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因?yàn)镃SDN感覺(jué)跟COMSOL有愁，標(biāo)題用上就說(shuō)廣告，無(wú)奈改變標(biāo)題，以求可以通過(guò)。
一、問(wèn)題描述
非線性穩(wěn)態(tài)（與時(shí)間無(wú)關(guān)）問(wèn)題在求解的過(guò)程中，有時(shí)收斂很慢。通常來(lái)說(shuō)，模型中求解的控制方程本身，與求解變量相關(guān)的材料屬性、載荷或邊界條件等，都可能在模型中引入非線性。一般來(lái)說(shuō)，多物理場(chǎng)耦合問(wèn)題都是非線性的。??
二、解決辦法
通常這類問(wèn)題與用于求解非線性穩(wěn)態(tài)模型的迭代算法有關(guān)。一般而言，該算法為牛頓法。也就是說(shuō)，軟件在求解時(shí)，求解器會(huì)從用戶指定的初始值開(kāi)始，計(jì)算所有與解相關(guān)的項(xiàng)。然后，軟件計(jì)算一個(gè)初始解，并基于此迭代地重新計(jì)算解，同時(shí)分析這些中間解對(duì)非線性的影響。當(dāng)逐次迭代之間求解結(jié)果的差值足夠小，或者當(dāng)殘差足夠小時(shí)，我們就可以認(rèn)為該問(wèn)題收斂到指定的容差。對(duì)于一個(gè)適定問(wèn)題, 初始值不當(dāng)，非線性求解器無(wú)法通過(guò)重復(fù)迭代逼近解，或因網(wǎng)格不夠細(xì)化而無(wú)法解析解的空間變化，都可能造成求解器收斂緩慢（或根本不收斂）。
- 初始值
在大多數(shù)物理場(chǎng)接口中，未知數(shù)的默認(rèn)初始值均為零?！皞鳠帷苯涌谑抢馇闆r，其溫度場(chǎng)的默認(rèn)“初始值”為 293.15K 或 20℃。當(dāng)初始值沒(méi)有為這種迭代方法提供良好的起點(diǎn)時(shí)，收斂會(huì)很差。如果我們已知所求解變量的近似估值，則可以將其作為“初始值”框中的表達(dá)式輸入。然而，除了一些傳熱問(wèn)題外，我們通常很難獲得所求解變量的近似估值，因此需要考慮使用替代方法。
- 載荷緩慢變化
一般來(lái)說(shuō)，如果非線性系統(tǒng)的載荷為零，則該系統(tǒng)將處于靜止?fàn)顟B(tài)，即，解為零。因此，如果施加的載荷非常小，那么初始值為零幾乎總是合理的。如果施加的載荷足夠小，非線性求解器從初始條件為零開(kāi)始計(jì)算，將得到收斂解。也就是說(shuō)，您可以先求解具有很小但非零載荷的模型?；诖?，如果逐漸附加載荷增量，則先前計(jì)算的解就可以作為合理的初始條件。對(duì)這個(gè)邏輯進(jìn)行擴(kuò)展，如果您想要求解非線性系統(tǒng)中的任意載荷，則可求解一系列中間問(wèn)題，在此過(guò)程中逐漸增加載荷值，并且每次都使用上一步的解作為下一步的初始條件。**在軟件中這可以通過(guò)連續(xù)法完成，當(dāng)您使用輔助掃描研究擴(kuò)展時(shí)，系統(tǒng)會(huì)默認(rèn)啟用此方法，**如下所示。
“輔助掃描”可用于實(shí)現(xiàn)緩慢增加載荷和問(wèn)題的非線性。
您可以引入一個(gè)全局參數(shù)P，并將其從接近 0 的值逐漸增加到 1。此參數(shù)在物理場(chǎng)接口中用于乘以一個(gè)、部分或所有外加載荷系數(shù)。
這種技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在兩個(gè)方面。首先，這種方法在物理上很直觀，通常與人們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的方式相符合。其次，如果找不到解，連續(xù)法將自動(dòng)采用較小的載荷增量。例如，如果在遞增 P 時(shí)采用以下值：0.2,0.4,0.6,0.8,1.0，那么，當(dāng)值為 0.8 時(shí)，非線性求解器可能無(wú)法收斂。在這種情況下，連續(xù)法將自動(dòng)回溯并嘗試求解 0.6 到 0.8 范圍內(nèi)的中間值。由于軟件隨后將返回可能的最大載荷工況估計(jì)值，此時(shí)求解器可以收斂，因此這種方法非常有用。
- 非線性斜坡變化
載荷斜坡變化技術(shù)并不總是適用于所有問(wèn)題。在這種情況下，您可以使用相同的連續(xù)法，但改為使模型中的非線性呈斜坡變化。非線性與控制方程、材料非線性表達(dá)式或物理場(chǎng)之間的耦合項(xiàng)緊密相關(guān)。同樣，您可以引入一個(gè)全局參數(shù)，使其從 0 逐漸增加到 1。使用此參數(shù)對(duì)模型中的非線性表達(dá)式進(jìn)行修正。例如，存在溫度相關(guān)的材料屬性時(shí)，如：
