作者 | 賴俊儒（中央研究院數(shù)學(xué)所）來源|《數(shù)學(xué)傳播》2023年第47卷第1期（185），感謝《數(shù)學(xué)傳播》授權(quán)轉(zhuǎn)載！中央研究院2022年院區(qū)開放科普演講（影片）[1]歡迎大家來參加中研院開放院區(qū)數(shù)學(xué)所的線上活動(dòng)。我們今天要從幾個(gè)歷史故事出發(fā)來講：代數(shù)如何演變成今天的樣貌。那么什么是代數(shù)？對(duì)一般人來說， 代數(shù)就是用符號(hào)代替未知數(shù)， 進(jìn)而經(jīng)由運(yùn)算， 來解決數(shù)學(xué)問題， 比方說我們看1+2=3 ， 我們可以把 1 這個(gè)數(shù)字換成一個(gè)未知數(shù) x, 就可以換句話說， 問你什么數(shù)字加 2 以后會(huì)等于 3; 換句話說， 就是來解一元一次方程式。在數(shù)學(xué)課里， 我們學(xué)到了如何處理稍微更復(fù)雜一點(diǎn)的問題， 比方說解這個(gè)一元二次方程式但是代數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止于如此， 對(duì)古時(shí)候的數(shù)學(xué)家來說， 代數(shù)這門學(xué)問， 就是以符號(hào)操作來解方程式， 我們今天會(huì)以初等代數(shù)來稱呼它。而隨著數(shù)學(xué)在進(jìn)步， 代數(shù)就變成了研究“規(guī)則”所衍生出來的數(shù)學(xué)分支， 比方說我們今天談的線性代數(shù)或是抽象代數(shù)， 里面的代數(shù)就是指這樣子的代數(shù)。最后， 很容易讓人混淆的是， 代數(shù)也可以是一種可數(shù)名詞， 來描述由這些規(guī)則所生成的數(shù)學(xué)空間， 比方說實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、李代數(shù)都是這種意義下的代數(shù)。除此之外， 也有數(shù)學(xué)家創(chuàng)造并以此命名的代數(shù)。文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家首先讓我們回到文藝復(fù)興時(shí)期。文藝復(fù)興起源于意大利， 而后才拓展到歐洲其他國(guó)家。最早的大學(xué)就是在意大利的波隆那（Bologna）大學(xué)。這些大學(xué)的存在， 才得以資助數(shù)學(xué)家一邊做研究一邊教書， 才讓數(shù)學(xué)有飛躍性的突破。值得一提的是， 當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)有記號(hào)上的缺陷， 他們不承認(rèn)小于0的負(fù)數(shù)， 也不承認(rèn)有虛數(shù)的復(fù)數(shù)。他們不像我們現(xiàn)在， 可以把二次方程寫出一般式， 然后再把它解寫成公式解當(dāng)時(shí)的人必須把小于0的項(xiàng)丟到等式的兩邊， 才能把二次方程化簡(jiǎn)而后分類， 然后用食譜一般的形式來記載求解的過程。最早對(duì)三次方程做出突破的數(shù)學(xué)家， 就是波隆那大學(xué)的講師德費(fèi)羅 （Scipione del Ferro， 1465～1526)。他當(dāng)時(shí)并沒有選擇將自己的解法公開， 反而將自己的解法寫在筆記本里面， 作為決斗的秘密武器， 死后傳給自己的徒弟和女婿。這里我們說的決斗不是像圖中這樣真刀真槍的決斗， 而是互相出題考對(duì)方的頭腦決斗。當(dāng)時(shí)的大學(xué)金主通常會(huì)通過決斗的結(jié)果， 來選擇贊助的數(shù)學(xué)家。
