考慮一個(gè)往返行程案例：上海到青島距離750km，從青島開(kāi)車(chē)到上海，順暢不堵車(chē)，速度100km/h；然后從上海返回青島時(shí)，因?yàn)槎萝?chē)，速度為20km/h。那么往返行程的平均速度是多少？

圖1 往返行程示例

是將往返速度分別相加后除以2嗎？也就是100km/h加上20km/h后除以2，平均速度是60km/h嗎？

我們換一種計(jì)算方式來(lái)看看：

可以發(fā)現(xiàn)，后者計(jì)算出來(lái)的33km/h平均速度比之前的60km/h要低不少。

根本原因在于平均速度是一個(gè)比值，分子和分母都是獨(dú)立變量（分子是行程距離，而分母是時(shí)間）。后面的計(jì)算方式將這兩個(gè)獨(dú)立變量分開(kāi)，分別相加（分子是總行程，分母是總時(shí)間），然后再相除形成一個(gè)比值，這樣計(jì)算出來(lái)的平均值才是正確的。

其實(shí)，沒(méi)有一種數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做“平均”，我們通常所說(shuō)的平均值是“算術(shù)平均值”，即上述第一種運(yùn)算方式（60km/h）。之所以稱為“平均值”，是因?yàn)槲覀兿Ｍ?“平均”的定義：“一般水平”或“中間值”。更專(zhuān)業(yè)地說(shuō)，“平均值”也就是“中心趨勢(shì)”（Central Tendency）或“位置度量”（Measures of Location）。

在數(shù)學(xué)上，計(jì)算平均值的經(jīng)典方法有三個(gè)，分別是：算數(shù)平均值（AM-Arithmetic Mean），幾何平均值（GM-Geometric Mean）和調(diào)和平均值（HM-Harmonic Mean）。他們也被稱為是畢達(dá)哥拉斯平均值（Pythagorean means）（畢達(dá)哥拉斯和后世希臘數(shù)學(xué)家研究了三者的比例關(guān)系，而以此命名）。

為了了解它們的基本功能，讓我們從熟悉的算術(shù)平均值開(kāi)始。

通過(guò)將數(shù)據(jù)集中的所有數(shù)值相加，然后除以數(shù)據(jù)集中數(shù)值的個(gè)數(shù)就可以得到算術(shù)平均值。

之所以要除以數(shù)值的個(gè)數(shù)，也是為了將數(shù)值相加的總和降低到和原始數(shù)據(jù)集數(shù)值維度相同的水平。

比如：1，4，10 三個(gè)數(shù)字

算術(shù)平均值=（1+4+30）÷3=5

當(dāng)數(shù)據(jù)之間存在加法關(guān)系時(shí)，算術(shù)平均值可以很好地生成數(shù)據(jù)集的“平均”數(shù)。這種關(guān)系通常被稱為“線性”，因?yàn)楫?dāng)以升序或降序繪圖時(shí)，數(shù)字往往落在一條直線上或附近。下圖就是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性案例，數(shù)據(jù)集中每個(gè)數(shù)字都是通過(guò)在前一個(gè)數(shù)字上加3而產(chǎn)生:1，4，7，10，13，16，19…

這時(shí)候用算術(shù)平均值方法計(jì)算出的值（1+4+7+10+13+16+19）÷7=10，恰好是一個(gè)合理的中間值。

但并非所有數(shù)據(jù)集都能用這種關(guān)系來(lái)描述。有些數(shù)據(jù)集是乘法或指數(shù)關(guān)系，例如，如果我們將每個(gè)連續(xù)數(shù)字乘以3的話：1，3，9，27，81，243，729…

這時(shí)候用算術(shù)平均值方法計(jì)算出的值156.1就不能很好地代表平均值，實(shí)際上，它是中位數(shù)（中間數(shù)）也就是27的5倍多。

那應(yīng)該如何計(jì)算平均值呢？

接下來(lái)就和大家介紹一種新的方法：

由于數(shù)值是倍數(shù)/乘數(shù)關(guān)系，為了求平均值，需要將所有的數(shù)字相乘而不是相加。然后，為了將乘積重新縮放到原始數(shù)據(jù)集維度范圍，我們必須再取根，而不是簡(jiǎn)單地相除。

所以，上述數(shù)據(jù)集1，3，9，27，81，243，729…的幾何平均數(shù)=

在這種情況下，我們的幾何平均值與數(shù)據(jù)集的中間值完全重合！

注意：幾何平均值并不總是等于中值，只有在所有數(shù)字之間存在完全一致的乘法關(guān)系的情況下（例如，將之前的每個(gè)數(shù)字乘以3）。真實(shí)世界的數(shù)據(jù)集很少包含這樣的精確關(guān)系，但對(duì)于那些近似這種乘法關(guān)系的數(shù)據(jù)集，幾何平均值將給出比算術(shù)平均值更接近的“中間數(shù)”。

事實(shí)證明，幾何平均值有許多實(shí)際用途，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)世界中存在大量乘法關(guān)系。比如：

