最近因?yàn)橐咔榈年P(guān)系，很多學(xué)校都推遲了開學(xué)時(shí)間，或者改成了網(wǎng)上教學(xué)。對于很多學(xué)生來說，在眾多課程中，微積分是繞不過的一科。即使被虐千萬遍，也依然要待它如初戀……

下面這段歷史也許能幫你堅(jiān)定學(xué)習(xí)微積分的決心：1665 年，倫敦爆發(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)關(guān)閉，一位年輕人不得不返回家鄉(xiāng)，在家鄉(xiāng)的兩年中，他主要研究了微積分、萬有引力定律和光學(xué)，這些理論對后世產(chǎn)生了巨大的影響，而這個(gè)年輕人正是我們所熟知的牛頓大神。

當(dāng)然，絕大部分人不可能像牛頓那樣在疫情期間研究出舉世聞名的理論，不過至少，我們可以在這段時(shí)間學(xué)習(xí)一下牛頓留給我們的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)——微積分。

“工欲善其事，必先利其器”，今天推薦的就是一本能夠助大家學(xué)好微積分，被讀者譽(yù)為“0 基礎(chǔ)也能看懂的高等數(shù)學(xué)書”——《普林斯頓微積分讀本》！

豆瓣 9.6 分高分評價(jià)：

這本經(jīng)典著作源于風(fēng)靡美國普林斯頓大學(xué)的阿德里安·班納教授的微積分復(fù)習(xí)課程，將易用性與可讀性以及內(nèi)容的深度與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)完美地結(jié)合在了一起，激勵(lì)學(xué)生不再懼怕微積分，并在考試中獲得高分。

本書闡述了求解微積分的技巧，詳細(xì)講解了微積分基礎(chǔ)、極限、連續(xù)、微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、積分、無窮級數(shù)、泰勒級數(shù)與冪級數(shù)等內(nèi)容，旨在教會(huì)讀者如何思考問題從而找到解題所需的知識(shí)點(diǎn)，著重訓(xùn)練大家自己解答問題的能力。

阿德里安·班納教授

作者有話說：這本書旨在幫助你學(xué)習(xí)單變量微積分的主要概念, 同時(shí)也致力于教會(huì)你求解問題的技巧。無論你是第一次接觸微積分, 還是為了準(zhǔn)備一次測驗(yàn), 或是已經(jīng)學(xué)過微積分還想再溫習(xí)一遍, 我都希望本書能夠?qū)δ阌兴鶐椭?/p>

寫作本書的靈感來自我在普林斯頓大學(xué)的學(xué)生們。他們在過去的幾年里發(fā)現(xiàn), 與課堂授課、作業(yè)講解以及他們的教科書一樣, 本書的初稿是很有幫助的學(xué)習(xí)指南。以下是他們在學(xué)習(xí)過程中提出的一些你可能也想問的問題。

這本書為什么這么厚？（668 頁） 我是假設(shè)你真的想要掌握這門課程, 而不只是想囫圇吞棗, 一知半解, 所以你已經(jīng)準(zhǔn)備好投入一些時(shí)間和精力, 去閱讀并理解這些詳盡的闡述。

閱讀之前, 我需要知道些什么？　你需要了解一些基本的代數(shù)知識(shí), 并且要知道如何求解簡單的方程式。本書的前兩章涵蓋了你所需要的大部分的微積分預(yù)備知識(shí)。

例題的求解過程在哪里？我所看到的只是大量的文字與少量的公式。 首先, 看一個(gè)求解過程并不能教會(huì)你應(yīng)該怎樣思考。所以我通常試圖給出一種“內(nèi)心獨(dú)白”, 即當(dāng)你嘗試求解問題的時(shí)候, 腦海中應(yīng)該經(jīng)歷怎樣的思考過程。最后, 你想到了求解問題的所有知識(shí)點(diǎn), 但仍然需要用正確的方式把它們?nèi)繉懗鰜?。我的建議是, 先看懂并理解問題的求解方法, 然后再返回來嘗試自己解答。

定理的證明哪兒去了？　本書中的大部分定理都以某種方式被驗(yàn)證了，在附錄 A 中可以找到更多正式的證明過程。

主題沒有次序! 我該怎么辦呢？　學(xué)習(xí)微積分沒有什么標(biāo)準(zhǔn)次序。我選擇的順序是有效的, 但你可能還得通過搜索目錄來查找你需要的主題, 我也可能遺漏了一些主題，大家可以給我發(fā)郵件：地址是 adrian@calclifesaver.com。你一定想不到, 我可能會(huì)為你寫一個(gè)附加章節(jié)。（也為下一版寫, 如果有的話!）

我們學(xué)校可以用這本書作為教材嗎？　這本書配有很好的習(xí)題集, 可以作為一本教材, 也可以用作一本學(xué)習(xí)指南，你的任課老師也會(huì)發(fā)現(xiàn)這本書很有助于備課, 特別是在問題求解的技巧方面。