當(dāng)時(shí)最出名的決斗者， 就是這位尼可羅馮大拿Niccolo Fontanna （1500～1557）， 綽號(hào)“口吃的（Tartaglia）”。他出身窮困， 小的時(shí)候被法國(guó)士兵砍傷下巴， 導(dǎo)致口吃。他透過一連串的數(shù)學(xué)決斗， 獲得了意大利威尼斯大學(xué)的教職。馮大拿苦心鉆研， 在德費(fèi)羅之后也貢獻(xiàn)了三次方程的問題。
Niccolo Fontanna (1500～1557)另一方面德費(fèi)羅的徒弟費(fèi)爾 （Fiore） 繼承了秘密筆記本后， 就以為自己天下無敵， 到處吹噓。于是在 1535 年， 兩人就展開了三次方程的決斗。決斗的期限有50天， 雙方各出30道題目考對(duì)方。費(fèi)爾從筆記本當(dāng)中學(xué)到的解法， 只會(huì)解型如這樣子的三次方程， 因此他就出了 30 道這樣子的題目給馮大拿。另一方面馮大拿知道如何將一般的三次方程化解成這種形式， 所以他就出了各式各樣的三次方程來考費(fèi)爾。而結(jié)果顯而易見; 費(fèi)爾被馮大拿的各式各樣的問題搞得頭昏腦脹， 但是馮大拿卻在兩個(gè)小時(shí)之內(nèi)把費(fèi)爾的 30 道問題全部解出， 最后大獲全勝、聲名大噪。而名聲總是容易帶來壞事， 當(dāng)時(shí)米蘭學(xué)術(shù)界的活躍人物， 就是這位醫(yī)生斜槓數(shù)學(xué)家卡當(dāng) （Girolamo Cardano， 1501～ 1576)。卡當(dāng)找上了馮大拿， 以米蘭的工作與人脈作為籌碼， 求馮大拿分享三次方程的解法， 并發(fā)誓永遠(yuǎn)不外泄。但是在4年后， 卡當(dāng)拜訪了德費(fèi)羅的女婿。他發(fā)現(xiàn)在筆記本中德費(fèi)羅早就破解了三次方程， 于是他想說 ：他寫一本書把德費(fèi)羅的方法公開， 就不算違背跟馮大拿的誓言。于是卡當(dāng)就在 1545 年出版了這本《偉大的技術(shù)或代數(shù)規(guī)則》。在書中， 卡當(dāng)不僅列出了三次方程的解法， 也同時(shí)指出四次方程可以化解成三次方程， 因此可以一并解決。這本書幾乎讓卡當(dāng)成為那個(gè)時(shí)代最偉大的人。
Girolamo Cardano (1501～1576)
《偉大的技術(shù)或代數(shù)規(guī)則》另一方面， 馮大拿簡(jiǎn)直氣瘋了。他認(rèn)為卡當(dāng)背棄他的誓言， 用所有你想得到或想不到的惡毒言語來攻擊卡當(dāng)， 并要求與卡當(dāng)決斗。但是當(dāng)時(shí)卡當(dāng)?shù)牡匚槐锐T大拿高太多了， 決斗對(duì)他來講并沒有任何的好處。他只愿意讓自己的弟子法拉利出戰(zhàn)。馮大拿起初當(dāng)然不愿意， 直到 1548 年， 馮大拿的故鄉(xiāng)布雷西亞 （Brescia） 大學(xué)說 ：如果你愿意和法拉利決斗并獲勝， 那么我們就會(huì)給你一個(gè)大學(xué)教職。于是馮大拿就答應(yīng)了這場(chǎng)與法拉利的決斗。一邊馮大拿只會(huì)解三次方程， 另一邊法拉利卻連四次方程都能輕松上手， 不意外的， 最后決斗由法拉利勝出， 馮大拿黯然退場(chǎng)。拉格朗日的預(yù)解式而下一個(gè)重要的數(shù)學(xué)突破要到 200 年后， 拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange， 1736～1813） 觀察前人對(duì)于四次方程解法的規(guī)律， 創(chuàng)造了一個(gè)預(yù)解式 （resolvent） 的概念來輔助解原本的方程。他觀察到在 4 次以下的方程你都可以透過這個(gè)預(yù)解式的手法把原本要解的方程式次數(shù)降低 1。所以當(dāng)他發(fā)現(xiàn)五次方程的預(yù)解式次數(shù)不減反增， 他便猜測(cè) 5 次以上的方程式?jīng)]有辦法一樣求解。
