§8.1　直線的方程

考試要求　1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式)．

知識(shí)梳理

1．直線的方向向量

設(shè)A，B為直線上的兩點(diǎn)，則就是這條直線的方向向量．

2．直線的傾斜角

(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．

(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.

3．直線的斜率

(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．

(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)(x₁≠x₂)，其斜率k＝.

4．直線方程的五種形式

常用結(jié)論

1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系

牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；

遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．

2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意．

3．直線Ax＋By＋C＝0(A²＋B²≠0)的一個(gè)方向向量a＝(－B，A)．

思考辨析

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)

(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　×　)

(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大．(　×　)

(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tan α.(　×　)

(4)直線y＝kx－2恒過定點(diǎn)(0，－2)．(　√　)

教材改編題

1．已知點(diǎn)A(2,0)，B(3，)，則直線AB的傾斜角為(　　)

A．30°  B．60°  C．120°  D．150°

答案　B

解析　由題意得直線AB的斜率k＝＝，

設(shè)直線AB的傾斜角為α，則tan α＝，∵0°≤α<180°，

∴α＝60°.

2．已知直線l過點(diǎn)(1,1)，且傾斜角為90°，則直線l的方程為(　　)

A．x＋y＝1                                   B．x－y＝1

C．y＝1                                        D．x＝1

答案　D

解析　因?yàn)橹本€l的傾斜角為90°，

所以該直線無斜率，與x軸垂直，又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)(1,1)，

所以直線l的方程為x＝1.

3．過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為________________________．

答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0

解析　當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x－2y＝0；

當(dāng)截距不為0時(shí)，

設(shè)直線方程為＋＝1，

則＋＝1，

解得a＝5.

所以直線方程為x＋y－5＝0.

題型一　直線的傾斜角與斜率

例1　(1)若直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(　　)

A．[－，1]                                B．(－∞，－]∪[1，＋∞)

C.                                  D.∪[1，＋∞)

答案　B

解析　如圖，當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k₁，則k₁＝＝－；當(dāng)直線l過點(diǎn)A時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k₂，則k₂＝＝1，所以要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－]∪[1，＋∞)．

(2)直線2xcos α－y－3＝0的傾斜角的變化范圍是(　　)

A.                                            B.

C.                                            D.

答案　B

解析　直線2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.

由于α∈，所以≤cosα≤，

因此k＝2cos α∈[1，]．

設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，]．

由于θ∈[0，π)，

所以θ∈，即傾斜角的變化范圍是.

思維升華　直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論．

跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·溫州模擬)直線x＋(m²＋1)y＋m²＝0(m∈R)的傾斜角的最小值是________．

答案　

解析　直線可化為y＝－x－.

∵m²≥0，∴m²＋1≥1，

則0<≤1，

∴－1≤－<0.

則所求傾斜角的最小值是.

(2)若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________.

答案　?。?span style="font-family:"Times New Roman","serif"">3

解析　如圖，在正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tan θ＝2，由正方形的性質(zhì)可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OC的傾斜角為θ＋45°，

故k_OA＝tan(θ－45°)＝＝＝，

k_OC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.

題型二　求直線的方程

例2　求符合下列條件的直線方程：

(1)直線過點(diǎn)A(－1，－3)，且斜率為－；

(2)直線過點(diǎn)(2,1)，且橫截距為縱截距的兩倍；

(3)直線過點(diǎn)(5,10)，且原點(diǎn)到該直線的距離為5.

解　(1)∵所求直線過點(diǎn)A(－1，－3)，且斜率為－，

∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.

(2)當(dāng)橫截距與縱截距都為0時(shí)，可設(shè)直線方程為y＝kx，

又直線過點(diǎn)(2,1)，

∴1＝2k，解得k＝，

∴直線方程為y＝x，即x－2y＝0；

當(dāng)橫截距與縱截距都不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為＋＝1，

由題意可得解得

∴直線方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0；

綜上，所求直線方程為x－2y＝0或x＋2y－4＝0.

(3) 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x－5＝0，滿足題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，

則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，

即kx－y＋10－5k＝0.

∴原點(diǎn)到直線的距離d＝＝5，

解得k＝，

∴所求直線方程為3x－4y＋25＝0.

綜上，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

思維升華　求直線方程的兩種方法

(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式．

(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)．

跟蹤訓(xùn)練2　(1)在△ABC中，已知點(diǎn)A(5，－2)，B(7，3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，則MN所在直線的方程為(　　)

A．5x－2y－5＝0                               B．2x－5y－5＝0

C．5x－2y＋5＝0                               D．2x－5y＋5＝0

答案　A

解析　設(shè)C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，

因?yàn)?/span>A(5，－2)，B(7，3)，

所以且

解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1，

即C(－5，－3)，M，N(1,0)，

所以MN所在直線的方程為＝，

即5x－2y－5＝0.

