求直線斜率時(shí),一定要根據(jù)題目條件對(duì)斜率是否存在作出判斷,以免漏解.

求經(jīng)過(guò)A(m,3),B(1,2)兩點(diǎn)的直線的斜率,并指出傾斜角α的取值范圍.

錯(cuò)解 ? 由斜率公式可得直線AB的斜率k==.

當(dāng)m>1時(shí),k=>0,所以直線的傾斜角α的取值范圍是0°<>90°;

當(dāng)m1時(shí),k=0,所以直線的傾斜角α的取值范圍是90°<>180°.

錯(cuò)因分析 ? 利用斜率公式求直線的斜率的條件是“x₁≠x₂”.而錯(cuò)解中沒(méi)有考慮m=1的情況,忽略了斜率不存在的情況.

正解 ? 當(dāng)m=1時(shí),直線AB的斜率不存在,此時(shí)直線的傾斜角α=90°.

當(dāng)m≠1時(shí),由斜率公式可得直線AB的斜率k==,

當(dāng)m>1時(shí),k=>0,所以直線的傾斜角α的取值范圍是0°<>90°;

當(dāng)m1時(shí),k=0,所以直線的傾斜角α的取值范圍是90°<>180°.

當(dāng)直線的傾斜角α∈[0°,90°)時(shí),隨著α的增大,直線的斜率k為非負(fù)值且逐漸變大;當(dāng)直線的傾斜角α∈(90°,180°)時(shí),隨著α的增大,直線的斜率k為負(fù)值且逐漸變大.

已知點(diǎn)A(2,1),B(-2,2),若直線l過(guò)點(diǎn)P(-,-),且與線段AB有交點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是　　　　. 

錯(cuò)解 ? 如圖,由經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式可得,直線PA的斜率k_PA=,直線PB的斜率k_PB=-,所以直線l的斜率k的取值范圍是[-,].

錯(cuò)因分析 ?  在直線l的允許活動(dòng)范圍內(nèi),l的傾斜角連續(xù)變化時(shí),直線斜率的變化并不一定連續(xù),當(dāng)直線l垂直于x軸(即直線l的傾斜角為90°)時(shí),直線l的斜率不存在.出錯(cuò)的原因是忽略了直線斜率的變化與傾斜角變化的關(guān)系,忽略直線傾斜角為90°時(shí)直線無(wú)斜率.

正解 ? 當(dāng)直線l由位置PA繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)到位置PB時(shí),l的斜率逐漸變大直至l垂直于x軸,當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),l無(wú)斜率,再轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)斜率為負(fù)值并逐漸變大直到PB的位置,所以直線l的斜率k≥k_PA=或k≤k_PB=-,即k≥或k≤-.

對(duì)于含有參數(shù)的直線垂直問(wèn)題,要分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論,避免漏解.

已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直線AB⊥CD,求m的值.

錯(cuò)解 ? 由斜率公式知,k_AB==,

k_CD==.

∵AB⊥CD,∴k_AB·k_CD=-1,

即·=-1,

解得m=1,∴m的值為1.

錯(cuò)因分析 ? 錯(cuò)解忽略了直線斜率不存在的情況.

正解 ? ∵A,B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不相等,∴AB與x軸不平行.∵AB⊥CD,∴CD與x軸不垂直,∴-m≠3,即m≠-3.

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),-m-3=-2m-4,解得m=-1,而m=-1時(shí),C,D縱坐標(biāo)均為-1,則CD∥x軸,此時(shí)AB⊥CD,滿足題意.

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),由斜率公式知,

k_AB==,k_CD==.

∵AB⊥CD,∴k_AB·k_CD=-1,

即·=-1,解得m=1.

綜上,m的值為1或-1.

當(dāng)兩直線的斜率存在時(shí),兩直線平行的等價(jià)條件是斜率相等且縱截距不相等,解題時(shí)容易忽略縱截距不相等,從而導(dǎo)致增解.

已知直線l₁:y=-x-,l₂:y=-x-m,當(dāng)l₁∥l₂時(shí),求m的值.

錯(cuò)解 ? 由l₁∥l₂,得-=-,

解得m=3或m=-1.

∴m的值為3或-1.

錯(cuò)因分析 ? 錯(cuò)解忽略了直線重合的情況,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正解 ? 由l₁∥l₂,得解得m=-1.