Joseph-Louis Lagrange (1763～1813) 
接下來我們來看看拉格朗日的做法。首先我們看三次方程式不妨假設(shè)二次項(xiàng)可以設(shè)成 0。我們做一個(gè)變量代換， 設(shè)， 其中 是我們的新變數(shù)， 而是待定項(xiàng)。整理后會(huì)得到這個(gè)式子我們發(fā)現(xiàn)， 如果是 0 的話， 式子會(huì)簡(jiǎn)單許多。因此我們現(xiàn)在決定讓， 所以原式就可以化解成這個(gè)六次式原方程等于 0， 則這個(gè)六次預(yù)解式就必須要是0。但是這個(gè)預(yù)解式其實(shí)是一個(gè)假的六次式， 他可以寫成一個(gè)二次式， 是代入的三次方而成：
我們就可以用公式來算出 的兩個(gè)解 和 ，進(jìn)而回推預(yù)解式的兩個(gè)解 和 。由根與系數(shù)關(guān)系， 我們可以回推：這兩個(gè)三次方根乘起來會(huì)是原預(yù)解式的零次項(xiàng)開三次根號(hào)也可以用這個(gè)關(guān)系回推和 . 我們發(fā)現(xiàn)不管取 和 的哪一個(gè)， 都會(huì)是同樣的 。以上是卡當(dāng)與馮大拿的做法。但是拉格朗日的時(shí)候就已經(jīng)知道了復(fù)數(shù)。他知道三次方根有其他的單位方根 ω， 也因此他可以把的 6 個(gè)復(fù)數(shù)解全部都寫出來：令 ， 另四個(gè)根用 ω表示為 ,,,。依樣畫葫蘆就可以得到原方程 的另外兩個(gè)復(fù)數(shù)根; 有解拉格朗日后來將這種作法推廣， 對(duì)于n次方程都可以定義他的預(yù)解式。伽羅瓦理論拉格朗日的觀察， 后來被阿貝爾 （Niels Henrik Abel， 1802～1829） 及伽羅瓦 （évariste Galois， 1811～1832） 繼承。阿貝爾證明了五次方程不保證有根式解， 也是說它可能有解， 但是這些解不保證可以由有理數(shù)加減乘除開根號(hào)得到。而伽羅瓦進(jìn)而刻劃出五次方程有根式解的充分必要條件。
Niels Henrik Abel (1802～1829)
évariste Galois (1811～1832)伽羅瓦的理論是大學(xué)抽象代數(shù)中一個(gè)重要的章節(jié)。我們?cè)谶@邊可能只能忽略細(xì)節(jié)講一些它的精神， 這個(gè)精神就是說 方程式只是表象， 關(guān)鍵在從這個(gè)表象中抽取關(guān)鍵的規(guī)則。比方說我們看這兩個(gè)五次式肉眼看起來它們長(zhǎng)得幾乎一模一樣， 它們只是在常數(shù)項(xiàng)中差了一個(gè) 1， 但是它們的解卻大大的不同。伽羅瓦的理論告訴你， 如何從一個(gè)方程式出發(fā)， 定義一個(gè)所謂的群， 一種新的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在這個(gè)例子當(dāng)中雖然這兩個(gè)方程式 f和g長(zhǎng)得差一點(diǎn)點(diǎn)而已， 但是他們對(duì)應(yīng)的群卻天差地別; 前面的群里面有10個(gè)元素，后面的群里面卻有 120 個(gè)元素。而伽羅瓦定理告訴你說：方程式保證有根式解的充分必要條件， 是這個(gè)群的結(jié)構(gòu)要夠好。所以我們不再看方程式當(dāng)中的那些數(shù)字， 我們轉(zhuǎn)而去研究群的結(jié)構(gòu)。