|
康托爾 李娜 張錦文 (河南大學(xué))(中國科學(xué)院軟件研究所) 康托爾， G．F．L．Ph．(Cantor，Georg FerdinandLudwig Philipp)1845年3月3日生于俄羅斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德國薩克森的哈雷．?dāng)?shù)學(xué)、集合論． 康托爾的祖父母曾居住在丹麥的哥本哈根，1807年英國炮擊哥本哈根時，他們家?guī)缀鯁适Я艘磺校S后遷往俄羅斯的圣彼得堡，那里有康托爾祖母的親戚．康托爾的父親喬治·魏特曼·康托爾(George Woldemar Cantor)年輕時，曾在圣彼得堡經(jīng)商．后來，在漢堡、哥本哈根、倫敦甚至遠(yuǎn)及紐約從事國際買賣．1839年由于某種原因破產(chǎn)了．但不久，他又轉(zhuǎn)到股票交易上，并很快取得了成功．1842年4月21日，魏特曼與 們婚后有六個孩子，康托爾是他們的長子．1856年，康托爾隨同全家移居德國的威斯巴登，并在當(dāng)?shù)氐囊凰乃迣W(xué)校讀書．后來在阿姆斯特丹讀六年制中學(xué)．1862年，開始了他的大學(xué)生活．他曾就學(xué)于蘇黎世大學(xué)、格丁根大學(xué)和法蘭克福大學(xué)．1863年，他父親突然病逝，為此，康托爾回到了柏林，在柏林大學(xué)重新開始學(xué)習(xí)． 在那里，他從當(dāng)時的幾位數(shù)學(xué)大師K．W．T．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)、E．E，庫默爾(Kummer)和L．克羅內(nèi)克(Kro-nechen)那里學(xué)到了不少東西．特別是受到魏爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)入純粹數(shù)學(xué)．從此，他集中全力于哲學(xué)、物理、數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究，并選擇了數(shù)學(xué)作為他的職業(yè)．可是，最初他父親并不希望他獻(xiàn)身于純粹科學(xué)，而是力促他學(xué)工．但是，康托爾越來越多地受到數(shù)學(xué)的吸引．1862年，年輕的康托爾做出了準(zhǔn)備獻(xiàn)身數(shù)學(xué)的決定．盡管他父親對他的這一選擇是否明智曾表示懷疑，但仍以極大的熱情支持兒子的事業(yè)．同時還提醒康托爾要廣泛學(xué)習(xí)各科知識，他還極力培養(yǎng)康托爾在文學(xué)、音樂等方面的興趣．康托爾在繪畫方面表現(xiàn)出的才能使整個家庭為之自豪． 由于康托爾一開始就具有獻(xiàn)身數(shù)學(xué)的信念，這就為他創(chuàng)立超窮集合論，取得數(shù)學(xué)史上這一令人驚異的成就，奠定了基礎(chǔ)．盡管19世紀(jì)末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭論乃至嚴(yán)厲的譴責(zé)，但是他不顧眾多數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家甚至神學(xué)家的反對，堅定地捍衛(wèi)了超窮集合論．也正是這種堅定、樂觀的信念使康托爾義無反顧地走向數(shù)學(xué)家之路并真正取得了成就． 1866年12月14日，康托爾的第三篇論文“按照實(shí)際算學(xué)方法，決定極大類或相對解”(In re mathematica ars proponendlpluris facienda est quam solvendi)使他獲得了博士學(xué)位．這時，他的主要興趣在數(shù)論方面．1869年，康托爾在哈雷大學(xué)得到教職．他的授課資格論文討論的是三元二次型的變換問題．不久，任副教授，1879年任教授，從此一直在哈雷大學(xué)擔(dān)任這個職務(wù)直到去世．1872年以后，他一直主持哈雷大學(xué)的數(shù)學(xué)講座． 在柏林，康托爾是數(shù)學(xué)學(xué)會的成員之一．1864—1865年任主席．他晚年積極為一個國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟工作．他還設(shè)想成立一個德國數(shù)學(xué)家聯(lián)合會，這個組織于1891年成立，康托爾是它的第一任主席．他還籌辦了1897年在蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會．1901年，康托爾被選為倫敦數(shù)學(xué)會和其他科學(xué)會的通訊會員或名譽(yù)會員，歐洲的一些大學(xué)授予他榮譽(yù)學(xué)位．1902年和1911年他分別獲得來自克里斯丁亞那(Christiania)和圣安德魯斯(St．Andrews)的榮譽(yù)博士學(xué)位．1904年倫敦皇家學(xué)會授予他最高的榮譽(yù)：西爾威斯特(Sylvester)獎?wù)拢? 1874年初，康托爾經(jīng)姐姐G．索菲(Sophie)介紹，與瓦雷·古德曼(Vally Guttmann)訂婚，并于同年仲夏結(jié)婚．他們共有五個孩子．那時，哈雷大學(xué)教授的收入很微薄，康托爾一家一直處在經(jīng)濟(jì)困難之中．為此，康托爾希望在柏林獲得一份收入較高、更受人尊敬的大學(xué)教授的職位． 然而在柏林，康托爾的老師克羅內(nèi)克幾乎有無限的權(quán)力．他是一個有窮論者，竭力反對康托爾“超窮數(shù)”的觀點(diǎn)．他不僅對康托爾的工作進(jìn)行粗暴的攻擊，還阻礙康托爾到首都柏林工作，使康托爾得不到柏林大學(xué)的職位．由于他的攻擊，還使數(shù)學(xué)家們對康托爾的工作總抱著懷疑的態(tài)度，致使康托爾在1884年患了抑郁癥．最初發(fā)病的時間較短，1899年，來自事業(yè)和家庭生活兩方面的打擊，使他舊病復(fù)發(fā)．這年夏天，集合論悖論縈繞在他的頭腦中，而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題的解決仍毫無線索．這使康托爾陷入了失望的深淵．他請求學(xué)校停止他秋季學(xué)期的教學(xué)，還給文化大臣寫信，要求完全放棄哈雷大學(xué)的職位，寧愿在一個圖書館找一份較輕松的工作．但他的請求沒有得到批準(zhǔn)．他不得不仍然留在哈雷，而且這一年的大部時間是在醫(yī)院度過的．同時，家庭不幸的消息也不斷傳來．在他母親去世三年后，他的弟弟G．康士坦丁(Constantin)從部隊退役后去世．12月16日，當(dāng)康托爾在萊比錫發(fā)表演講時，得到了將滿13歲的小兒子G．魯?shù)婪?Rudolf)去世的噩耗．魯?shù)婪驑O有音樂天賦，康托爾希望他繼承家族的優(yōu)良傳統(tǒng)，成為一個著名的小提琴家．康托爾在給F．克萊因(Klein)的信中不僅流露出他失去愛子的悲痛心情，而且使他回想起自己早年學(xué)習(xí)小提琴的經(jīng)歷，并對放棄音樂轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)是否值得表示懷疑．到1902年，康托爾勉強(qiáng)維持了三年的平靜，后又被送到醫(yī)院．