∴m的值為-1.

用點(diǎn)斜式求直線的方程時(shí),要討論斜率的存在性,同時(shí)注意方程成立的條件.

求過(guò)點(diǎn)M(m,0)和點(diǎn)N(2,1)的直線方程.

錯(cuò)解 ? 直線的斜率為k==-.

又直線過(guò)點(diǎn)N(2,1),

∴直線的點(diǎn)斜式方程為y-1=-(x-2).

錯(cuò)因分析 ? 由于m的取值不確定,故需要對(duì)m進(jìn)行討論,錯(cuò)解忽略了m=2的情形,即斜率不存在的情況.

正解 ? 當(dāng)m=2時(shí),過(guò)點(diǎn)M(m,0)和點(diǎn)N(2,1)的直線斜率不存在,其方程為x=2.

當(dāng)m≠2時(shí),直線的斜率為k==-.

又直線過(guò)點(diǎn)N(2,1),

∴直線的點(diǎn)斜式方程為y-1=-(x-2).

綜上,當(dāng)m=2時(shí),所求的直線方程為x=2.

當(dāng)m≠2時(shí),所求的直線方程為y-1=-(x-2).

若直線y=kx+2(k∈R)不過(guò)第三象限,則k的取值范圍是　　　　. 

錯(cuò)解 ? 當(dāng)k>0時(shí),直線過(guò)第三象限;當(dāng)k0時(shí),直線不過(guò)第三象限.故k的取值范圍是(-∞,0).

錯(cuò)因分析 ? 忽略了k=0的情況從而導(dǎo)致錯(cuò)解.

正解 ? 當(dāng)k=0時(shí),直線y=2不過(guò)第三象限;當(dāng)k>0時(shí),直線過(guò)第三象限;當(dāng)k0時(shí),直線不過(guò)第三象限.

故k的取值范圍是(-∞,0].

l₁⊥l₂并不等價(jià)于k₁·k₂=-1,一般地,設(shè)直線l₁:A₁x+B₁y+C₁=0(A₁,B₁不同時(shí)為0),l₂:A₂x+B₂y+C₂=0(A₂,B₂不同時(shí)為0).l₁∥l₂?A₁B₂-A₂B₁=0,且B₁C₂-B₂C₁≠0或A₁C₂-A₂C₁≠0.l₁⊥l₂?A₁A₂+B₁B₂=0.這種判定方法避開(kāi)了斜率存在和不存在兩種情況的討論,可以減小因考慮不周而造成失誤的可能性.

已知直線l₁:(2-a)x+ay-3=0,l₂:(2a+3)x-(a-2)y+2=0互相垂直,求實(shí)數(shù)a的值.

錯(cuò)解 ? 將l₁的方程化為y=x+,得斜率k₁=;將l₂的方程化為y=x+,得斜率k₂=.

∵l₁⊥l₂,∴k₁·k₂=-1,即×=-1,解得a=-1.

錯(cuò)因分析 ? 將直線的一般式方程化成斜截式,再運(yùn)用直線的斜率判斷直線垂直,沒(méi)有考慮直線的斜率不存在的情況,所以答案不完整.

正解 ? 因?yàn)?/span>l₁⊥l₂,則必有(2-a)(2a+3)-a(a-2)=0,即a²-a-2=0,所以a=2或a=-1.

在利用兩直線平行求參數(shù)時(shí),要注意兩直線重合的特殊情況,否則容易出錯(cuò).

已知直線ax+3y+1=0與x+(a-2)y+a=0平行,求a的值.

錯(cuò)解 ? ∵兩直線平行,∴=,解得a=-1或a=3.

錯(cuò)因分析 ? 上述解法忽略了兩條直線可能重合的情況,實(shí)際上,當(dāng)a=-1時(shí),==,此時(shí),兩條直線重合,故a=-1舍去.

正解 ? ∵兩直線平行,∴=≠,解得a=3.

不同形式的方程均有其適用條件,在解題時(shí)應(yīng)注意截距式方程的應(yīng)用前提是截距均不為0且直線不垂直于坐標(biāo)軸.

求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3),并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.

錯(cuò)解 ? 設(shè)直線方程為+=1,

將x=2,y=3代入,得+=1,解得a=5.

故所求的直線方程為x+y-5=0.