從此數(shù)學(xué)主流對(duì)方程序求解失去了興趣， 而伽羅瓦理論作為重要而深刻的工具流傳下來。形變?nèi)?（Transformation groups）在伽羅瓦理論當(dāng)中， 方程式只是表象， 重要的是當(dāng)中的規(guī)則， 也就是它的伽羅瓦群。在看起來不相關(guān)的其他領(lǐng)域， 也有類似的現(xiàn)象， 比方說李 （Marius Sophus Lie， 1842～1899) 和克萊因 （Felix Klein， 1849～1925） 研究的形變， 他們透過收集離散與連續(xù)形變的規(guī)則， 定義出現(xiàn)在所謂的有限群及無限的李群; 而話鋒一轉(zhuǎn)代數(shù)突然就從研究方程式怎么解， 變成研究這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的分類。
Marius Sophus Lie (1842～1899） 連續(xù)形變 ?（無限）李代數(shù)
Felix Klein (1849～1925） 離散形變 ?有限群論
而做這些研究， 其實(shí)就很像以前的化學(xué)家， 他們發(fā)現(xiàn)新的元素， 他們研究分子由哪些原子構(gòu)成。
而那個(gè)時(shí)候的群論學(xué)家就是挑出一個(gè)群， 看看我們要怎么把它拆解成最基本的元素， 也就是所謂的簡(jiǎn)單群。而他們的研究成果就可以寫成這個(gè)偉大的定理：簡(jiǎn)單群分類定理; 也就是說， 所有的簡(jiǎn)單群有三大家族：構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單的交替群以及循環(huán)群， 以及用李代數(shù)表現(xiàn)理論構(gòu)造的李型有限群; 除此之外還有 26 個(gè)例外。
Andrus, Ivan. (2012).https://irandrus./2012/06/17/the-periodic-table-of-finite-simple-groups/這個(gè)簡(jiǎn)單群分類定理的證明一點(diǎn)都不簡(jiǎn)單， 它必須要結(jié)合一百多年來一百多篇論文的結(jié)果才算完成：?1832年 伽羅瓦構(gòu)造最初的簡(jiǎn)單群 - 交替群 （alternating group ),?1955年 謝瓦來（Chevalley） 透過李代數(shù)構(gòu)造李型簡(jiǎn)單群，?1982年 格里斯 （Griess） 構(gòu)造最復(fù)雜的簡(jiǎn)單群 - 怪物群 （monster group M),?2008年 結(jié)合一百多年來一百多篇論文， 第一代證明完成。而近十年來有一些人在著手于第二代證明; 他們已經(jīng)先知道答案了， 所以可以把第一代證明當(dāng)中摸索的過程簡(jiǎn)化。但即使如此他們也估計(jì)要到 2024 年才可以把證明所有的細(xì)節(jié)寫完， 估計(jì)要達(dá)到 5000 多頁。代數(shù)成為一種結(jié)構(gòu)最后我們來看看代數(shù)作為一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是什么意思。這個(gè)動(dòng)機(jī)還是要回到當(dāng)初的解方程式。我們看卡當(dāng)公式解這個(gè)三次方程可以寫出他的解如下以當(dāng)時(shí)的觀念來說， 根號(hào)里面不可以有負(fù)數(shù)， 所以這個(gè)公式應(yīng)該是無效的。這個(gè)方程應(yīng)該沒有解。但是你可以真的去算， 明明你代入檢驗(yàn)， 可以確認(rèn)它是這個(gè)三次方程的一個(gè)解。那怎么辦呢？