(2)已知直線l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，若l過點(diǎn)A(－4,3)，則直線l的方程為(　　)

A．y－3＝－(x＋4)

B．y＋3＝(x－4)

C．y－3＝(x＋4)

D．y＋3＝－(x－4)

答案　C

解析　方法一　因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為

n＝(2,3)，

所以直線l的斜率k＝，

故直線l的方程為y－3＝(x＋4)．

方法二　設(shè)P(x，y)是直線l上的任意一點(diǎn)(不同于A)，則＝(x＋4，y－3)，

因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，

所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，

故直線l的方程為y－3＝(x＋4)．

題型三　直線方程的綜合應(yīng)用

例3　已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．

解　方法一　設(shè)直線l的方程為

y－1＝k(x－2)(k<0)，

則A，B(0,1－2k)，

S_△AOB＝(1－2k)·

＝≥×(4＋4)＝4，

當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－，即k＝－時(shí)，等號(hào)成立．

故直線l的方程為y－1＝－(x－2)，

即x＋2y－4＝0.

方法二　設(shè)直線l：＋＝1，

且a>0，b>0，

因?yàn)橹本€l過點(diǎn)M(2,1)，

所以＋＝1，

則1＝＋≥2，故ab≥8，

故S_△AOB的最小值為×ab＝×8＝4，

當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)a＝4，b＝2，故直線l的方程為＋＝1，

即x＋2y－4＝0.

延伸探究

1．在本例條件下，當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．

解　由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·

＝3＋＋≥3＋2，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝2＋，b＝1＋時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為x＋y＝2＋.

2．本例中，當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程．

解　方法一　由本例方法一知A，

B(0,1－2k)(k＜0)．

所以|MA|·|MB|＝·

＝2×＝2≥4.

當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－，

即k＝－1時(shí)取等號(hào)．

此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.

方法二　由本例方法二知A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＋＝1.

所以|MA|·|MB|＝||·||

＝－·

＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)

＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5

＝(2a＋b)－5

＝2≥4，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.

思維升華　直線方程綜合問題的兩大類型及解法

(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決．

(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)來解決．

跟蹤訓(xùn)練3　(1)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直線l過定點(diǎn)________，若直線l不經(jīng)過第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

答案　(1，－4)　[3，＋∞)

解析　直線l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化為a(x－1)＋x＋y＋3＝0，

令解得

∴直線l過定點(diǎn)(1，－4)，

∵直線l可化為y＝－(a＋1)x＋a－3，

又直線l不經(jīng)過第三象限，

∴解得a≥3.

(2)已知直線l過點(diǎn)M(1,1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)|MA|²＋|MB|²取得最小值時(shí)，則直線l的方程為________．

答案　x＋y－2＝0

解析　設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，則A(a,0)，B(0，b)，且＋＝1，則a＋b＝ab，

所以|MA|²＋|MB|²

＝(a－1)²＋(0－1)²＋(0－1)²＋(b－1)²

＝4＋a²＋b²－2(a＋b)

＝4＋a²＋b²－2ab

＝4＋(a－b)²≥4，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0.

課時(shí)精練

1．(2023·阜陽模擬)在x軸與y軸上截距分別為－2,2的直線的傾斜角為(　　)

A．45°  B．135°  C．90°  D．180°

答案　A

解析　由題意知直線過點(diǎn)(－2,0)，(0,2)，設(shè)直線斜率為k，傾斜角為α，

則k＝tan α＝＝1，故傾斜角α＝45°.

2．已知直線l₁：x＋y＝0與直線l₂：kx－y＋1＝0，若直線l₁與直線l₂的夾角是60°，則k的值為(　　)

A.或0                                            B．－或0

C.                                                  D．－

答案　A

解析　直線l₁：x＋y＝0的斜率為k₁＝－，

所以直線l₁的傾斜角為120°.

要使直線l₁與直線l₂的夾角是60°，

只需直線l₂的傾斜角為0°或60°，

所以k的值為0或.

3．(2023·南京師范大學(xué)附中模擬)若將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長度，再沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長度，又回到了原來的位置，則l的斜率是(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　C

解析　由題意可知直線l的斜率存在且不為0，

設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，

則平移后直線的方程為y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，

可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，

即k＝－.

4．若直線l的方程y＝－x－中，ab>0，ac<0，則此直線必不經(jīng)過(　　)

A．第一象限                                 B．第二象限

C．第三象限                                 D．第四象限

答案　C

解析　由y＝－x－，ab>0，ac<0，

知直線l的斜率k＝－<0，在y軸上的截距－>0，

所以此直線必不經(jīng)過第三象限．

5．直線l：x－y＋2＝0與x軸交于點(diǎn)A，把l繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得直線m，m的傾斜角為α，則cos α等于(　　)

A．－                                B.

C.                                      D.

答案　C

解析　設(shè)l的傾斜角為θ，則tan θ＝，∴θ＝60°，

由題意知α＝θ－45°＝60°－45°，

∴cosα＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.

6．設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是(　　)

A．x＋y－5＝0                              B．2x－y－1＝0

C．2x－y－4＝0                            D．2x＋y－7＝0

答案　A

解析　易知A(－1,0)．

∵|PA|＝|PB|，

∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線，即x＝2上，

∴B(5,0)．

∵PA，PB關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，

∴k_PB＝－1.∴l_PB：y－0＝－(x－5)，

即x＋y－5＝0.

