左邊這位尼科洛·豐坦納（Niccolò Fontana），也被稱為塔爾塔利亞（Tartaglia）。他與吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Gerolamo Cardano）在解決立方方程問(wèn)題上做出了貢獻(xiàn)，但也在這條道路上成為了敵人。

歷史上充滿了反目成仇的競(jìng)爭(zhēng)：愛(ài)迪生和特斯拉，哈丁（Harding）和凱麗甘（Kerrigan，皆為滑冰運(yùn)動(dòng)員）等等。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾和尼科洛·豐坦納 (后者更廣為人知的名字是塔爾塔利亞，意為“口吃者”，因少年時(shí)面部被法國(guó)士兵的劍得傷后說(shuō)話困難而名）之間的沖突同樣具有戲劇性。起因就是：三次方程。

大多數(shù)高中生都知道如何用求解二次方程，如x2-x-3=0。ax2+bx+c=0這樣方程的解、或者說(shuō)根是：

對(duì)于更高次（x的冪次更大）的方程是否有類似的公式呢？從本質(zhì)上講，在卡爾達(dá)諾、塔爾塔利亞和他們同時(shí)代的人之前，就已經(jīng)有了解決這個(gè)問(wèn)題的任務(wù)。

像上面這些抽象的符號(hào)表達(dá)式和熟悉的操作方法的現(xiàn)代代數(shù)可以追溯到17世紀(jì)，比這些學(xué)者的時(shí)代晚了很久。但是代數(shù)思想，以及解決我們所認(rèn)為的線性和二次方程的能力，在之前的幾千年里一直發(fā)展緩慢。

在16世紀(jì)，代數(shù)方程仍然是用文字而不是符號(hào)來(lái)表達(dá)的，所有的系數(shù)都必須是非負(fù)的，因?yàn)閿?shù)

同樣地，將邊長(zhǎng)為t的立方體分解為6個(gè)方塊可以有下面的表達(dá)：

(t>u)。

希皮奧內(nèi)·德?tīng)枴べM(fèi)羅（Scipione del Ferro）是16世紀(jì)早期博洛尼亞大學(xué)的一位教授，他是第一個(gè)在求解三次方程方面取得重大進(jìn)展的人。不幸的是，由于當(dāng)時(shí)奇怪的學(xué)術(shù)保密文化，我們并不知道他的所有成就。學(xué)者們不會(huì)急于發(fā)表自己的研究成果，也不會(huì)陶醉于證明一個(gè)定理或解決一個(gè)問(wèn)題獲得的認(rèn)可，他們會(huì)互相挑戰(zhàn)，進(jìn)行“數(shù)學(xué)決斗”：互相發(fā)送具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，誰(shuí)解決得最多，誰(shuí)就獲勝。勝利者往往會(huì)獲得職業(yè)發(fā)展和更多的學(xué)生。因此，這些發(fā)現(xiàn)有時(shí)會(huì)被儲(chǔ)存起來(lái)，成為將來(lái)在競(jìng)賽中使用的秘密武器。

當(dāng)c和d為正時(shí)，費(fèi)羅可以解出x3+cx=d的方程。像這樣沒(méi)有平方項(xiàng)的三次方程被稱為“虧損立方（depressed cubic）方程”。盡管16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家不會(huì)用這種表達(dá)式，但費(fèi)羅證明了其中一個(gè)根是：

這個(gè)現(xiàn)代公式適用于任何虧損立方方程，但由于不同系數(shù)符號(hào)的三次方程被認(rèn)為是不同問(wèn)題，因此費(fèi)羅的解不能直接應(yīng)用到其他虧損立方方程。我們只知道費(fèi)羅解出這些三次方根是因?yàn)樗堰@個(gè)技術(shù)教給了他的學(xué)生菲奧爾（Antonio Fior），后者在費(fèi)羅死后吹噓他能解出這樣的方程。

與此同時(shí)，自學(xué)成才的塔爾塔利亞發(fā)現(xiàn)了另一種形式的三次方程的解法——通過(guò)減去線性項(xiàng)cx。這為菲奧爾和塔爾塔利亞之間的數(shù)學(xué)對(duì)決奠定了基礎(chǔ)。1535年，他們交換了30個(gè)問(wèn)題，期限是一個(gè)半月。塔爾塔利亞給菲奧爾提供了各種各樣的問(wèn)題，而數(shù)學(xué)上較弱的菲奧爾采用了“所有雞蛋都放在一個(gè)籃子里”的策略，給塔爾塔利亞提出了30個(gè)虧損三次方程。就在截止日期的前幾天，塔爾塔利亞想出了解決這些問(wèn)題的方法，并在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)完成了所有問(wèn)題；與此同時(shí)，菲奧爾沒(méi)有解決任何問(wèn)題。塔爾塔利亞成功的消息傳遍了整個(gè)意大利，而被羞辱的菲奧爾也從人們的視野中消失了。

當(dāng)時(shí)的普遍看法是，解出立方方程是不可能的，所以塔爾塔利亞的成就震驚了卡爾達(dá)諾。

卡爾達(dá)諾是當(dāng)時(shí)的一位備受追捧的醫(yī)生，但他脾氣暴躁、賭博、與行為不端的兒子斗爭(zhēng)、在宗教裁判所入獄等等，被一個(gè)又一個(gè)麻煩所困擾。然而他仍然在數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、哲學(xué)、宗教、音樂(lè)和物理方面做出了貢獻(xiàn)。幾十年后，戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）寫(xiě)道，“卡爾達(dá)諾是一個(gè)偉大的人，因?yàn)樗哂械娜秉c(diǎn)；如果沒(méi)有這些缺點(diǎn)，他將是無(wú)與倫比的?！彼淖髌芳L(zhǎng)達(dá)7000頁(yè)，其中包括對(duì)概率論的首次嚴(yán)肅研究。