k(T)=10[W/m/K]?exp(?(T?293[K])/100[K])
您可以將其替換為以下表達(dá)式：
k(T,P)=10[W/m/K]?((1?P)+P?exp(?(T?293[K])/100[K]))
當(dāng)值為 P=0 時(shí)，上述表達(dá)式呈線性，值為 P=1 時(shí)，該表達(dá)式等于原始非線性表達(dá)式。隨著 P 值的斜升，連續(xù)法會(huì)使用先前的解作為更多非線性情況的初始條件。如果您定義了這種非線性斜坡變化，使第一種情況 (P=0) 是一個(gè)純線性問(wèn)題，那么必然會(huì)得到斜坡變化中第一步的解。
對(duì)于模型中存在任何非線性項(xiàng)變化突然的情況，尤其適合使用非線性斜坡變化這一技術(shù)。在極端情況下，假設(shè)我們想要對(duì)屬性的瞬時(shí)變化進(jìn)行建模，比如：
(T)=10[W/m/K]+10[W/m/K]?(T>400[K])
也就是說(shuō)，材料屬性在 400K 時(shí)，從 10W/m/K 瞬間變?yōu)?20W/m/K。由于這種材料屬性的變化不平滑，因此這種情況通常難以求解，或不可能求解。此時(shí)，可以改用非線性材料屬性表達(dá)式，從非常平滑的函數(shù)過(guò)渡為幾乎不連續(xù)的函數(shù)。連續(xù)法將再次回溯并嘗試求解斜坡參數(shù)的中間值，從而為可求解的突變提供最接近的值。
您可以將載荷和非線性的斜坡變化結(jié)合使用，但開(kāi)始時(shí)只研究一個(gè)/幾個(gè)載荷或非線性呈斜坡變化的情況。您可以檢查求解器日志，查看連續(xù)法是否回溯。如果已回溯，請(qǐng)?jiān)谠摲秶鷥?nèi)使用更小的增量。
- 網(wǎng)格細(xì)化
如果采用載荷和非線性斜坡變化后，求解器仍然收斂緩慢，您可以嘗試細(xì)化網(wǎng)格。有限元網(wǎng)格必須足夠細(xì)化才能解析解場(chǎng)的空間變化。理想情況下，對(duì)于解在空間中快速變化的區(qū)域，我們可以使用小單元，而在其他區(qū)域使用較大的單元。但是，我們通常不可能提前知道這一點(diǎn)。因此，建議您使用自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化，此功能僅對(duì)有必要細(xì)化網(wǎng)格的區(qū)域自動(dòng)執(zhí)行網(wǎng)格細(xì)化，而在其他區(qū)域使用粗化網(wǎng)格。此外，您也可以手動(dòng)細(xì)化網(wǎng)格。有關(guān)更多詳細(xì)信息，請(qǐng)參見(jiàn)：執(zhí)行網(wǎng)格細(xì)化研究。
網(wǎng)格細(xì)化通?？赡苄枰c載荷或非線性的斜坡變化結(jié)合使用，并可能需要進(jìn)行一系列研究，您可以首先對(duì)非線性斜坡變化使用相對(duì)粗化的網(wǎng)格，接著細(xì)化網(wǎng)格，然后再使細(xì)化的網(wǎng)格進(jìn)一步產(chǎn)生斜坡變化。將非線性斜坡變化和自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化技術(shù)與多個(gè)研究步驟相結(jié)合的示例模型為： 金屬冷卻和凝固。
- 求解方法
您可以使用兩種方法來(lái)迭代求解非線性方程組：全耦合或分離方法。前一種方法一次求解問(wèn)題中的所有未知量，并在單次迭代中考慮所有未知量之間的所有耦合項(xiàng)。這種方法的計(jì)算成本相對(duì)較高，但收斂效果最佳。默認(rèn)情況下，大多數(shù)一維、二維和二維軸對(duì)稱模型都使用此方法。
另一種是分離法，可分別求解多組未知量。我們通常根據(jù)未知量所表示的物理場(chǎng)將其分成多個(gè)組，然后依次對(duì)這些組進(jìn)行求解。也就是說(shuō)，在每個(gè)外部牛頓型迭代中，分離法按順序求解每個(gè)分離的組。因此，軟件使用任何先前計(jì)算步驟中的解作為初始值和線性化點(diǎn)，將每個(gè)物理場(chǎng)作為單獨(dú)的問(wèn)題進(jìn)行求解，其中忽略不同組之間的耦合項(xiàng)。盡管如此，分離法通常也能非常穩(wěn)健地收斂（模型中的物理場(chǎng)之間存在強(qiáng)耦合的情況除外）。與全耦合方法相比，這種方法的內(nèi)存需求始終更低，并且總的求解時(shí)間也往往更短。默認(rèn)情況下，大多數(shù)三維多物理場(chǎng)模型都使用分離法，并且軟件會(huì)自動(dòng)將問(wèn)題分成適當(dāng)?shù)慕M。