1904年，他在兩個女兒的陪同下，出席了第三次國際數(shù)學(xué)家大會．會上，他的精神又受到強(qiáng)烈的刺激，他被立即送往醫(yī)院．在他生命的最后十年里，大都處在一種嚴(yán)重抑郁狀態(tài)中．他在哈雷大學(xué)的精神病診所里度過了漫長的時期．1917年5月他最后一次住進(jìn)這所醫(yī)院直到去世． 康托爾的工作大致分為三個時期，早期，他的主要興趣在數(shù)論和經(jīng)典分析等方面；之后，他創(chuàng)立了超窮集合論；晚年，他較多地從事哲學(xué)和神學(xué)的研究．康托爾的成就不是一直在解決問題，他對數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)是他詢問問題的特殊方法，從而開創(chuàng)了大量新的研究領(lǐng)域．這使他成為數(shù)學(xué)史上最富于想象力，也是最有爭議的人物之一． 1874年，29歲的康托爾就在《克雷爾數(shù)學(xué)雜志》(Crelles Jo-urnal für Mathematik)上發(fā)表了關(guān)于超窮集合理論的第一篇革命性文章，引入了震憾知識界的無窮的概念．這篇文章的題目叫：“關(guān)于一切代數(shù)實(shí)數(shù) Zahlen)．盡管有些命題被指出是錯誤的，但這篇文章總體上的創(chuàng)造性引起了人們的注意．康托爾的集合論理論分散在他的許多文章和書信中，他的這些文章從1874年開始分載在《克雷爾數(shù)學(xué)雜志》和《數(shù)學(xué)年鑒》(Mathemati-sche Annale)兩種雜志上．后被收入由E．策梅羅(Zermelo)編的康托爾的《數(shù)學(xué)和哲學(xué)論文全集》(Gesammelte Abhandlangenmathematischen und philosophischen Inhelts)中．1879年至1884年間，康托爾相繼發(fā)表了六篇系列文章，并匯集成《關(guān)于無窮線性點(diǎn)集》 四篇直接建立了集合論的一些重要的數(shù)學(xué)結(jié)果．1883年，康托爾認(rèn)識到，要想對無窮的新理論作進(jìn)一步推廣，必須給出較前四篇系列文章更為詳盡的闡述．隨后他又發(fā)表了第五和第六兩篇文章，簡潔而系統(tǒng)地闡述了超窮集合論．他在第五篇文章里，還專門討論了由集合論產(chǎn)生的數(shù)學(xué)和哲學(xué)問題，其中包括回答反對者們對實(shí)無窮的非難．這篇文章非常重要，后來曾以《集合通論基礎(chǔ)，無窮理論的數(shù)學(xué)和哲學(xué)的探討》(Grundlageneiner allgemeinen Mannigfaltigkeits lehre，ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen)(以下簡稱《集合通論基礎(chǔ)》)為題作專著單獨(dú)出版．康托爾最著名的著作是1895—1897年 Mengenlehre)(共兩卷)． 下面分述康托爾的主要工作． 1．三角級數(shù) 康托爾早年對數(shù)論、不定方程和三角級數(shù)極感興趣．似乎是微妙的三角級數(shù)激發(fā)他去仔細(xì)研究分析的基礎(chǔ)．與三角級數(shù)和傅里葉級數(shù)唯一性有關(guān)的問題，促使他研究E．海涅(Heine)的工作．康托爾從尋找函數(shù)的三角級數(shù)表示的唯一性的判別準(zhǔn)則開始了他的研究． 后來，他在H．施瓦茲(Schwarz)的啟發(fā)下證明了：假定對同一函數(shù)f(x)，存在兩個對每個x都收斂到同一值的三角級數(shù)表達(dá)式，將兩式相減，得到一個0的表達(dá)式，同樣對所有x的值收斂： 0=C0+C1+C2+…+Cn+… (1) 1870年3月，康托爾發(fā)表了一個關(guān)于唯一性定理所需要的初步結(jié)果．后來，人們把它叫康托爾-勒貝格(Lebesgue)定理．同年4月，康托爾證明了(pp．80—83)：當(dāng)f(x)用一個對一切x都收斂的三角級數(shù)表示時，就不存在同一形式的另一級數(shù)，它也對每個x收斂并且代表同一函數(shù)f(x)．在另一篇論文(pp．84—86)中，他給出了上述結(jié)果的一個更好的證明． 康托爾還證明了唯一性定理可以重新敘述為：如果對一切x，有一個收斂的三角級數(shù) 等于零，則系數(shù)an和bn都是零． 1871年，康托爾將這個結(jié)果推廣到可以存在著有窮多個例外的點(diǎn)．到了1872年，他又將結(jié)果進(jìn)一步推廣到無窮多個例外的點(diǎn)([8]，pp．92—108)． 為了描述這種點(diǎn)所構(gòu)成的集合，他引進(jìn)了點(diǎn)集的導(dǎo)出集的概念．為了說明這些無窮例外點(diǎn)的性質(zhì)，他以一集合的導(dǎo)出集的性質(zhì)為標(biāo)準(zhǔn)，對無窮集作了一次分類． 2．無窮集的分類(Ⅰ) 設(shè)給定一集合P，P的一階導(dǎo)出集為P＇，二階導(dǎo)出集為P″，…，v階導(dǎo)出集為P(v)．P為第二種集合，如果 P′，P″…P(v)，… 皆為無窮．此處，P′可不包含于P，但P″， ，…中的點(diǎn)皆屬于P′．P為第一種集合，如果P(v)只含有有窮多個點(diǎn)． 在第二種集合的情況下，P＇可含有不屬于P的點(diǎn)，而高階導(dǎo)出集并沒有引入新點(diǎn)．他還定義P(∞)為包括那些屬于一切P(v)的點(diǎn)集，稱為“p的∞次導(dǎo)出集”． 3．無理數(shù)理論 由于定義導(dǎo)出集要用到極限的概念，而極限的存在又必須以實(shí)數(shù)系為前提，因之，康托爾在不預(yù)先假定無理數(shù)存在的條件下，利用有理數(shù)，建立了一個令人滿意的無理數(shù)理論．他通過“基本級數(shù)”(現(xiàn)在我們叫做基本序列或柯西序列)引入了無理數(shù)．他的作法與R．戴德金(Dedekind)從幾何方面作的處理截然不同．對于有理數(shù)，他在1883年的一篇文章([8]，pp．165—204)中說，巳經(jīng)沒有必要去討論它，因?yàn)檫@方面的工作已經(jīng)由H．G．格拉斯曼(Grassmann)在他的《算術(shù)教本》 (Lehrbuch der Arithmetik，1861)和J．H．T．繆勒(Müller)在他的《一般算術(shù)教程》(Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik，1855)中完成了． 康托爾在他的《關(guān)于無窮線性點(diǎn)集(5)》中，給出了無理數(shù)理論較詳細(xì)的內(nèi)容．他引進(jìn)一個新的數(shù)類——實(shí)數(shù)，它既包含有理數(shù)又包含無理數(shù)．他從有理數(shù)序列｛an｝開始研究，這種序列滿足：對于任何一個給定的正有理數(shù)ε＞0，序列中除去有限個項以外，彼此相差都小于ε，亦即對于任意的正整數(shù)m一致地有l(wèi)im(an+m-an)=0成立．這樣的序列叫基本序列．每個這樣的序列定義一個實(shí)數(shù)，記作b．