野路子教你秒懂“算術平均值”和“幾何平均值”

小波H 2023-08-18 發(fā)布于云南

展開全文

希望大家看完文章多點“在看”，喜歡的話也點個“分享”和“贊”

這樣米球的文章推送才能經(jīng)常出現(xiàn)在你的訂閱列表里

而且，你們的支持才是我繼續(xù)將這個公眾號做下去的動力~

最近上課講到一個小知識點 - 費雪指數(shù)（Fisher's Index）。這個指數(shù)是美國統(tǒng)計學家歐文·費雪（Irving·Fisher）在1911年，為了調和拉氏價格指數(shù)（Laspeyre Price Index）和派氏價格指數(shù)（Paasche Price Index）而提出的。

上圖為Irving Fisher

簡單提一句，因為拉氏價格指數(shù)的計算是參考基期年的生活習慣，而派氏指數(shù)的計算是參考當下的生活習慣，而無論是基期年還是當下年份，我們的生活習慣都是會發(fā)生變化的，這就導致了拉氏價格指數(shù)往往要比理想生活成本指數(shù)要大，相反地，帕氏價格指數(shù)要比理想生活成本指數(shù)來的小。

這時候，費雪就琢磨著，既然一個偏大，一個偏小，那我一平均，不就理想了？！

但是，問題就出在這個平均上。費雪指數(shù)用的是拉氏指數(shù)和派氏指數(shù)的幾何平均數(shù)（即Geometric Average），而非我們傳統(tǒng)意識里的算術平均數(shù)（Arithmetic Average）。這是為什么呢？當時就有學生提出了這個問題，而這也是很多小伙伴有所疑惑的地方。

上圖為費雪指數(shù)計算公式

那么，今天這篇文章，米球叔就用最野路子的大白話，給大家解釋一下幾何平均數(shù)和算術平均數(shù)的不同。

======正文開始======

首先需要明確的是，不管是幾何平均數(shù)還是算術平均數(shù)，其實都是一種計算平均水平的統(tǒng)計方法，即計算平均數(shù)的一種方式而已。之所以計算方法有差別，只是因為數(shù)據(jù)類型不同所導致的。

PS：平均數(shù)家族很龐大哦，主要會有下圖這些類別。但是今天這篇文章就不一一贅述了，Only focus在算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)上。

其次，我們需要再明確一下平均數(shù)的意義。

“平均數(shù)，統(tǒng)計學術語，是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)。它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標，其關鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對應的總份數(shù)。

上面這句話的潛臺詞就是，無論哪一種平均數(shù)，這個平均數(shù)都可以將原數(shù)列中的每一項進行等效替換，從而使得由平均數(shù)所組成的新數(shù)列在結果上與舊數(shù)列無異。

如果還不明白，我就用最簡單的算術平均舉個例子。

有A和B兩個人參加考試，考試成績分別是80分和90分。這就形成了一個數(shù)列{A, B}，這個數(shù)列的總分就是80+90=170。

這兩個人的平均分，就是 (80+90)/2=85。這個平均分就形成了一個新的數(shù)列為{85, 85}。顯而易見，這個新數(shù)列的總分也是170（85+85=170）。

這就叫等效數(shù)列。

======分割線======

當我們了解了平均數(shù)及其意義后，接下來我們就來解釋究竟什么時候應該用算術平均數(shù)，什么時候要用幾何平均數(shù)。

PS：怎么文章寫得好好的，突然想吃三文魚了呢？好吧好吧，那我就用三文魚來舉例吧！

題目條件如下：

第0天，我是一個漁夫，自掏腰包，買了100塊錢的三文魚，拿到市場上去賣；
第1天，三文魚非常好賣，我以150元的現(xiàn)金價格出售了所有的三文魚。我一看三文魚如此暢銷，于是我將150元再次進貨了三文魚
第2天，天有不測風云，這一天的三文魚居然滯銷了，我只能打折銷售，三文魚只能賣到70元。至此，我不再做三文魚生意了。

問題：這2天里，我的平均利潤是多少呢？

我相信一定很多小伙伴在這里會非常的不屑一顧，覺得我在侮辱智商。確實，這道題太簡單了，不就是 (50+-80)/2=-15嘛？！

對，沒錯，確實是這樣計算的。但是，不知道有多少小伙伴考慮過，為什么這里的；平均利潤用的是算術平均，而非幾何平均呢？

我們就用剛剛提到的“等效數(shù)列”這個概念來解釋這個問題。

我2天賣三文魚的利潤為：

第一天的利潤為150-100=50元
第二天的利潤為70-100=-80元

那么，這2天的資產(chǎn)負債表實際變化將如下所示：

另一方面，通過算術平均計算平均利潤為-15元，其意義為2天里，每天虧損15元。因此，按照算術平均值的說法，所有者權益在這2天里的變化情況將如下所示：

算術平均值下的數(shù)列{-15, -15}所產(chǎn)生的效果和題目中的情況完全一致，即所有者權益在2天后為70元。換句話說，第1天賺50元且第2天虧80元，和兩天都虧了15元等效。

這種等效，如果你用幾何平均數(shù)來計算平均利潤是達不到的。

那什么時候用幾何平均值來計算呢？

問題：這2天里，我的所有者權益平均變化是多少？

第1天的所有者權益變化為從100元上升至150元，即150/100=1.5倍；第2天的所有者權益變化為從150元下降到了70元，即70/150=0.466667倍。

如果我們繼續(xù)用算術平均來計算平均變化倍數(shù)，即(1.5+0.466667)/2=0.983333倍。很明顯，這并不等效，因為100*0.98333*0.98333≠70。

其實，面對求平均變化倍數(shù)這樣的問題，我們應該用幾何平均數(shù)來計算，即(1.5+0.466667)^(1/2)=0.83666倍。這樣的話，100*0.83666*0.83666=70，就等效了。無論是題目中的情形，還是幾何平均值下的數(shù)列，都使得所有者權益在2天后為70元。換句話說，換句話說，第1天本金變動1.5倍且第2天變動0.466667倍，和兩天變動都是0.83666倍等效。

======做個小總結======

根據(jù)上面這個例子，不知道小伙伴們感受到?jīng)]有，當數(shù)據(jù)的最終結果是通過加總得來的，那就應該用算術平均；而當數(shù)據(jù)的最終結果是通過乘積得來的，尤其是變化倍數(shù)、增長率這些，那用幾何平均顯然更合適。

PS：如果是計算平均增長率的話，要記得需要將公式適當變形哦！

所以，現(xiàn)在弄懂什么情況下用“算術平均值”，什么情況下用“幾何平均值”了嘛？弄懂的話，記得點點“贊+在看+轉發(fā)”哦！