問題  設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，并且,則對于任意的，有

其中余項(xiàng)

中值介于與之間，問下列兩個(gè)等式是否成立？

(1) 當(dāng)固定時(shí)，有;

(2) 當(dāng)固定時(shí)，有

答  (1)等式不一定成立。

因?yàn)楫?dāng)確定后，與有關(guān)，而又與有關(guān)，當(dāng)時(shí)，不一定趨于0.

例如，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且

取, 則

即當(dāng)時(shí)，不趨于0.

備注：在我們之后學(xué)習(xí)過冪級數(shù)（初等函數(shù)的冪級數(shù)展開）的收斂域之后，將能更深刻地理解這個(gè)問題，本題中位于冪級數(shù)的收斂域之外。而關(guān)于當(dāng)時(shí)余項(xiàng)趨于0的問題，我們也會在學(xué)習(xí)冪級數(shù)的時(shí)候詳細(xì)討論。

(2)式成立。只需注意到極限，代入的表達(dá)式，直接求極限就會得到

順便指出，余項(xiàng)當(dāng)時(shí)不僅是一個(gè)無窮小量，應(yīng)用洛必達(dá)法則及導(dǎo)數(shù)的定義，如果在點(diǎn)存在階導(dǎo)數(shù)（不需要在鄰域內(nèi)存在n解導(dǎo)數(shù)），那么還是一個(gè)比高階的無窮小量，并且我們把

稱為皮亞諾型的余項(xiàng)。

帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，經(jīng)常能幫助我們計(jì)算一些復(fù)雜的極限，在同濟(jì)七版泰勒公式章節(jié)有多道例題與此有關(guān)，建議大家好好看看練一練。