在這篇文章里，康托爾還定義了實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算和兩個實(shí)數(shù)的不等關(guān)系，證明了：實(shí)數(shù)系是完備的． 康托爾進(jìn)一步得到：任意的正實(shí)數(shù)r可以通過如下形式的級數(shù)來表示： 其中系數(shù)cr，滿足不等式：0≤cr≤r-1．(2)式現(xiàn)在叫做康托爾基數(shù)． 實(shí)數(shù)系建立以后，可知直線上每一點(diǎn)都有對應(yīng)的實(shí)數(shù)．但是，對每一實(shí)數(shù)，是否直線上都有一相應(yīng)的點(diǎn)？這必須通過公理才能保證．康托爾在這篇論文里把它作為公理提了出來．因此這條公理又被稱為康托爾公理．據(jù)此，實(shí)數(shù)集與直線上的點(diǎn)集就有了一一對應(yīng)． 4．無窮集的分類(Ⅱ) 康托爾對無窮集的第二種分類標(biāo)準(zhǔn)是建立在集合論中的．他的這種思想出自1873年11月他給在布倫茲維克的伙伴戴德金的一封交流信中，并在1874年的論文“關(guān)于一切代數(shù)實(shí)數(shù)的一個性質(zhì)”里正式提出．他以“一一對應(yīng)”為標(biāo)準(zhǔn)，對于凡能和正整數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)的集合都稱為可數(shù)集．這是最小的無窮集．不久，康托爾證明了：有理數(shù)是可數(shù)的；而全體實(shí)數(shù)是不可數(shù)的． 1873年11月他給出了有理數(shù)集合可數(shù)的第一個證明([8]，pp．115—118)；但他的第二個證明([8]，pp．283—356)是現(xiàn)在常采用的．康托爾把有理數(shù)排列成如下的形式(下圖)：在一個半平面上，最上面一排稱為第一行，標(biāo)以數(shù)1，從上而下，分別稱為第二行，第三行，…，順次標(biāo)以數(shù)2，3，…．每行正中間為0列，標(biāo)以數(shù)0．從中間開始向右，順次為1列，2列，…，從0列向左，順次為－1列，－2列，…等等．在m行n列相交處放置有理數(shù) 集與正整數(shù)集構(gòu)成一一對應(yīng)．這就證明了有理數(shù)集可數(shù)． 更讓人驚訝的是，康托爾還證明了所有代數(shù)數(shù)的全體所構(gòu)成的集也是可數(shù)的．這里所謂代數(shù)數(shù)就是滿足下面代數(shù)方程 a0xn+a1xn-1+…+an=0 的數(shù)，其中ai(i=0，1，2，…，n)都是整數(shù)． 為了證明這一點(diǎn)，康托爾對任一個n次代數(shù)方程指定一個數(shù)(叫高)N如下： N=(n-1)+|a0|+|a1|+…+|an|． 其中ai(i=0，1，…，n)都是這個方程的系數(shù)．?dāng)?shù)N是一個正整數(shù)．對每一個N，以N為高的代數(shù)方程只有有限個．因此它們的全部解也只有有限個，除去重復(fù)的之外，所對應(yīng)的代數(shù)數(shù)也只有有限個，設(shè)為φ(N)．他從N=1開始，對于所對應(yīng)的代數(shù)數(shù)從1到n1給以標(biāo)號；對應(yīng)于N=2的代數(shù)數(shù)從n1+1到n2給以標(biāo)號；依次下去．由于每一個代數(shù)數(shù)一定會編到號，并且必與唯一的一個正整數(shù)相對應(yīng)，從而所有代數(shù)數(shù)的集合是可數(shù)的． 1873年12月7日，康托爾還成功地證明了實(shí)數(shù)集和正整數(shù)集之間不存在一一對應(yīng)．他曾給出兩個證明，第一個證明在前面提到過的1874年的那篇文章里．第二個證明([8]，pp．278—281)比第一個證明復(fù)雜得多，但它不依賴于無理數(shù)的技術(shù)．今天大多數(shù)教科書中采用的是他的第二個證明．其實(shí)，他主要證明區(qū)間(0，1]中的點(diǎn)不可數(shù)． 在十進(jìn)制下，0與1之間的每個實(shí)數(shù)都可以寫成0．p1p2p3…這樣形式的無窮小數(shù)．并約定將有理數(shù)寫成無窮小數(shù)，如 假設(shè)實(shí)數(shù)集(0，1]是可數(shù)的，將其元素全部枚舉出來，得到序列 a1，a2，a3，…，an，… (3) 于是正整數(shù)集與實(shí)數(shù)集(0，1]之間可構(gòu)成一一對應(yīng)： 現(xiàn)在構(gòu)造一個數(shù)b=0．b1b2b3…bk…，其中 則b是0與1之間的其數(shù)字都是4或5的一個無窮小數(shù)．并且它的第K位數(shù)字bk≠pKK，所以b與(3)中任何一個數(shù)都不相同．這就是說，數(shù)列(3)并沒有把(0，1]中的數(shù)枚舉完．因此，假設(shè)(0，1]可數(shù)是錯誤的．故(0，0]不可數(shù)． 值得注意的是：上述證明中，康托爾在構(gòu)造數(shù)b時，那里的數(shù)字4和5并不起什么特殊的作用．只用了b的一種性質(zhì)：即b的第K位數(shù)字bk與(3)式中第K個數(shù)的第K位數(shù)字pkk不同．其實(shí)，與pkk不同的其余九個數(shù)字都可以作為bk．在證明中起決定作用的是對角線上的數(shù)字pkk．這種證明方法稱為康托爾對角線法． 在發(fā)現(xiàn)了兩個不同的無窮集(整數(shù)集和實(shí)數(shù)集)以后，康托爾開始考慮是否還有更大的無窮．他首先想到，平面上的所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合是否就是那更大的無窮．三年之后，他證明了：一條直線上的點(diǎn)和整個Rn(n維空間)中的點(diǎn)可以構(gòu)成一一對應(yīng)．這個結(jié)果和他始料的相反．1877年6月他寫信給戴德金，請審查他的證明，并說：“我見到了，但是簡直不能相信它．”(Briefweichsel Cantor-Dedekind，p．34)康托爾關(guān)于一直線中的點(diǎn)和Rn中的點(diǎn)構(gòu)成一一對應(yīng)的思想是：把單位正方形中的點(diǎn)和(0，1)線段上的點(diǎn)之間構(gòu)成一一對應(yīng)． 設(shè)(x，y)是單位正方形內(nèi)的一個點(diǎn)．x是(0，1)中的點(diǎn)．設(shè)x，y都表示成無窮小數(shù)(當(dāng)為有限小數(shù)時，寫成9的無限循環(huán))．我們把x和y的小數(shù)分成一組一組的，每一組都終止在第一個非零的數(shù)字上．例如 令 z=0.3 01 02 7 4 06 005 8 6 04 … 其中各組數(shù)字是：先排x的第一組，再排y的第一組，然后排x的第二組，y的第二組，依次下去．如果兩個x或兩個y有不同的小數(shù)位數(shù)字，則所對應(yīng)的兩個x不同．這說明(x，y)→z是一對一的．反之，對于任意的z∈(0，1)，把z的小數(shù)也像上面那樣分組，并把上述過程倒過去使用，作出相應(yīng)的x和y，則(x，y)是單位正方形中的點(diǎn)，所以上述映射是一一的．但它是不連續(xù)的．粗略地說，對應(yīng)于彼此靠近的x點(diǎn)的(x，y)點(diǎn)不一定靠近，反之亦然． 