金融中的利息計(jì)算（包含復(fù)利）

假設(shè)我們有100000元，在5年內(nèi)每年產(chǎn)生不同的利率：

年利率：1%、9%、6%、2%、15%

第1年：100000+(100000*.01)=101000元

第2年：101000*1.09=110090元

第3年：110090*1.06=116695.40元

第4年：116695.40*1.02=119029.31元

第5年：119029.31*1.15=136883.70元

如果用算術(shù)平均值計(jì)算：平均年利率=（1%+9%+6%+2%+15%）÷5=6.6%

用平均年利率來(lái)計(jì)算總收益（包含復(fù)利）=

100000+100000*（1.066?）=137653.11

算術(shù)平均值將我們的實(shí)際收入高估了近1000元。這里我們犯了一個(gè)常見(jiàn)的錯(cuò)誤：我們對(duì)乘法過(guò)程應(yīng)用了加法運(yùn)算，結(jié)果就不會(huì)準(zhǔn)確。

現(xiàn)在我們?cè)僭囋噹缀纹骄担?/p>

年利率平均值=

將利率的幾何平均值代入復(fù)利公式：

賺取的總利息=100000元*（1.0648? - 1) = 36883.70

利息+本金=36883.70元+100000元=136883.70元

最終總額=136883.70元，與第一步計(jì)算的結(jié)果完全相同！

注解：我們必須在幾何平均值計(jì)算中使用（1+年利率）作為輸入，是因?yàn)閷?shí)際情況下，（1+年利率）才是乘法算子：本金乘以（1+年利率）來(lái)計(jì)算每個(gè)時(shí)期的金額。這樣做還有一個(gè)額外好處，即使存在負(fù)利率和0利率，也可以避免無(wú)法計(jì)算的情況。

更進(jìn)一步說(shuō)，在計(jì)算類(lèi)似利率這種百分比數(shù)值的幾何平均數(shù)時(shí)，一般需要將百分比轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制乘數(shù)。如果數(shù)據(jù)集以百分比的形式增加或減少，請(qǐng)避免在幾何平均值中直接使用百分比值，因?yàn)樗鼤?huì)扭曲最終結(jié)果。

如果百分比是增加的，一般加上1。如果百分比減少，則從1中減去百分比（也可以認(rèn)為是1+負(fù)百分比）。

比如：一個(gè)數(shù)據(jù)值先增加10%，然后下降3%。

10%轉(zhuǎn)換為：1+10%=1+0.1=1.1

5%轉(zhuǎn)換為：1-3%=1+(-3%)=1-0.03=0.97

幾何平均值=

最后，將1.03減去1，將數(shù)值轉(zhuǎn)換回百分比，得出總值增加3%。

另外，幾何平均值的一大特點(diǎn)是：可以在完全不同的尺度上對(duì)數(shù)字進(jìn)行平均。

比如：我們想比較使用兩個(gè)不同評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的兩家咖啡店的在線評(píng)分。其中一種使用5分制來(lái)評(píng)價(jià)，而另一種則使用100分制。

咖啡店A

評(píng)級(jí)1：4.5

評(píng)級(jí)2：68

咖啡店B

評(píng)級(jí)1：3

評(píng)級(jí)2：75

如果我們天真地計(jì)算每個(gè)咖啡店的原始評(píng)分的算術(shù)平均值：

咖啡店A=（4.5+68）÷2=36.25

咖啡店B=（3+75）÷2=39

我們的結(jié)論是咖啡店B是贏家。

其實(shí)，在用算術(shù)平均值求平均值之前，必須要將數(shù)值歸一化到相同的尺度上，才能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，我們將評(píng)級(jí)1乘以20，將其從5分制提升到100分制的標(biāo)準(zhǔn)：

咖啡店A

4.5 * 20 = 90

(90 + 68) ÷ 2 = 79

咖啡店B

3 * 20 = 60

(60 + 75) ÷ 2 = 67.5

因此，我們發(fā)現(xiàn)咖啡店A才是真正贏家，與上述算術(shù)平均值結(jié)論完全相反。

然而，幾何平均值允許我們得出相同的結(jié)論，而不必?fù)?dān)心尺度或度量單位：

咖啡店A=（4.5*68）的平方根=17.5

咖啡店B=（3*75）的平方根=15

通過(guò)上述例子可以發(fā)現(xiàn)：算術(shù)平均值由更大范圍的數(shù)字主導(dǎo)，這使我們認(rèn)為咖啡店B是評(píng)級(jí)較高的商店。這是因?yàn)樗阈g(shù)平均值是數(shù)字之間的加法關(guān)系，而不考慮比例和尺度。因此，在應(yīng)用算術(shù)平均值之前，需要將數(shù)字放在相同的尺度上。

另一方面，由于幾何平均值的乘法性質(zhì)，它可以輕松地處理不同的比例關(guān)系。這是一個(gè)非常有用的特性，但同時(shí)我們丟失了尺度標(biāo)準(zhǔn)。在這種情況下，幾何平均值實(shí)際上是無(wú)單位的。

也就是說(shuō)，上面的幾何平均值不是100分制中的17.5，也不是5分制中的15。它們只是無(wú)單位的數(shù)字，彼此成相對(duì)比例。（從技術(shù)上講，它們的尺度是原始尺度5和100的幾何平均值，即22.361）。

