題的，并將自己的研究成果發(fā)表在1879 年到1884 年的《數(shù)學年鑒》雜志上，后來又被收入題為《關于無窮線性點集（5）》的論文中。康托爾的起點很簡單，他指出：自然數(shù)序列1, 2, 3, …是從1 開始，并通過相繼加1 而產(chǎn)生的。他把這種通過相繼加1 定義有窮序數(shù)的過程概括為“第一生成原則”（也稱延伸原則）。康托爾將由此得到的全體有窮序數(shù)集稱為第一數(shù)類。按一般想法，顯然其中沒有最大的數(shù)。但康托爾卻引入了一種新的設想，即“第二生成原則”（也稱窮竭原則）：給定任一有特定順序，但其中無最大元素的集合，通過窮竭可得出一個新數(shù)，它大于原集合中任何一個給定數(shù)。依照這一原則，從1, 2, 3, …出發(fā)，通過窮竭可以引出一個新數(shù)，康托爾記它為ω。在康托爾看來，這不再是潛無限觀念中的∞ ，而是一個確實存在的數(shù)，是第一個超限序數(shù)。通過以上兩個原則的反復應用，我們就可以得出無窮多個越來越大的序數(shù)，如果采用序數(shù)算術的記法，那么將所有序數(shù)，從0 開始由小到大排起來，就形成如下的無窮序列：0, 1, 2,（這是延伸）…, ω（這是窮竭）, ω＋1, ω＋2（, 又是延伸）…, ω＋ω＝ ω·2（這又是窮竭）, ω·2＋1, …, ω·3, …, ω·ω對第一數(shù)類，即1, 2, …而言，其中每個序數(shù)n 的基數(shù)為n。所有第一數(shù)類組成的集合是可數(shù)集，基數(shù)為?0 。而言，其中每個序數(shù)的基數(shù)都是可數(shù)的。所有第二數(shù)類組成的集合的基數(shù)記為?? 。如果無限制地使用第一和第二生成原則，第二數(shù)類似乎不存在最大元素。為此，康托爾引入第三生成原則（也稱限制原則），目的在于保證每一個新數(shù)類的基數(shù)大于前一個數(shù)類的基數(shù)，而且是第一個這樣大的。因而，從自然數(shù)開始，反復應用三個原則不斷攀升，就能得到“第一數(shù)類”“第二數(shù)類”“第三數(shù)類”……一系列的數(shù)類，它們的基數(shù)分別為這樣，康托爾不但給出了序數(shù)的一種系統(tǒng)的表示法，而且從另一角度創(chuàng)造了一種無限集的無窮譜系！超限基數(shù)與超限序數(shù)一起刻畫了無限，描繪出一幅無限王國的完整圖景，它充分體現(xiàn)了康托爾那驚人的想象力。
* 本文摘自《數(shù)學悖論與三次數(shù)學危機》，韓雪濤著，人民郵電出版社出版。 以數(shù)學學習為主題，以傳播數(shù)學文化為己任，以激發(fā)學習者學習數(shù)學的興趣為目標，分享有用的數(shù)學知識、有趣的數(shù)學故事、傳奇的數(shù)學人物等，為你展現(xiàn)一個有趣、好玩、豐富多彩的數(shù)學世界。
|