錯(cuò)因分析 ? 截距相等包含兩層含義,一是截距不為0時(shí)的相等,二是截距為0時(shí)的相等,而后者常常被忽略,導(dǎo)致漏解.

正解 ? (1)當(dāng)截距為0時(shí),直線l過(guò)點(diǎn)(0,0),(2,3),

∵直線l的斜率為k==,

∴直線l的方程為y=x,即3x-2y=0.

(2)當(dāng)截距不為0時(shí),可設(shè)直線l的方程為+=1,

∵直線l過(guò)點(diǎn)P(2,3),∴+=1,

∴a=5,∴直線l的方程為x+y-5=0.

綜上,直線l的方程為3x-2y=0或x+y-5=0.

解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要考慮全面,若注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,則事半功倍.

若直線l₁:y=kx+k+2與直線l₂:y=-2x+4的交點(diǎn)在第一象限內(nèi),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

A.k>-       B.k2

C.-<>2     D.k<>或k>2

錯(cuò)解 ? A,B或D.

錯(cuò)因分析 ? 此題容易出錯(cuò)的地方有三點(diǎn):一是沒(méi)有正確求出交點(diǎn)坐標(biāo);二是交點(diǎn)在第一象限內(nèi)的符號(hào)表示錯(cuò)誤;三是沒(méi)有利用數(shù)形結(jié)合的方法而使計(jì)算煩瑣出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正解 ? 由題意知,直線l₁過(guò)定點(diǎn)P(-1,2),斜率為k,直線l₂與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(2,0),B(0,4),若直線l₁與l₂的交點(diǎn)在第一象限內(nèi),則l₁必過(guò)線段AB上的點(diǎn)(不包括A,B),因?yàn)?/span>k_PA=-,k_PB=2,所以-<>2.故選C.

解決直線不能構(gòu)成三角形的問(wèn)題時(shí),除了三條直線中至少有兩條平行外,還要注意三線共點(diǎn)這一特殊情況.

若三條直線l₁:4x+y+4=0,l₂:mx+y+1=0,l₃:x-y+1=0不能構(gòu)成三角形,求m的值.

錯(cuò)解 ? 當(dāng)三條直線l₁,l₂,l₃中至少有兩條平行時(shí),三條直線不能圍成三角形.顯然l₁與l₃不平行,只可能l₁∥l₂或l₂∥l₃.當(dāng)l₁∥l₂時(shí),m=4;當(dāng)l₂∥l₃時(shí),m=-1.

錯(cuò)因分析 ? 錯(cuò)解直接認(rèn)為只有當(dāng)存在兩條直線平行時(shí),不能構(gòu)成三角形,而忽略了三線共點(diǎn)時(shí)也滿足“不能構(gòu)成三角形”這一條件.此時(shí),只需先求出兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo),同時(shí)滿足第三條直線的方程即可.

正解 ? 顯然l₁與l₃不平行,當(dāng)l₁∥l₂或l₂∥l₃時(shí)不能構(gòu)成三角形,此時(shí)對(duì)應(yīng)m的值分別為m=4,m=-1;

當(dāng)直線l₁,l₂,l₃經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)時(shí),也不能構(gòu)成三角形.

由得代入l₂的方程得-m+1=0,即m=1.

綜上可知m=4或m=-1或m=1.

當(dāng)用待定系數(shù)法確定直線的斜率時(shí),一定要對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論,否則容易犯解析不全的錯(cuò)誤.

已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2),且原點(diǎn)到直線l的距離為1,求直線l的方程.

錯(cuò)解 ? 由題意設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.因?yàn)樵c(diǎn)到直線l的距離為1,所以=1,解得 k=.所以所求直線l的方程為 y-2=(x-1),即 3x-4y+5=0.

錯(cuò)因分析 ? 符合題意的直線有兩條,錯(cuò)解中忽略了斜率不存在的情況,從而只得到了一條直線.

正解 ? 當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)且斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=1,原點(diǎn)到直線l的距離為1,滿足題意.

當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)且斜率存在時(shí),由題意設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.因?yàn)樵c(diǎn)到直線l的距離為1,所以=1,解得 k=.所以所求直線l的方程為 y-2=(x-1),即 3x-4y+5=0.

綜上所述,所求直線l的方程為x=1或3x-4y+5=0.