龐貝里 （Bombelli） 就提出了虛數(shù)的概念; 只要我們?nèi)淌芤粋€(gè)無意義的符號(hào)， 滿足這個(gè)算法， 它這個(gè)符號(hào)乘以本身，那么你就可以將這兩個(gè)三次根號(hào)里面的東西化簡(jiǎn)成 2±11 那個(gè)無意義的符號(hào)， 而 , 所以 就會(huì)是 ；兩個(gè)無意義的符號(hào)消掉， 你就可以得到 4 這個(gè)解。但是這個(gè)虛數(shù) 的乘法， 以當(dāng)時(shí)的幾何觀念來講是不自然的。它不是當(dāng)單純的矢量的加法; 這個(gè)復(fù)數(shù)空間上必須要有一個(gè)額外的乘法。而任何形同的復(fù)數(shù)， 其乘法結(jié)構(gòu)都可以只被這兩個(gè)生成元 1 和 的乘法表決定。所以人們當(dāng)時(shí)就定義代數(shù)是一種復(fù)數(shù)的推廣， 只要包含系數(shù)域、 生成元和乘法表， 你都可以把這個(gè)新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)叫做一個(gè)代數(shù)。
“代數(shù)”就是種復(fù)數(shù)的推廣， 當(dāng)中的數(shù)據(jù)包含了 （1） 系數(shù)域 （2） 生成元 （3） 乘法表。在這個(gè)發(fā)現(xiàn)之后數(shù)學(xué)家嘗試去把復(fù)數(shù)推廣成更復(fù)雜的代數(shù)， 比方說哈密爾頓（Hamilton）的四元數(shù)， 可以拿實(shí)數(shù)作為他的系數(shù)域。他把生成元從兩個(gè) 1 和 推廣成四個(gè) 1、 、 、 。他把乘法表可以明確的寫出來， 就可以定出一個(gè)非交換代數(shù)：
更甚之， 你的代數(shù)當(dāng)中的生成元甚至并不需要是一個(gè)數(shù)字， 比方說你可以看 n階方陣形成的矩陣代數(shù)， 當(dāng)中每個(gè)生成元都是一個(gè)基本矩陣， 也就是說矩陣當(dāng)中非 0 即 1， 而且恰有一個(gè)地方是 1。因此你就可以用矩陣的乘法規(guī)則， 來定義你的代數(shù)規(guī)則， 從而定義出一個(gè)新的代數(shù)。而從此開始， 代數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)分支就變成是在研究代數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)空間。
Johann Carl Friedrich Gauss (1777～1855)而代數(shù)研究當(dāng)中一個(gè)重要的工具就是表現(xiàn)理論。表現(xiàn)理論的前身， 是高斯（Johann Carl Friedrich Gauss， 1777 ～1855） 在數(shù)論方面的工作。當(dāng)年他考慮這個(gè)問題：什么樣子的整數(shù) n可以寫成下面的整系數(shù)二次形式？對(duì)于每個(gè)這樣的二次形式， 都定義一個(gè)復(fù)數(shù)。他把這些二次形式收集起來， 得到一個(gè)交換群他并對(duì)此交換群定義所謂的特征標(biāo)（character）來解決這個(gè)數(shù)論問題。我們?cè)诖瞬辉敿?xì)解釋高斯的工作， 但是我們可以注意到：在這個(gè)數(shù)論問題當(dāng)中， 二次形式也只是表象， 就如同方程式也只是表象而已。重要的是， 你可以對(duì)于這個(gè)表象、 這個(gè)二次形式， 來賦予一個(gè)復(fù)數(shù)來解決問題。