5．點(diǎn)集理論 康托爾的點(diǎn)集理論，包含了大量的定義、定理和例子．例如，“閉包”、“稠密集”和“良定義集”等概念．康托爾還把一個閉的并且在它自身是稠密的集合叫“完備的”．他還給出了一個著名的三分集的例子，后來人們把它叫做“康托爾集”，它是一個完備的不連續(xù)集．這個集合被定義在[0，1]區(qū)間，它的所有點(diǎn)滿足公式 其中Cr取值0或2． 他還給出了“處處稠密”集的定義，指出了處處稠密集和導(dǎo)集之間的聯(lián)系． 康托爾點(diǎn)集理論中的第二個重要問題是：討論無窮集合的基數(shù)，并按基數(shù)對集合進(jìn)行分類．他給出了一些很重要的結(jié)果．另外，康托爾的可除容度理論使一些數(shù)學(xué)家感興趣，并將其應(yīng)用到微積分的某些定理的推廣上． 6．初等集合論 康托爾把集合定義為“把我們的感覺或思維所確定的不同對象(稱之為集合的元素)匯合成一個總體”(《數(shù)學(xué)年豎》，1895，pp．481—512)．在他早年的論文中，他有時使用“雜多”(Mannig-faltigkeit)一詞代替集合．一個集合包含它的元素(或分子)，反過來這些元素屬于集合．一給定集合S的一個子集是：它的所有元素都是S的元素；子集與元素不同，它是S的一部分．一個集合可以用列出它所有元素的方法來表示，如集合｛1，2｝；或者用一個性質(zhì)來刻畫它的元素．在每一種情況下，有相同元素的兩個集合A和B，稱為相等．記作A=B．至此可以看到，康托爾的集合論類似于G．布爾(Boole)的類理論，但更加復(fù)雜． 兩個集合S和T稱之為等價的，如果在它們之間存在一一對應(yīng)，記作S T． 一個集合的基數(shù)是一切等價集合所共有而其他集合不具有的東西．集合P的基數(shù)被記作 ．這里兩道水平線表示雙重抽象．如果P有窮， 就是一個自然數(shù)；如果P無窮， 不是自然數(shù)，這個推廣可借助對無窮所下的新定義而極易達(dá)到．我們說，一個集合是無窮的，當(dāng)且僅當(dāng)它能與它的一個真子集一一對應(yīng)． 正如有窮集合的基數(shù)可比較，無窮集合的基數(shù)也可比較．因?yàn)槿绻我患蟂等價于集合T的某一子集但不等價于T本身，那么S的基數(shù)小于T的基數(shù)． 康托爾還借已知集合定義了構(gòu)成新集合的并、交、笛卡兒積和嵌入等運(yùn)算．除此之外，還定義了一種特別重要的集合，叫集合S的冪集．它是S的一切子集的集合(在S的子集中包括S本身和空集)，他常用“ S”表示，這里的字母 取自德文詞Untermenge．現(xiàn)在人們則喜歡用P(S)表示S的冪集． 引進(jìn)集合的運(yùn)算以后，康托爾又定義了基數(shù)的一般算術(shù)，包括加、乘和冪運(yùn)算．當(dāng)考慮無窮集時，由定義所得的結(jié)果在許多方面與自然數(shù)算術(shù)不同． 7．超窮數(shù) 康托爾關(guān)于良序集和序數(shù)的理論，發(fā)表在1879年到1884年的《數(shù)學(xué)年鑒》雜志上．后來這些文章都被收入題為《關(guān)于無窮線性點(diǎn)集(5)》中． 康托爾指出：自然數(shù)序列1，2，3，…是從1開始，并通過相繼加1而產(chǎn)生的．他把這種通過相繼加1定義有窮序數(shù)的過程概括為“第一生成原則”．將全體有窮序數(shù)集稱為第一數(shù)類，用(Ⅰ)表示，顯然其中無最大元．但康托爾覺得，用一個新數(shù)ω來表示它的自然順序沒有什么不妥，這個新數(shù)ω是緊跟在整個自然數(shù)序列之后的第一個數(shù)——第一個超窮序數(shù)．從ω出發(fā)運(yùn)用第一生成原則，可以得到一個超窮序數(shù)序列： ω，ω+1，ω+2，…，ω+n，… (4) 在(4)里，沒有最大數(shù)．不妨用2ω來表示它．繼續(xù)使用第一生成原則，得 2ω，2ω+1，2ω+2，…，2ω+n，… 在這一過程中，可以把ω看成自然數(shù)(單增序列)的一個永遠(yuǎn)達(dá)不到的極限．不過，康托爾僅僅強(qiáng)調(diào)ω是作為緊跟在全體自然數(shù)n∈N之后的第一個序數(shù)．它比所有的自然數(shù)n都大．第二生成原則是：給定任意有特定順序、但其中無最大元素的集合，可以作為原集合的極限或后繼者而得一新序數(shù)． 反復(fù)運(yùn)用這兩個生成原則，就能產(chǎn)生無窮多個序數(shù)，如 ω，ω+1，…，n0ωμ+n1ωμ-1+… +nμ-1ω+nμ，…，ω∞，… 等等．它們的全體構(gòu)成第二數(shù)類，記為(Ⅱ)．這些序數(shù)的基數(shù)都是可數(shù)的．接著，康托爾證明了：第二數(shù)類的基數(shù)不可數(shù)，他把這個基數(shù)記作 ，第二數(shù)類中也無最大序數(shù)．根據(jù)第二生成原則，在這些新序數(shù)之后又有一新序數(shù)ω1．這是第三數(shù)類的始數(shù)．如此逐步上升可以得到一系列的始序數(shù) ω1，ω2，ω3，…， 與其相應(yīng)的基數(shù)為： 1， 2， 3，…． 如果無限制地使用第一和第二生成原則，第二數(shù)類似乎不存在最大元素．為此，康托爾引出了第三生成原則——限制原則．限制原則的目的在于保證，一個新數(shù)類的基數(shù)大于前一數(shù)類的基數(shù)而且是滿足這個條件的最小數(shù)類． 值得注意的是，康托爾的超窮數(shù)理論，不同于以往數(shù)學(xué)家們在變量意義下使用的無窮．他說，有窮集和無窮集的重要差別在于：在有窮集的情況下，不論其中元素的順序如何，所得的序數(shù)相同；對無窮集來說，由于元素順序不同，從一無窮集可以形成無窮多個不同的良序集，因而得到不同的序數(shù)．為了強(qiáng)調(diào)超窮序數(shù)是一種實(shí)無窮，是被看作象實(shí)數(shù)那樣具有真實(shí)數(shù)學(xué)意義的數(shù)，在這篇文章中，他選用了ω代替∞．他還期望所引進(jìn)的這些超窮序數(shù)能像無理數(shù)、復(fù)數(shù)那樣，最終被數(shù)學(xué)家們所接受． 限制原則引進(jìn)后，康托爾考慮了數(shù)集的順序和它們的基數(shù)．他指出：(Ⅰ)和(Ⅱ)的重要區(qū)別在于(Ⅱ)的基數(shù)大于(Ⅰ)的基數(shù)．(Ⅰ)和(Ⅱ)的基數(shù)分別稱為第一種基數(shù)和第二種基數(shù)， 康托爾在引進(jìn)超窮基數(shù)以及相應(yīng)的超窮算術(shù)的過程中，用了一個很重要的概念——良序集． 定義 給定良定義集，如果它的元素按確定的順序排列．依照這個順序，存在這個集合的第一個元素，而且對每個元素都存在一個確定的后繼(除非它是最后一個元素)．這樣的集合稱為一個良序集． 顯然，自然數(shù)集是良序的．?dāng)?shù)類(Ⅰ)與(Ⅱ)都是良序的．良序集的概念對于區(qū)別有窮集和無窮集起了重要的作用． 接下來，康托爾引進(jìn)了無窮良序集的編號——它用于刻畫給定集合中元素出現(xiàn)的順序．他還指出，這個新概念賦予超窮數(shù)一種直接的客觀性．他證明了：給定任何一個可數(shù)無窮的良序集，總存在(Ⅱ)中的一個數(shù)能夠唯一地表示它的順序或編號．