與生活中的大多數(shù)事情一樣，應(yīng)用幾何平均值幾乎沒(méi)有鐵板釘釘?shù)囊?guī)則（除了復(fù)利和類(lèi)似的事情）。雖然有一些經(jīng)驗(yàn)法則，但最終還是需要科學(xué)判斷。

現(xiàn)在讓我們來(lái)介紹一下我們最后一種畢達(dá)哥拉斯平均值：

算術(shù)平均值需要加法，幾何平均值使用乘法，而調(diào)和平均值使用倒數(shù)。調(diào)和平均值可以用文字描述為：數(shù)據(jù)集倒數(shù)的算術(shù)平均值的倒數(shù)。聽(tīng)起來(lái)確實(shí)有些拗口，但實(shí)際上只是幾個(gè)簡(jiǎn)單的步驟：

1. 取數(shù)據(jù)集中所有數(shù)字的倒數(shù)

2. 找出這些倒數(shù)的算術(shù)平均值

3. 取這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

為什么要取倒數(shù)，這樣做有什么好處呢？

要回答這個(gè)問(wèn)題，我們必須先了解：倒數(shù)有什么好處？

由于倒數(shù)和所有除法一樣，只是變相的乘法（而乘法本質(zhì)上只是變相的加法），倒數(shù)可以幫助我們更容易地除以分?jǐn)?shù)。例如，5÷3/7是多少？只需要將5乘以7/3（3/7的倒數(shù)）就可以解決這個(gè)問(wèn)題：

5 ÷ 3/7 = 5/1 * 7/3 = 35/3 = 11 2/3 = 11.66667

但一種等效的方法是將數(shù)字5和3/7換算成一個(gè)公分母，然后按正常方式進(jìn)行除法：

5/1 ÷ 3/7 = 35/7 ÷ 3/7 = 35 ÷ 3 = 11 2/3 = 11.66667

同樣，類(lèi)似于使用幾何平均值作為乘法或非線性關(guān)系下的計(jì)算平均值方法（見(jiàn)上文），調(diào)和平均值幫助我們找到分?jǐn)?shù)之間的乘法/除數(shù)關(guān)系，而不必?fù)?dān)心公共分母。

因此，調(diào)和平均值自然適應(yīng)幾何平均值上的另一層乘法/除法。因此，在處理不同長(zhǎng)度或時(shí)期的利率或比率（即分?jǐn)?shù)）數(shù)據(jù)集時(shí)，它很有用。

就像文章開(kāi)頭所提的行程往返問(wèn)題，就可以用調(diào)和平均值來(lái)計(jì)算。

比如：從青島到上海速度的倒數(shù)是1/100，上海到青島速度的倒數(shù)是1/20，倒數(shù)的算術(shù)平均值是 ，

則調(diào)和平均值200/6=33km/h，和第二種方法計(jì)算結(jié)果一模一樣！

另外，加權(quán)調(diào)和平均值是計(jì)算平均倍數(shù)的首選方法，如市盈率（P/E）。如果使用加權(quán)算術(shù)平均值對(duì)這些比率進(jìn)行平均，則高數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)重大于低數(shù)據(jù)點(diǎn)。另一方面，加權(quán)調(diào)和平均值正確地對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)。簡(jiǎn)單的加權(quán)算術(shù)平均值向上偏移，無(wú)法在數(shù)字上證明其合理性，因?yàn)樗诰馐找?；正如?chē)輛速度不能在往返行程中平均一樣（見(jiàn)上文）。

例如，考慮兩家公司，一家公司的市值為1500億美元，收益為50億美元（市盈率為30），另一家公司市值為10億美元，利潤(rùn)為100萬(wàn)美元（市盈度為1000）?？紤]一個(gè)由這兩種股票組成的指數(shù)，30%投資于第一種股票，70%投資于第二種股票。我們想計(jì)算這個(gè)指數(shù)的市盈率。

使用加權(quán)算術(shù)平均值 (錯(cuò)誤示例):

P/E=0.3*30+0.7*1000=709

使用加權(quán)調(diào)和平均值（正確示例）：

P/E=

因此，只有使用加權(quán)調(diào)和平均值才能找到該指數(shù)93.46的正確市盈率P/E，而加權(quán)算術(shù)平均值將顯著高估它。

由于它們各自的方程式：調(diào)和平均值總是小于幾何平均值，幾何平均值總是大于算術(shù)平均值。

當(dāng)數(shù)據(jù)集中的所有數(shù)字都是相同的精確數(shù)字時(shí)，在這種情況下，所有3個(gè)均值都是相同的。因此，以下不等式成立：

調(diào)和平均值≤幾何平均值≤算術(shù)平均值

認(rèn)識(shí)到這種關(guān)系有助于理解何時(shí)應(yīng)用每種方法，以及對(duì)結(jié)果的影響。

為了更形象展示這種關(guān)系，讓我們看看上文提及的數(shù)據(jù)集中三種不同平均值的位置關(guān)系：