這些視頻是什么？　這些視頻是我過去復(fù)習(xí)課的錄像, 其中涉及了很多 （但不是全部)本書的章節(jié)和例題。

班納教授的復(fù)習(xí)課視頻，B 站可看，點(diǎn)擊「鏈接」可跳轉(zhuǎn)觀看

來看看讀過的讀者怎么說：

《普林斯頓微積分讀本》目錄如下：

第1章　函數(shù)、圖像和直線　　1

1.1　函數(shù)　　1

1.2　反函數(shù)　　6

1.3　函數(shù)的復(fù)合　　10

1.4　奇函數(shù)和偶函數(shù)　　12

1.5　線性函數(shù)的圖像　　14

1.6　常見函數(shù)及其圖像　　16

第2章　三角學(xué)回顧　　21

2.1　基本知識(shí)　　21

2.2　擴(kuò)展三角函數(shù)定義域　　23

2.3　三角函數(shù)的圖像　　29

2.4　三角恒等式　　32

第3章　極限導(dǎo)論　　34

3.1　極限：基本思想　　34

3.2　左極限與右極限　　36

3.3　何時(shí)不存在極限　　37

3.4　在∞和-∞處的極限　　38

3.5　關(guān)于漸近線的兩個(gè)常見誤解　　41

3.6　三明治定理　　43

3.7　極限的基本類型小結(jié)　　45

第4章　求解多項(xiàng)式的極限問題　　47

4.1　x → a時(shí)的有理函數(shù)的極限　　47

4.2　x → a時(shí)的平方根的極限　　50

4.3　x → ∞時(shí)的有理函數(shù)的極限　　51

4.4　x → ∞時(shí)的多項(xiàng)式型函數(shù)的極限　　56

4.5　x → -∞時(shí)的有理函數(shù)的極限　　59

4.6　包含絕對值的函數(shù)的極限　　61

第5章　連續(xù)性和可導(dǎo)性　　63

5.1　連續(xù)性　　63

5.2　可導(dǎo)性　　71

第6章　求解微分問題　　84

6.1　使用定義求導(dǎo)　　84

6.2　用更好的辦法求導(dǎo)　　87

6.3　求切線方程　　98

6.4　速度和加速度　　99

6.5　導(dǎo)數(shù)偽裝的極限　　101

6.6　分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　　103

6.7　直接畫出導(dǎo)函數(shù)的圖像　　106

第7章　三角函數(shù)的極限和導(dǎo)數(shù)　　111

7.1　三角函數(shù)的極限　　111

7.2　三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　　124

第8章　隱函數(shù)求導(dǎo)和相關(guān)變化率　　132

8.1　隱函數(shù)求導(dǎo)　　132

8.2　相關(guān)變化率　　138

第9章　指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)　　148

9.1　基礎(chǔ)知識(shí)　　148

9.2　e 的定義　　153

9.3　對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)　　158

9.4　求解指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的極限　　161

9.5　取對數(shù)求導(dǎo)法　　169

9.6　指數(shù)增長和指數(shù)衰變　　173

9.7　雙曲函數(shù)　　178

第10章　反函數(shù)和反三角函數(shù)　　181

10.1　導(dǎo)數(shù)和反函數(shù)　　181

10.2　反三角函數(shù)　　187

10.3　反雙曲函數(shù)　　199

第11章　導(dǎo)數(shù)和圖像　　202

11.1　函數(shù)的極值　　202

11.2　羅爾定理　　206

11.3　中值定理　　209

11.4　二階導(dǎo)數(shù)和圖像　　212

11.5　對導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)的分類　　215

第12章　繪制函數(shù)圖像　　219

12.1　建立符號表格　　219

12.2　繪制函數(shù)圖像的全面方法　　224

12.3　例題　　225

第13章　最優(yōu)化和線性化　　239

13.1　最優(yōu)化　　239

13.2　線性化　　249

13.3　牛頓法　　258

第14章　洛必達(dá)法則及極限問題總結(jié)　　263

14.1　洛必達(dá)法則　　263

14.2　關(guān)于極限的總結(jié)　　273

第15章　積分　　276

15.1　求和符號　　276

15.2　位移和面積　　283

第16章　定積分　　293

16.1　基本思想　　293

16.2　定積分的定義　　297

16.3　定積分的性質(zhì)　　301

16.4　求面積　　305

16.5　估算積分　　313

16.6　積分的平均值和中值定理　　316

16.7　不可積的函數(shù)　　319

第17章　微積分基本定理　　321

17.1　用其他函數(shù)的積分來表示的函數(shù)　　321