因此，從一個簡單的可數(shù)集出發(fā)，就可以產(chǎn)生不同的良序集，如正整數(shù)這個可數(shù)無窮集，可以形成序數(shù)為 ω，ω+1，ω+2，…，2ω，…，ωω，… 等無窮多個良序集． 如果兩個良序集相似，則它們有相同的編號．因此，給定任意的(Ⅰ)或(Ⅱ)中的數(shù)α，按照自然順序選出先于α的所有元素，則所有與之相似的良序集的編號由α唯一確定．以下三個良序集 ｛α1，α2，α3，…，αn，αn+1，…｝， ｛α2，α1，α4，…，αn+1，αn，…｝， ｛1，2，3，4，…，n，…｝ 的編號均為ω．下面的三個良序集 ?。?，α3，…，αn，…，α1｝， ?。?，α4，…，αn+1，…，α1，α2｝， ｛α1，α3，…，α2，α4，…｝ 的編號分別為ω+1，ω+2和2ω． 康托爾還用數(shù)和編號之間的差別，給出了有窮集和無窮集的新解釋．有窮集中不管元素怎樣排列，編號總是相同的．有趣的是，具有相同基數(shù)的無窮集，其元素的個數(shù)相同，也可有不同的良序并產(chǎn)生不同的編號．因此，集合的編號完全依賴于集合無素所選取的順序．他還強(qiáng)調(diào)，有窮集的基數(shù)和編號的概念是一致的．對于無窮集，基數(shù)和編號之間的區(qū)別是重要的．康托爾還把編號看成是計數(shù)概念的一種推廣．一個無窮集的編號由它的一個超窮數(shù)給定．另外，良序的概念還為定義超窮算術(shù)提供了基礎(chǔ)． 8．康托爾定理和邊續(xù)統(tǒng)假設(shè) n維空間的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)相比，并不是更大的無窮．那么，是否能從已知的無窮集合出發(fā)，根據(jù)正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算，構(gòu)成更大的無窮集呢？康托爾在1891年的論文“集合論的一個根本問題”( ber eine elementare Frage der Mannigfaltig keitslehre)里作了肯定的回答．他用對角線方法證明 1899年，康托爾在給戴得金的信中說，1891年論文里的結(jié)果可以表示成：2a＞a．這里a為某一集合的基數(shù)，不管這個集合是什么，這個命題在康托爾的理論中都具有重要意義．它還被敘述為：一集合的冪集，其基數(shù)比原集合的基數(shù)大．因此，給定一集合，我們可以通過其冪集來形成一更大的集合；給定一基數(shù)，我們可以得到一更大的基數(shù)．所以沒有最大的集合，也沒有最大的基數(shù)．給定集合S，用求冪集的方法，可得下面一系列一個比一個大的集合： S，P(S)，PP(S)，…． 如果S的基數(shù)為a，其相應(yīng)的一個比一個大的基數(shù)為： a，2a，22a，…． 以上是用冪集來構(gòu)成更大集合和更大基數(shù)的辦法．至此，我們有兩個系列的無窮基數(shù)． 第一系列： 0 1 2，…， (5) 第二系列： ，2 0，22 0，…． (6) 第二系列分別表示集合 ω，P(ω)，PP(ω)，… 的基數(shù)． 在康托爾之前，不同的無窮集的大小沒有明確的區(qū)分；它們都是無窮的，因而所有的無窮集都很大．可是，從康托爾的工作之后，這已變成一個具有明確意義的問題． 1878年，康托爾猜想 2 0= 1． (7) 現(xiàn)在人們稱康托爾的這個猜想為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的英文為continuum hypothesis．因此，(7)常縮寫成CH．從那時起，康托爾試圖作出這樣的一個證明而未能成功．1883年他又宣稱，他希望不久用一個精確的證明來正確地回答這個問題．一年后，在他的主要著作《關(guān)于無窮線性點(diǎn)集(5)》的結(jié)尾，他再一次允諾在稍后的續(xù)篇中給出這個證明．但是，直到他去世，也沒有給出這個證明．基于各種原因，連續(xù)統(tǒng)問題是重要的，并且具有挑戰(zhàn)性． 1900年夏季在巴黎舉行的第二次國際數(shù)學(xué)家大會上，D．希爾伯特(Hilbert)做了題為“數(shù)學(xué)問題” (Mathematische problem)的著名演說，提出了23個未解決的難題，其中第一個問題就是“證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”．這個問題在20世紀(jì)引起了全世界數(shù)學(xué)家的興趣，從而激發(fā)了很多有趣的工作．現(xiàn)在，公理集合論中的兩個最有趣而富有成果的方法，即1940年K．哥德爾(G del)使用的可構(gòu)成性方法和1963年P(guān)．J．科恩(Cohen)使用的力迫法，都部分地回答了這個問題． 9．全序集的理論 《越窮數(shù)理論基礎(chǔ)》是康托爾的最后一部重要的數(shù)學(xué)著作．這本書初稿的第Ⅰ、第Ⅱ部分于1895年5月和1897年5月分別發(fā)表在《數(shù)學(xué)學(xué)報》(Acta Mathematica)上，主要內(nèi)容隨即譯成各種文字．1895年首先由F．格貝迪(Gerbaldi)將第Ⅰ部分譯成意大利文，1899年由馬洛特(Marotte)給出兩部分的法文譯文，而英文譯文直到1915年才由P．E．B．朱德因(Jourdain)作序出版． 在Ⅰ中，康托爾又一次給出了集合的抽象定義．集合M是能夠明確區(qū)分的思維或感知的對象m(稱為M的元素)的總體．十年前，康托爾在點(diǎn)集的領(lǐng)域內(nèi)，給集合以特定的內(nèi)涵．他曾寫道：“作為一個整體，集合指確定對象的這樣一種總體，其中的對象由某一法則聯(lián)結(jié)成一個整體．”這表明《超窮數(shù)的理論基礎(chǔ)》與《集合通論基礎(chǔ)》有很大不同． 在Ⅰ中，康托爾又一次給出了基數(shù)的定義．但他仍采用1887年引進(jìn)的記號．他還通過集合又一次定義了基數(shù)的加法和乘法運(yùn)算．為了定義基數(shù)的方冪，康托爾首先定義了什么叫覆蓋．引進(jìn)基數(shù)的方冪以后，康托爾得出：2 0=C．這里的C為連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)．他還得到 C·C=2 0·2 0=2 =C． 一般地，Cn=C，C 0=C． 這些公式表明，n維和一般 0維的連續(xù)統(tǒng)，同一維連續(xù)統(tǒng)有相同的基數(shù)．這樣，似乎連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題的解又有希望前進(jìn)一步．這些公式還可以用來更直接、更清晰地證實(shí)超窮數(shù)的一些數(shù)論性質(zhì)，從而也就進(jìn)一步證明了超窮數(shù)在數(shù)學(xué)上的合理性． 康托爾在Ⅰ中還討論了有窮基數(shù)．它可以通過兩種方式確定：或者通過相繼加1的歸納過程，或者與無窮集相反，將它作為不與自身真子集等價的集合的基數(shù)來確定． 作為一個整體，全體有窮基數(shù)N對于康托爾定義超窮數(shù)是必不可少的．N中的元素可以彼此區(qū)分，且每個基數(shù)都大于它前面所有的數(shù)而小于后面的每個數(shù)，任何兩個相鄰基數(shù)N和N+1之間不存在另一個基數(shù)．但是令人疑惑的是在Ⅰ中，康托爾沒有明確給出有窮數(shù)的定義．