7．(多選)下列說法正確的有(　　)

A．若直線y＝kx＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則(k，b)在第二象限

B．直線y＝ax－3a＋2過定點(diǎn)(3,2)

C．過點(diǎn)(2，－1)，斜率為－的直線的點(diǎn)斜式方程為y＋1＝－(x－2)

D．斜率為－2，在y軸上截距為3的直線方程為y＝－2x±3

答案　ABC

解析　A中，直線y＝kx＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，故A正確；B中，直線可寫為y－2＝a(x－3)，所以直線過定點(diǎn)(3,2)，故B正確；C中，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程知正確；D中，由直線的斜截式方程得y＝－2x＋3，故D錯(cuò)誤．

8．(多選)若直線過點(diǎn)A(1,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線l的方程為(　　)

A．x－y＋1＝0                              B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0                                  D．x－y－1＝0

答案　ABC

解析　當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，斜率為k＝＝2，

所求的直線方程為y＝2x，即2x－y＝0；

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，

設(shè)所求的直線方程為x±y＝a，

把點(diǎn)A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，

求得a＝－1或a＝3，故所求的直線方程為x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.

綜上，所求的直線方程為2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.

9．已知直線y＝(3－2k)x－6不經(jīng)過第一象限，則k的取值范圍為________．

答案　

解析　由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則得k≥.

10．已知直線l的傾斜角為α，sin α＝，且這條直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,5)，則直線l的一般式方程為________________________________．

答案　3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0

解析　因?yàn)?/span>sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直線l的斜率為k＝tanα＝±，又因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(3,5)，所以直線l的方程為y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直線l的一般式方程為3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0.

11．已知點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，直線l：y＝kx－2, 則直線l經(jīng)過定點(diǎn)________，若直線l 與線段AB有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________．

答案　(0，－2)　[1,3] 

解析　由題意得直線l：y＝kx－2過定點(diǎn)C(0，－2)，又點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，k_CA＝＝3，k_CB＝＝1，

要使直線l 與線段AB有公共點(diǎn)，由圖可知k∈[1,3]．

12．過點(diǎn)P(－1,0)且與直線l₁：x－y＋2＝0的夾角為的直線的一般式方程是______________．

答案　x＋1＝0或x－y＋1＝0

解析　直線l₁的傾斜角β∈[0，π)且tanβ＝，

則β＝，

因?yàn)樗笾本€與直線l₁的夾角為，

所以所求直線的傾斜角為或，

當(dāng)所求直線的傾斜角為時(shí)，直線為x＝－1；

當(dāng)所求直線的傾斜角為時(shí)，直線為y＝(x＋1)，

故直線為x－y＋1＝0.

綜上，所求直線為x＋1＝0或x－y＋1＝0.

13．(多選)下列說法正確的是(　　)

A．不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以表示為＋＝1

B．若直線l與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B且AB的中點(diǎn)為(4,1)，則直線l的方程為＋＝1

C．過點(diǎn)(1,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為y＝x或x＋y＝2

D．直線3x－2y＝4的截距式方程為＋＝1

答案　BCD

解析　A中，與坐標(biāo)軸垂直的直線也不能用截距式表示，故A錯(cuò)；B中，AB的中點(diǎn)為(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)，則直線l的方程為＋＝1，故B對(duì)；C中，直線過原點(diǎn)時(shí)方程為y＝x，不過原點(diǎn)時(shí)方程為x＋y＝2，故C對(duì)；D中，方程3x－2y＝4可化為＋＝1，故D對(duì)．

14．(2023·天津模擬)若直線l經(jīng)過A(2,1)，B(1，m²)兩點(diǎn)，則l斜率的取值范圍為________；其傾斜角的取值范圍為____________________．

答案　(－∞，1]　∪

解析　因?yàn)橹本€l經(jīng)過A(2,1)，B(1, m²)兩點(diǎn)，

所以l斜率k＝＝1－m²≤1，

所以l斜率的取值范圍為(－∞，1]，

設(shè)其傾斜角為α，α∈[0，π)，則tan α≤1，

所以其傾斜角的取值范圍為∪.

15．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＋1＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－2m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|＋|PB|的最大值為(　　)

A．2  B．3  C．3  D．6

答案　D

解析　由題意知，動(dòng)直線x＋my＋1＝0過定點(diǎn)A(－1,0)，

動(dòng)直線mx－y－2m＋3＝0可化為(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，

又1×m＋m×(－1)＝0，所以兩動(dòng)直線互相垂直，且交點(diǎn)為P，

所以|PA|²＋|PB|²＝|AB|²＝(－1－2)²＋(0－3)²＝18，

因?yàn)?/span>≥²，

所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝3時(shí)取等號(hào)．

16．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為________．

答案　16

解析　根據(jù)A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為＋＝1，又因?yàn)?/span>C(－2，－2)在該直線上，

故＋＝1，

所以－2(a＋b)＝ab.

又因?yàn)?/span>ab>0，故a<0，b<0.

根據(jù)基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，從而≥4，故ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝－4時(shí)取等號(hào)，即ab的最小值為16.