17.2　微積分的第一基本定理　　324

17.3　微積分的第二基本定理　　328

17.4　不定積分　　329

17.5　怎樣解決問題：微積分的第一基本定理　　331

17.6　怎樣解決問題：微積分的第二基本定理　　336

17.7　技術(shù)要點(diǎn)　　344

17.8　微積分第一基本定理的證明　　345

第18章　積分的方法I　　347

18.1　換元法　　347

18.2　分部積分法　　356

18.3　部分分式　　361

第19章　積分的方法II 　　373

19.1　應(yīng)用三角恒等式的積分　　373

19.2　關(guān)于三角函數(shù)的冪的積分　　376

19.3　關(guān)于三角換元法的積分　　384

19.4　積分技巧總結(jié)　　391

第20章　反常積分：基本概念　　393

20.1　收斂和發(fā)散　　393

20.2　關(guān)于無窮區(qū)間上的積分　　398

20.3　比較判別法(理論)　　400

20.4　極限比較判別法(理論)　　402

20.5　p 判別法(理論) 　　405

20.6　絕對收斂判別法　　407

第21章　反常積分：如何解題　　410

21.1　如何開始　　410

21.2　積分判別法總結(jié)　　413

21.3　常見函數(shù)在∞和-∞附近的表現(xiàn)　　414

21.4　常見函數(shù)在0附近的表現(xiàn)　　426

21.5　如何應(yīng)對不在0或1處的瑕點(diǎn)　　432

第22章　數(shù)列和級數(shù)：基本概念　　434

22.1　數(shù)列的收斂和發(fā)散　　434

22.2　級數(shù)的收斂與發(fā)散　　438

22.3　第n項(xiàng)判別法(理論) 　　442

22.4　無窮級數(shù)和反常積分的性質(zhì)　　443

22.5　級數(shù)的新判別法　　447

第23章　求解級數(shù)問題　　455

23.1　求幾何級數(shù)的值　　455

23.2　應(yīng)用第n項(xiàng)判別法　　457

23.3　應(yīng)用比式判別法　　457

23.4　應(yīng)用根式判別法　　461

23.5　應(yīng)用積分判別法　　462

23.6　應(yīng)用比較判別法、極限比較判別法和p判別法　463

23.7　應(yīng)對含負(fù)項(xiàng)的級數(shù)　　468

第24章　泰勒多項(xiàng)式、泰勒級數(shù)和冪級數(shù)導(dǎo)論　472

24.1　近似值和泰勒多項(xiàng)式　　472

24.2　冪級數(shù)和泰勒級數(shù)　　478

24.3　一個(gè)有用的極限　　485

第25章　求解估算問題　　487

25.1　泰勒多項(xiàng)式與泰勒級數(shù)總結(jié)　　487

25.2　求泰勒多項(xiàng)式與泰勒級數(shù)　　488

25.3　用誤差項(xiàng)估算問題　　491

25.4　誤差估算的另一種方法　　499

第26章　泰勒級數(shù)和冪級數(shù)：如何解題　　502

26.1　冪級數(shù)的收斂性　　502

26.2　合成新的泰勒級數(shù)　　508

26.3　利用冪級數(shù)和泰勒級數(shù)求導(dǎo)　　517

26.4　利用麥克勞林級數(shù)求極限　　519

第27章　參數(shù)方程和極坐標(biāo)　　523

27.1　參數(shù)方程　　523

27.2　極坐標(biāo)　　528

第28章　復(fù)數(shù)　　538

28.1　基礎(chǔ)　　538

28.2　復(fù)平面　　541

28.3　復(fù)數(shù)的高次冪　　544

28.4　解zn = w 　　545

28.5　解ez = w 　　550

28.6　一些三角級數(shù)　　552

28.7　歐拉恒等式和冪級數(shù)　　554

第29章　體積、弧長和表面積　　556

29.1　旋轉(zhuǎn)體的體積　　556

29.2　一般立體體積　　567

29.3　弧長　　571

29.4　旋轉(zhuǎn)體的表面積　　574

第30章　微分方程　　578

30.1　微分方程導(dǎo)論　　578

30.2　可分離變量的一階微分方程　　579

30.3　一階線性方程　　581

30.4　常系數(shù)微分方程　　585

30.5　微分方程建?！　?95

附錄A　極限及其證明　　598

A.1　極限的正式定義　　598

A.2　由原極限產(chǎn)生新極限　　602

A.3　極限的其他情形　　606

A.4　連續(xù)與極限　　611

A.5　再談指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)　　616

A.6　微分與極限　　618

A.7　泰勒近似定理的證明　　627

附錄B　估算積分　　629

B.1　使用條紋估算積分　　629

B.2　梯形法則　　632

B.3　辛普森法則　　634

B.4　近似的誤差

有了這本“利器”，希望大家在這段時(shí)間能夠?qū)W好微積分。在疫情結(jié)束之前，我們還是不能放松警惕，希望大家能少聚集，勤洗手，多讀書，多思考，說不定，你就是下一個(gè)牛頓！