在簡單聲明了具有有窮基數(shù)的集合稱為有窮集合后，康托爾開始定義超窮集合及超窮基數(shù)．第一個超窮基數(shù)定義為全體有窮基數(shù)的集合的基數(shù)．他還感到用熟悉的希臘字母或羅馬字母表示超窮基數(shù)不合適，應(yīng)當(dāng)選擇一套獨(dú)特的記號．在選擇記號方面，康托爾一向很講究．他選第一個希伯來字母 0來表示第一個超窮基數(shù)，因?yàn)檫@個字母代表數(shù)1．此外它還代表一個新起點(diǎn)．康托爾確信超窮數(shù)理論標(biāo)志著數(shù)學(xué)的一個新起點(diǎn)． 康托爾對超窮基數(shù)新的解釋是值得注意的，在此之前，他從未把超窮基數(shù)等同于數(shù)．相反，他總是避免超窮基數(shù)也是數(shù)的暗示，對于最小的超窮序數(shù)，康托爾已用ω表示，但對于最小的超窮基數(shù)當(dāng)時還沒有適當(dāng)?shù)姆枺梢?，序?shù)的概念對康托爾集合論的早期發(fā)展較基數(shù)概念重要得多．正是序數(shù)的引進(jìn)，使得定義超窮基數(shù)成為可能．而且直到建立了超窮數(shù)類的序型，康托爾才精確定義大于最小超窮基數(shù)的所有超窮基數(shù)，并決定用 表示序型ω的基數(shù)．最后決定用 0表示第一個超窮基數(shù)時，已到了1895年． ?、竦淖詈笪逭拢低袪栂到y(tǒng)闡述了全序集的一般理論． 一個集合稱為全序的，如果它的元素可按某種規(guī)則排序，使得它的 接著又引進(jìn)序集M的序型概念：對每個全序集M，都相應(yīng)地存在一 其順序的特性而得出的一個一般概念． 康托爾進(jìn)一步指出，任給兩個全序集，如果具有相同的序型，它們總能以多種方式彼此映射；所有具有有窮和超窮序型的良序集，只允許有一種到相似集合的保序映射．這一結(jié)論提供了康托爾稱無窮良序集的序型為“超窮序數(shù)”，稱無窮集的基數(shù)為“超窮基數(shù)”的合理性．當(dāng)然這里有一個重要的區(qū)別，每個超窮基數(shù)并不與唯一的一個超窮序數(shù)相對應(yīng)． 為了建立各種序型的聯(lián)系，康托爾模仿《集合通論基礎(chǔ)》中的方法引進(jìn)了它們的運(yùn)算，還特別指出，序型運(yùn)算不滿足交換律．最后，康托爾總結(jié)了基數(shù)運(yùn)算和序數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系．特別有 成立．于是，所有關(guān)于序數(shù)的算術(shù)法則同樣適用于基數(shù)． 康托爾還證明了：如果一個全序集M滿足：(1) = 0；(2)M中無最大、最小元；(3)M是處處稠密的；則M的序型等于η， 康托爾在給出具有序型η的集合M的充要條件之后，想方設(shè)法地刻畫具有更高基數(shù)的全序集的序型，特別是連續(xù)統(tǒng)的序型．但沒有得出新結(jié)果．只是在Ⅰ的最后一章里，才對這一問題作了分析，嚴(yán)格闡明了一般連續(xù)域的性質(zhì)．他對序型的一般研究得出了有關(guān)連續(xù)性的新見解，還引進(jìn)了基本序列極限元的概念． 10．良序集的理論 《超窮數(shù)理論基礎(chǔ)》Ⅱ，主要介紹無窮序數(shù)和無窮基數(shù)理論．無窮基數(shù)從 0擴(kuò)展到第一個不可數(shù)的無窮 1，闡述了良序集的特殊理論，定義了第二數(shù)類的基數(shù)，還研究了超窮算術(shù)．但連續(xù)統(tǒng)假設(shè)以及每個超窮基數(shù)是否都可比較等問題，仍未得到徹底解決． 在《集合通論基礎(chǔ)》中，康托爾已經(jīng)認(rèn)識到良序集對于超窮數(shù)理論的重要，因?yàn)樗鼈兊男蛐蜆?gòu)成了有窮和無窮序數(shù)．因此在Ⅱ中，他系統(tǒng)地闡述了良序集理論的基本知識．特別是與無窮集合相對應(yīng)的無窮序數(shù)和無窮基數(shù)的理論． 在Ⅱ中，一個良序集是建立在全序集的基礎(chǔ)上的．同時，給出了序數(shù)的一個良序序列： 1，2，3，…，ω，ω+1，…，2ω，…，nω，…，ω2，…， ωω，…ωωω，…． 為了能夠給出一個較以前的文章中更好的基數(shù)定義，康托爾擴(kuò)充了 算與Ⅰ中全序集序型的運(yùn)算相同． 在Ⅱ的最后幾章里，康托爾更詳細(xì)地討論了第二數(shù)類的序數(shù)以及它們的運(yùn)算性質(zhì)．他還把超窮數(shù)理論建立在序型的基礎(chǔ)之上，這與他以前的處理方法不同．因?yàn)檫@里的生成原則，可以用來產(chǎn)生更高階的超窮序數(shù)類．為了將有窮指數(shù)的方冪擴(kuò)充到超窮方冪，還引進(jìn)了包括ωω這種超窮數(shù)的運(yùn)算．為此，康托爾建立了超窮歸納法，并通過超窮歸納法得到了超窮序數(shù)方冪的一些重要結(jié)果． 11．關(guān)于實(shí)無窮 由于康托爾的集合論是以無窮集為研究對象的，從而肯定了作為完成整體的實(shí)無窮．為此，他遭到了一些數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家的批評和攻擊．為解決一些理論問題，也為了答復(fù)這些人的批評和攻擊，康托爾作了大量的工作．他的《關(guān)于無窮線性點(diǎn)集(5)》不單純是對于新的超窮集合論的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)闡述，也第一次公開地為實(shí)無窮這一受到大多數(shù)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和神學(xué)家長期反對的概念提供了辯護(hù)．它的目的之一就是論證這種對實(shí)無窮的反對是毫無根據(jù)的．他在給瑞典數(shù)學(xué)家、歷史學(xué)家G．埃斯特姆(Enestir m)的信中寫道：“正像每個特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結(jié)論：所有反對實(shí)無窮數(shù)的可能性的所謂證明都是站不住腳的．他們從一開始就期望無窮數(shù)具有有窮數(shù)的所有特性，或者甚至把有窮數(shù)的性質(zhì)強(qiáng)加到無窮數(shù)上．與此相反，如果我們能夠以任何方式理解無窮數(shù)的話，倒是由于它們(就其與有窮數(shù)的對立而言)構(gòu)成了全新的一個數(shù)類，它們的性質(zhì)完全依賴于事物本身．這是研究的對象，而不屬于我們的主觀臆想和偏見．”康托爾有關(guān)實(shí)無窮的觀點(diǎn)包括以下三個方面． (1)數(shù)學(xué)理論必須肯定實(shí)無窮 康托爾指出：在數(shù)學(xué)中要完全排斥實(shí)無窮的概念是不可能的，實(shí)無窮必須肯定．因?yàn)楹芏嘧罨镜臄?shù)學(xué)概念，如一切正整數(shù)，圓周上的一切點(diǎn)等等，事實(shí)上都是實(shí)無窮性的概念；關(guān)于極限理論，康托爾指出：它是建立在實(shí)數(shù)理論之上的，而實(shí)數(shù)理論的建立(無理數(shù)的引進(jìn))又必須以這樣或那樣的實(shí)無窮的概念為基礎(chǔ)，例如，戴德金分割和康托爾的基本序列都是一種實(shí)無窮的概念．