要在這兩類求解器之間進(jìn)行切換，請(qǐng)轉(zhuǎn)到研究序列中的穩(wěn)態(tài)求解器節(jié)點(diǎn)。該節(jié)點(diǎn)始終包含分離或全耦合特征。右鍵單擊穩(wěn)態(tài)求解器節(jié)點(diǎn)并添加分離或全耦合特征。在任一特征中，啟用求解時(shí)顯示結(jié)果選項(xiàng)（如下面的屏幕截圖所示）也很有幫助，可以將求解期間進(jìn)行的迭代可視化。
“全耦合”求解方法，其中已啟用“求解時(shí)繪圖”。
有時(shí)，您需要手動(dòng)縮放因變量。請(qǐng)參見(jiàn)知識(shí)庫(kù) 1240：手動(dòng)設(shè)置變量的縮放比例。
您可以選擇使用穩(wěn)態(tài)求解器中的其他低級(jí)默認(rèn)設(shè)置，從而增強(qiáng)穩(wěn)定性。也就是說(shuō)，通過(guò)調(diào)整這些設(shè)置，在盡可能多的情況下實(shí)現(xiàn)收斂。盡管在模型逐漸收斂時(shí)，您可以調(diào)整這些設(shè)置以減少求解時(shí)間和內(nèi)存需求，但與結(jié)合使用本知識(shí)庫(kù)中的其他技術(shù)相比，更改這些設(shè)置幾乎沒(méi)有優(yōu)勢(shì)。更改這些低級(jí)別設(shè)置的默認(rèn)值通常與特定的模型和具體情況緊密相關(guān)。
- 模型檢查的通用方法
如果您不清楚上述任何策略是否有效，可以采用更通用的方法來(lái)驗(yàn)證模型的一般有效性。這涉及系統(tǒng)性降低模型的復(fù)雜性。請(qǐng)檢查模型并確定會(huì)引入非線性的所有項(xiàng)，例如多物理場(chǎng)耦合、非線性材料關(guān)系和非線性邊界條件。您可以使用合理的線性化項(xiàng)替換任何非線性項(xiàng)，并對(duì)模型的每個(gè)非線性重復(fù)此操作。對(duì)于多物理場(chǎng)耦合，請(qǐng)勿使用全耦合方法（默認(rèn)方法）求解問(wèn)題，而是按順序進(jìn)行求解，即逐個(gè)求解各個(gè)物理場(chǎng)。這里的目標(biāo)是將模型簡(jiǎn)化為可通過(guò)線性近似求解的狀態(tài)。經(jīng)過(guò)充分簡(jiǎn)化，您可以將模型降階，將其轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，如果簡(jiǎn)化模型不收斂，請(qǐng)參見(jiàn)：如何解決線性穩(wěn)態(tài)模型不能求解的問(wèn)題。
在找到簡(jiǎn)化模型的可求解版本后，再逐漸增加模型的復(fù)雜性，重新引入非線性和多物理場(chǎng)耦合。系統(tǒng)性地使用這種技術(shù)和前面描述的技術(shù)，通?？梢源_定模型中導(dǎo)致問(wèn)題的非線性，不僅如此，還可以揭示模型本身在某種程度上是不適定的。有時(shí)，降低模型的復(fù)雜性可能是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，最好從盡可能簡(jiǎn)單的情況著手，然后逐漸增加復(fù)雜性。鑒于此，我們始終建議您使用簡(jiǎn)化的二維或二維軸對(duì)稱模型開(kāi)始此過(guò)程。
- 轉(zhuǎn)化為瞬態(tài)公式
如果您已經(jīng)嘗試了上述所有方法，并確定問(wèn)題本身是適定的，那么可以認(rèn)為這個(gè)非線性問(wèn)題實(shí)際上可能并沒(méi)有穩(wěn)態(tài)（時(shí)不變）解。一個(gè)經(jīng)典的例子是圓柱體周圍具有恒定高流速的流體流動(dòng)。在低流速下，流動(dòng)解是時(shí)不變的，但在較高的流率下，將發(fā)生渦旋脫落，這是圓柱體后方流場(chǎng)中發(fā)生的時(shí)變變化。此類問(wèn)題必須在時(shí)域進(jìn)行求解。
在這種情況下，從一致的初始值開(kāi)始，使載荷隨時(shí)間逐漸呈斜坡變化，這種方法將特別有用。隨著時(shí)間的推移，非線性斜坡變化并沒(méi)有那么明顯，但在整個(gè)仿真過(guò)程中，應(yīng)該對(duì)非線性階躍變化進(jìn)行平滑處理。您可以在整個(gè)仿真域中使用非常細(xì)化的網(wǎng)格，也可以使用自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化。
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