Ferdinand Georg Frobenius (1849～1917) 之后， 福比尼（Ferdinand Georg Frobenius ， 1849 ～1917） 觀察高斯的特征標(biāo)理論。特征標(biāo)當(dāng)中將每一個(gè)群里面的元素送到一個(gè)非0的復(fù)數(shù)， 那豈不就是一個(gè) 1×1的可逆矩陣？那我們?yōu)槭裁床话堰@個(gè) 1 改成任何一個(gè)數(shù)字 n？福比尼這樣子做：他把每個(gè)抽象的元素、每個(gè)抽象的規(guī)則都賦予一個(gè)具體的矩陣來研究，就變成我們今天所說的群表現(xiàn)。福比尼因此只手奠定了表現(xiàn)理論的基礎(chǔ)。除了剛剛提到的簡(jiǎn)單群分類定理以外， 表現(xiàn)理論仍然是 21 世紀(jì)數(shù)學(xué)的主流分支， 許多費(fèi)爾茲獎(jiǎng)的得主的工作也都和表現(xiàn)理論息息相關(guān)。我們用淺顯的語言來說， 表現(xiàn)理論就是同時(shí)研究表象與規(guī)則。我們剛剛看到的幾個(gè)重要的問題：解方程式或者是高斯的數(shù)論問題， 都有一個(gè)表象， 但是這個(gè)表象上面我們會(huì)有一些規(guī)則作用于其中。把這些規(guī)則收集起來就會(huì)形成一個(gè)代數(shù)， 代數(shù)以矩陣的形式作用在模上面。而今日表現(xiàn)理論的重要問題就是在研究這些模的性質(zhì)與分類。
打個(gè)比方， 我們今天只要選定任何一組規(guī)則， 就是選定了一個(gè)代數(shù)， 來研究它的模的分類以及性質(zhì)。這就像一個(gè)平行宇宙一樣， 它在這個(gè)宇宙里面有自己的元素周期表， 跟其他已知的周期表可能長(zhǎng)得不一樣， 每個(gè)周期表里面的元素性質(zhì)也會(huì)跟其他人不一樣。哪些原子間可以以什么方式組成分子？這個(gè)規(guī)則也會(huì)跟其他的宇宙不一樣。所以對(duì)于每一個(gè)給定的代數(shù)我們都想要去研究， 簡(jiǎn)單模要怎么樣分類？簡(jiǎn)單模有什么樣的性質(zhì)？什么樣子的維度？不同的簡(jiǎn)單模之間有多少維度延伸？
這些延伸是什么意思呢？再來打個(gè)比方， 我們今天可能考慮一個(gè)疊疊樂宇宙; 這個(gè)宇宙中就只有一種原子， 就是這個(gè)長(zhǎng)方形的木塊。然后你可以用任何你想要的方式把木塊碰在一起， 反正他們總是會(huì)滑開， 我們就說這個(gè)延伸是無聊的。另一方面我們可以考慮這個(gè)巴克球表現(xiàn)理論世界：這個(gè)世界中我們只有兩種原子， 沒有磁性的鐵球、 或者是有磁性的鐵棒， 球跟球之間不互相作用， 但是鐵棒的磁性可以把球黏在一起， 而且一個(gè)鐵棒的兩端各只能黏一顆球。我們就可以研究這個(gè)宇宙里面的延伸， 它稍微比疊疊樂復(fù)雜一點(diǎn)， 但是也不會(huì)復(fù)雜到哪里去。
回顧最后我們來回顧一下今天所提到的內(nèi)容。數(shù)學(xué)家一開始認(rèn)為代數(shù)就是以符號(hào)操作來解方程式， 所以我們一開始看卡當(dāng)公式和拉格朗日的預(yù)解式， 都可以感受到濃濃的操作意味。接著話鋒一轉(zhuǎn)， 代數(shù)突然沒有要研究那么實(shí)際的直接的問題了， 而是研究那些問題當(dāng)中的規(guī)則所衍生出來的數(shù)學(xué)分支。我們剛剛看到的伽羅瓦定理、群論與表現(xiàn)理論都是這樣子例子的代數(shù)。再來代數(shù)變成可數(shù)名詞， 是來形容那些用規(guī)則所生成的數(shù)學(xué)空間， 比方說實(shí)數(shù)代數(shù)以及李代數(shù)， 給我們豐富的例子來抽象化、 一般化。之前提到的那些規(guī)則。最后代數(shù)經(jīng)過數(shù)百年的累積演化成今天的面貌， 或許今天看影片的你， 也能接著踩上巨人的肩膀。謝謝大家今天的收看， 我們有緣再見。https://www./watch?v=i0Tr6uAE5A0 .
|