極限理論事實(shí)上也是建立在實(shí)無窮的概念之上；因此，承認(rèn)作為變量的潛無窮，就必須承認(rèn)實(shí)無窮．變量如能取無窮多個值，就必須有一個預(yù)先給定的、不能再變的取值“域”，而這個域就是一個實(shí)無窮．康托爾又指出，數(shù)學(xué)證明中應(yīng)用實(shí)無窮(無窮集合)由來已久，并且也是不可避免的．后來的數(shù)學(xué)家們，如J．L．拉格朗日(Lagrange)、A．M．勒讓德(Legendre)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、柯西、魏爾斯特拉斯、B．波爾察諾(Bolzano)等人在證明中都使用過．康托爾還舉出一個復(fù)雜證明的例子([8]，pp．210—212)：假設(shè)把一無窮點(diǎn)集分為有窮個子集，其中必有一個為無窮集． 出于對數(shù)學(xué)研究的實(shí)際需要，康托爾對無窮集合進(jìn)行了數(shù)量研究，實(shí)無窮的概念就成了數(shù)學(xué)的研究對象．康托爾在他1883年的一篇論文里說，把無窮大不只是作為無窮增長的量，而是以完成的無窮的形式，數(shù)學(xué)地通過數(shù)量來確定下來，這種思想“我是經(jīng)過多年科學(xué)上的努力，幾乎違背我的意愿……，邏輯地被迫承認(rèn)的”． (2)不能把有窮所具有的性質(zhì)強(qiáng)加于無窮 無窮有其固有的本質(zhì)．盡管康托爾對無窮集合的研究出于數(shù)學(xué)研究的實(shí)際需要，但是他仍然面臨著怎樣對這種研究的合理性作出說明的問題．尤其重要的是，他必須對歷史上提出的各種關(guān)于“實(shí)無窮不能成為數(shù)學(xué)的研究對象”的“論證”作出合理的解釋． 1874年，康托爾在這方面邁出了關(guān)鍵性的一步．他提出了“一一對應(yīng)”原則：如果在兩個集合的元素之間能建立一一對應(yīng)，就說這兩個集合具有相同的基數(shù)，即在數(shù)量上被認(rèn)為相等．這個原則構(gòu)成了對傳統(tǒng)的“整體大于部分”觀念的直接否定．然而，在康托爾以前，由于這一觀念的束縛，使很多數(shù)學(xué)家認(rèn)為實(shí)無窮性的概念不能成為數(shù)學(xué)的研究對象；現(xiàn)在，康托爾則大膽地沖破了這一思想桎梏，并由此發(fā)展出一套關(guān)于無窮集合的數(shù)學(xué)理論——超窮數(shù)理論．對此，康托爾解釋說：“兩個集合，其中的一個是另一個的部分，而又具有相同的基數(shù)，這是經(jīng)常會出現(xiàn)的，而且也沒有什么矛盾．我認(rèn)為，正是由于對這一事實(shí)缺乏認(rèn)識，才形成了關(guān)于超窮數(shù)引進(jìn)的主要障礙．”([17]，p．75) 為了更清楚地說明自己的研究工作的合理性，康托爾還曾對各種相反意見的錯誤根源進(jìn)行分析，認(rèn)為一切關(guān)于“實(shí)無窮不可能”的所謂證明都是錯誤的． (3)有窮的認(rèn)識能力可以認(rèn)識無窮 康托爾在《關(guān)于無窮線性點(diǎn)集(5)》里還討論了J．洛克(Locke)、B．斯賓諾莎(Spin-oza)和G．W．萊布尼茨(Leibniz)的觀點(diǎn)．他認(rèn)為，這些人的思想雖有很多不同之處，但在無窮問題上，一致認(rèn)為：“有窮性是數(shù)的概念的一部分；另一方面，真正的無窮，那就是上帝，是不允許有任何規(guī)定的．”反對實(shí)無窮的人還有一個理由是，人類認(rèn)識能力是有限的，所以形成的數(shù)量只限于有窮． 康托爾認(rèn)為，人的認(rèn)識能力雖然有限，卻可以認(rèn)識無窮．無窮和有窮一樣，是可以“通過確定的、明確的、彼此不同的數(shù)量”來表達(dá)和理解的．在一定意義下，也可以說人們有“無限的才能”，一步一步地去形成更大的數(shù)類或集合，去形成一個比一個更強(qiáng)的基數(shù)． 康托爾還強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)的無窮與哲學(xué)的及神學(xué)的無窮不同．超窮數(shù)可以增添，這是數(shù)學(xué)的無窮，與宗教和上帝無關(guān)．哲學(xué)上的絕對與神學(xué)上的上帝都不能被規(guī)定，“一切規(guī)定都是否定”，因之也不能增添．他又說，人們可以有堅定的信念必然能夠認(rèn)識那“絕對的存在”．([10]，p．280) 12．柏拉圖主義的觀點(diǎn) 為了證明超窮數(shù)理論的“合法性”，康托爾也從事過關(guān)于超窮數(shù)的客觀實(shí)在性的分析．康托爾指出：跟有窮數(shù)一樣，超窮數(shù)也是從真實(shí)的集合中抽象出來的——這突出地表現(xiàn)在康托爾所給出的關(guān)于集合的基數(shù)和序數(shù)的定義上，集合的基數(shù)是兩次抽象的結(jié)果：一次是從對象中抽去它們所具有的質(zhì)的特性，另一次則是抽去在對象之間所存在的次序關(guān)系；(良序)集合的序數(shù)則是一次抽象的結(jié)果，即是從對象中抽去了它們所具有的質(zhì)的特性．因此，和有窮數(shù)一樣，超窮數(shù)也具有同樣的客觀實(shí)在性，它們的存在在物理世界的時空中，以及具體事物的無限性中有著自然的反映．?dāng)?shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它與經(jīng)驗(yàn)世界的聯(lián)系，而在于數(shù)學(xué)思維的自由性． 為了說明數(shù)學(xué)思想的自由性，康托爾引進(jìn)了“兩種真實(shí)性”的概念并對它們之間的關(guān)系進(jìn)行了分析，首先，他指出數(shù)學(xué)對象具有兩種真實(shí)性：“內(nèi)在真實(shí)性”和“外部真實(shí)性”．其中，“內(nèi)在真實(shí)性”主要是指數(shù)學(xué)對象在邏輯上的相容性，“外部真實(shí)性”是指數(shù)學(xué)對象所具有的客觀實(shí)在性，即“應(yīng)把數(shù)看成是對于外在于我們智力世界的事物和關(guān)系的一種表述和描述”．其次，康托爾認(rèn)為這兩種真實(shí)性事實(shí)上是一致的：一個概念如果具有內(nèi)在真實(shí)性就必然具有外部真實(shí)性．因此，對數(shù)學(xué)家來說，就只需考慮數(shù)學(xué)對象的內(nèi)在真實(shí)性、即邏輯上的相容性，而無須考慮它們的客觀內(nèi)容．在康托爾看來，在數(shù)學(xué)對象的“創(chuàng)造”中，數(shù)學(xué)家們就具有了充分的“自由性”．康托爾寫道：“數(shù)學(xué)在它自身的發(fā)展中完全是自由的，對它的概念的限制只在于：必須是無矛眉的并且和先前由確切定義引進(jìn)的概念相協(xié)調(diào)．……數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的自由性．” 但是，究竟應(yīng)當(dāng)怎樣來認(rèn)識超窮數(shù)和無窮集合的客觀實(shí)在性呢？