卡爾達(dá)諾試圖復(fù)制塔爾塔利亞在立方上的成功，但失敗了，所以他開(kāi)始施壓說(shuō)服塔爾塔利亞分享他的方法，甚至發(fā)誓承諾保密：

我以《神圣的福音》和我作為紳士的信仰向你發(fā)誓，如果你把你的發(fā)現(xiàn)告訴我，我不僅永遠(yuǎn)不會(huì)公布，而且作為一個(gè)真正的基督徒，我保證把它們用密碼記錄下來(lái)，這樣在我死后就沒(méi)有人能理解了。

最終，在1539年，塔爾塔利亞妥協(xié)了，與卡爾達(dá)諾分享了他求解虧損三次方程的技巧。雖然沒(méi)有分享完整的證明，但對(duì)于聰明的卡爾達(dá)諾來(lái)說(shuō)，僅僅知道這個(gè)方法就足以發(fā)現(xiàn)潛在的數(shù)學(xué)原理。不久之后，卡爾達(dá)諾就能解出任何一個(gè)虧損三次方程。他觀察到了這種替換：

盡管他對(duì)塔爾塔利亞發(fā)了誓，但卡爾達(dá)諾還是把這些結(jié)果告訴了他才華橫溢的助手盧多維科·費(fèi)拉里（Ludovico Ferrari）。他一開(kāi)始只是卡爾達(dá)諾的仆人，但最終在數(shù)學(xué)上可以與卡爾達(dá)諾平起平坐。通過(guò)幫助卡爾達(dá)諾研究三次方程，他在代數(shù)上非常熟練，發(fā)現(xiàn)了如何將四次方程（一元四次）簡(jiǎn)化為三次方程。因此，卡爾達(dá)諾和費(fèi)拉里得以求解任何四次或四次以下的方程。

卡爾達(dá)諾認(rèn)識(shí)到這些成就的重要性，并迫切希望公布這些結(jié)果。但它們都是由塔爾塔利亞種下的種子長(zhǎng)出來(lái)的，這樣做會(huì)違背他的誓言。

1543年，在一次博洛尼亞之旅中，卡爾達(dá)諾在費(fèi)羅的手稿中看到，他比塔爾塔利亞更早地解決了虧損三次方程問(wèn)題。在卡爾達(dá)諾看來(lái)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)解除了他對(duì)塔爾塔利亞的義務(wù)。兩年后，卡爾達(dá)諾出版了《大術(shù)》（Ars Magna），其中包括他和費(fèi)拉里關(guān)于三次和四次方程的研究。

盡管卡爾達(dá)諾在書(shū)中承認(rèn)了塔爾塔利亞的工作，但他勃然大怒，指控卡爾達(dá)諾盜竊并違背了神圣的誓言?？栠_(dá)諾則把這些指責(zé)留給了他忠誠(chéng)的攻擊犬費(fèi)拉里。激烈的論戰(zhàn)以公開(kāi)小冊(cè)子的形式持續(xù)了好幾個(gè)月，導(dǎo)致了塔爾塔利亞和費(fèi)拉里之間的數(shù)學(xué)對(duì)決，并最終在費(fèi)拉里的家鄉(xiāng)米蘭進(jìn)行了公開(kāi)辯論。塔爾塔利亞更愿意與受人尊敬的卡爾達(dá)諾作戰(zhàn)，但被拒絕了。盡管留存的細(xì)節(jié)很少，但針對(duì)塔爾塔利亞的攻擊非常激烈，尤其是在對(duì)手家鄉(xiāng)喧鬧的人群中。到第二天繼續(xù)辯論的時(shí)候，塔爾塔利亞卻不見(jiàn)了，因?yàn)樗呀?jīng)離開(kāi)了米蘭。

費(fèi)拉里收到了大量的工作邀請(qǐng)，而塔爾塔利亞的名聲毀了。盡管除了那些與三次冪有關(guān)的成就之外，塔爾塔利亞還有許多顯著的成就，但他死時(shí)身無(wú)分文，無(wú)人問(wèn)津；而卡爾達(dá)諾卻獲得了永恒的名譽(yù)，許多人認(rèn)為《大術(shù)》的出版標(biāo)志著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開(kāi)始。

1824年，尼爾斯·阿貝爾（Niels Abel）首次完整地證明了這一事實(shí)，比《大術(shù)》晚了近三個(gè)世紀(jì)。在1830年，18歲的政治煽動(dòng)者埃瓦里斯·迦羅瓦（évariste Galois）通過(guò)給出任意階多項(xiàng)式何時(shí)可解的確切標(biāo)準(zhǔn)，擴(kuò)展了這項(xiàng)工作。雖然伽羅瓦在兩年后死于一場(chǎng)決斗（用槍而不是數(shù)學(xué)的決斗），但他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是巨大的。

這些“不可能”的結(jié)果并不是故事的結(jié)局。數(shù)學(xué)家仍然在研究多項(xiàng)式、它們的根和性質(zhì)。大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）在1900年提出了一個(gè)關(guān)于七次多項(xiàng)式根的著名問(wèn)題。上世紀(jì)50年代就被認(rèn)為已經(jīng)解決了的問(wèn)題，現(xiàn)在又重新引起了人們的興趣。據(jù)推測(cè)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家可以在這個(gè)問(wèn)題上取得新的進(jìn)展，還不必重演圍繞三次冪的競(jìng)爭(zhēng)。