為了解決這一問題，康托爾最后倒向了神學(xué)．他在1895年致法國數(shù)學(xué)家C．埃爾米特(Hermite)的信中，明確表達(dá)了這種思想．他說，數(shù)學(xué)對象的實(shí)在性并不在于真實(shí)世界，而是存在于上帝的無窮的智慧之中；數(shù)學(xué)對象的內(nèi)在真實(shí)性、即邏輯上的相容性保證了這種對象的“可能性”，而上帝的絕對無限的本性則保證了這種“可能的對象”在上帝思維中的永恒存在．此外，康托爾還談到，他的集合論就是直接淵源于神的啟示的．其實(shí)，早在1869年，即康托爾剛剛開始學(xué)術(shù)生涯的時候，他就已經(jīng)建立了這種神學(xué)的觀念．正如J．W．道本(Dauben)所言：“這是一種強(qiáng)烈的柏拉圖主義思想，而康托爾則不斷由此而取得支持．”也就是說，正是柏拉圖主義的哲學(xué)立場為康托爾提供了從事集合論、特別是超窮數(shù)理論的研究的信心和勇氣． 1886年，德國的哲學(xué)家和神學(xué)家C．哥德伯累特(Gutberlet)發(fā)表了一篇文章．其中援引了康托爾的集合論來為他自己關(guān)于無窮的哲學(xué)和神學(xué)性質(zhì)的觀點(diǎn)進(jìn)行辯護(hù)．他主要關(guān)注的是數(shù)學(xué)的無窮對于上帝獨(dú)有的絕對無窮本性的挑戰(zhàn)．他和康托爾還就這個問題通了幾次信．哥德伯累特的許多思想，激起了康托爾去研究超窮數(shù)理論的神學(xué)意義．康托爾斷言，超窮數(shù)并沒有削弱上帝的無窮本性．恰恰相反，正是超窮數(shù)使之更加至高無尚了． 當(dāng)時，天主教的學(xué)者們所關(guān)心的一個主要問題是，超窮數(shù)究竟是一種“可能”的存在，還是一種“真實(shí)”的存在．康托爾認(rèn)為可以通過區(qū)分兩種不同類型的無窮來消除神學(xué)家們對于真實(shí)的、具體的無窮的懷疑．1886年1月他在給哥德伯累特的老師J．弗蘭西林(Franzelin)的一封信中指出，除了“可能的”與“真實(shí)的”區(qū)分之外，我們還應(yīng)注意絕對的無窮與真實(shí)的無窮的區(qū)分：前者是上帝特有的，后者則是見諸于上帝創(chuàng)造的世界，并以宇宙中對象的實(shí)無窮數(shù)為其典范．康托爾認(rèn)為超窮的真實(shí)存在正是上帝的無窮性存在的反映．他還發(fā)起了關(guān)于超窮的真實(shí)存在的兩種論證．一種是先驗(yàn)的，認(rèn)為可由上帝的概念直接導(dǎo)出超窮數(shù)創(chuàng)立的可能性和必要性；另一則是后驗(yàn)的，認(rèn)為僅僅依靠有窮的假定不可能對自然現(xiàn)象作出充分解釋．不管怎樣，康托爾認(rèn)為他已經(jīng)證明了接受真實(shí)存在的超窮的必然性，而在這種論證中，康托爾毫不猶豫地求助于上帝．他還聲稱，自己并非超窮數(shù)理論的創(chuàng)造者，而只是一個記錄者：是上帝給他以啟示，他所做的僅僅是組織和表述的工作．康托爾認(rèn)為這是他的一種神圣職責(zé)，即以上帝所恩賜的知識去防止教會在無窮性質(zhì)的信條上所可能發(fā)生的錯誤． 13．集合論悖論 在康托爾集合論中有沒有悖論呢？在19世紀(jì)末，雖然有些數(shù)學(xué)家反對康托爾集合論中研究無窮集合這樣的對象，對他的無窮推理過程表示懷疑，但又找不出毛病來．康托爾深信他的工作是正確的．可是后來卻發(fā)現(xiàn)，康托爾的超窮數(shù)理論包含著矛盾．這就是布瑞利-福蒂(Burali-Forti)的最大序數(shù)悖論和康托爾的最大基數(shù)悖論．后來，康托爾又發(fā)現(xiàn)了更簡單、更基本的集合論悖論，這一悖論就叫康托爾悖論．它說：假 是一集合的集合，它必定是一切集合的集合S的一部分．由此可得： 布瑞利-福蒂悖論的構(gòu)造與康托爾悖論是十分相似的．當(dāng)時因?yàn)檫@兩者牽涉到序數(shù)和基數(shù)這樣較為復(fù)雜的理論．人們還認(rèn)為，是由于在其中某些環(huán)節(jié)處不小心地引入一些錯誤所致，所以沒有引起大家的注意．1902年，B．羅素(Russell)在集合論中發(fā)現(xiàn)了一個悖論，這個悖論是從集合的基本概念著手，論證方法又和康托爾的著名定理中所用的方法相類似． “羅素先生發(fā)現(xiàn)的一個矛盾現(xiàn)在可以陳述如下：沒有一個人想要斷定人的類是一個人．這里我們有一個不屬于自身的類．當(dāng)某物歸屬于以一個類為其外延的概念時，我就說它屬于這個類．現(xiàn)在讓我們集中注意這個概念：不屬于自身的類．因此這個概念的外延(如果我們可以談?wù)撍耐庋拥脑?就是，不屬于自身的那些類構(gòu)成的類．為簡短起見，我們稱它為類K．現(xiàn)在讓我們問，這個類K是不是屬于自身．首先，讓我們假定它屬于自身．如果一個東西屬于一個類，那么它就歸屬于以這個類為其外延的概念．這樣，如果類K屬于自身，那么它就是一個不屬于自身的類．因此我們的第一個假定導(dǎo)致自相矛盾．第二，讓我們假定類K不屬于自身，這樣它就歸屬于以自身為其外延的概念，因此就屬于自身．這里我們又一次得到同樣的矛盾．”([13]，p．808)這就是著名的羅素悖論．在當(dāng)時，它曾引起了某些大數(shù)學(xué)家的極大震動． 對于悖論，康托爾曾表示過這種意見，即認(rèn)為集合論悖論出現(xiàn)的原因在于使用了太大的集合．康托爾指出：我們應(yīng)把集合區(qū)分成相容的和不相容的，后者因太大不能看成是“一”，而必須看成是“多”．這也就是說，不能把太大的集合看成是一種真正的集合．他說：“對于多來說，那種把其所有元素聯(lián)合起來的假設(shè)可能導(dǎo)致矛盾．因此，不能把多看成是一種‘完成了的對象’，這種多我稱之為絕對無限或不協(xié)調(diào)的多．”([15]，p．214) 由于嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論和極限理論都是以集合論為基礎(chǔ)的，因而，集合論悖論導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的第三次“危機(jī)”． 最后，我們引用幾位大數(shù)學(xué)家對康托爾的評論作為本文的結(jié)尾．1926年，希爾伯特稱康托爾提出的超窮數(shù)理論，是“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現(xiàn)之一”，“數(shù)學(xué)精神最令人驚羨的花朵，人類理智活動最漂亮的成果”．羅素把康托爾的工作描述為“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作”．蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家A．N．科爾莫戈洛夫(Kolmogorov)說過：“康托爾的不朽功績，在他敢于向無窮大冒險邁進(jìn)，他對似是而非之論、流行的成見，哲學(xué)的教條等作了長期不懈的斗爭，由此使他成為一門新學(xué)科的創(chuàng)造者．這門學(xué)科(指集合論)今天已經(jīng)成了整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．” |
|
|
