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今天我們要討論一個許多人都害怕的主題。我說的是微積分。雖然一開始聽到導(dǎo)數(shù)和積分可能有點令人震驚，但事實是，當你理解它時，它簡直太神奇了。如果您不熟悉微積分或數(shù)學(xué)，請不要擔心，我們將以概念的方式進行解釋。

讓我們開始考慮一個圓。我們了解到圓的面積是使用公式2 * PI * r計算的，其中r是圓的半徑。但這是從哪里來的呢？讓我們把我們的圈子分成許多環(huán)，像這樣：

為此，我們將環(huán)的厚度稱為dr。我們可以把環(huán)想象成盤繞的線。如果我們展開它，我們會看到圖形類似于一個矩形，所以我們將這個環(huán)近似為一個矩形。也就是說，我們的厚度將是矩形高度，而2 * PI * r（cirfumfere 的公式）是矩形寬度。所以我們矩形近似的面積是2 * PI * r * dr。但是隨著dr變得越來越?。ㄟ@意味著當我們將圓切成越來越小的環(huán)時），近似值將變得越來越錯誤。

請注意，我們將圓劃分為許多環(huán)，因此可以得出圓的面積是所有環(huán)的面積之和的結(jié)論是合乎邏輯的。一種可視化的方法是繪制從 0 到 r 的圖形，其中的列代表我們的環(huán)。

如果我們?yōu)閐r選擇越來越小的值，我們的矩形面積就會越來越接近圖表下的精確面積。圖下部分是一個三角形，底為1，高為2 * PI * 1 。所以面積，即(base * height) / 2 是 PI *12 ?；蛘?，如果我們原來的圓的半徑是其他值 R，面積 = 1/2 * R * 2 * PI * R = PI * R2

積分

假設(shè)我們有以下函數(shù) f(t) = t3 的圖形：

f(t) = t3 的圖表

現(xiàn)在，我們將左端點設(shè)置在原點 (0)，但我們認為右端點（我們稱之為 x）會發(fā)生變化。當我們考慮端點 x 的變化時，我們?nèi)绾蚊枋?f(t) 圖下的面積？

我們通過以下方式進行：

在數(shù)學(xué)中，積分是一個概念，用于計算曲線下的面積或函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的總累加值。考慮一個線性函數(shù)，例如f(x) = 2。此函數(shù)以圖形方式表示如下：

f(x) = 2

要計算我們函數(shù)下的面積，我們只需計算該區(qū)間上函數(shù)的高度和區(qū)間本身的寬度所形成的矩形的面積。

但是，我們可能會處理更復(fù)雜的函數(shù)，例如多項式。想象一個像下面這樣的函數(shù)：

多項式函數(shù)圖 多項式函數(shù)圖

在那種情況下，不可能像我們以前那樣使用簡單的幾何來計算面積。相反，我們使用積分來近似曲線下的面積。積分涉及將曲線下的區(qū)域劃分為無數(shù)個寬度無限小的小矩形，然后將所有矩形的面積相加。結(jié)果大約是曲線下的總面積，就像我們使用圓環(huán)表示的那樣。這是整合理論的基礎(chǔ)。

導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)通常被定義為“瞬時變化率”，但請仔細考慮一下這個定義。只有當我們衡量不同的時間點時，事情才會改變。想一想一輛行駛中的汽車：如果我告訴你我們的汽車以每小時 60 公里的速度行駛，并問我們的汽車在瞬間i 的速度是多少，會怎樣？

你無法測量汽車在某一瞬間的速度，因為我們沒有單獨的時間點，所以沒有改變的余地。速度本身就是在給定時間內(nèi)行進的距離，所以這是一個悖論。但是我們有速度計對嗎？當你開車時，汽車會在給定時刻顯示你的速度……或者這就是它看起來正在發(fā)生的事情。實際上，汽車系統(tǒng)在非常短的時間內(nèi)計算速度。

這意味著如果我們選擇少量的時間dt，我們可以計算運行中的上升：

這里提出的想法幾乎就是導(dǎo)數(shù)。雖然汽車會選擇像 0.001 秒這樣的小數(shù)值來計算速度，但在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)數(shù)并不是特定選擇dt的這個比率。當dt 的選擇接近 0 時，它是該比率接近的任何值。

考慮ds/dt 的另一種方法是通過圖中兩點的線的斜率。導(dǎo)數(shù)等于在單個點處與圖形相切的直線的斜率。

A點上的切線

例如，讓我們考慮一個線性函數(shù)，例如f(x) = 2x + 2 。了解了導(dǎo)數(shù)的概念，我們可以很容易地計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。此函數(shù)的圖形如下所示：

f(x) = 2x + 2 的圖形

x的值無關(guān)緊要，直線的斜率始終為 2（因為在形式為f(x) = ax + b的線性方程中，a 表示決定直線斜率的線性系數(shù)。在我們的案例，它是一個）。常數(shù)值的導(dǎo)數(shù)，比如我們的b是0，因為常數(shù)值沒有變化。也就是說，線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是它的線性系數(shù)a。在我們的例子中，請注意，每當我們將 X 增加 1 個單位時，函數(shù)的值就會增加 2 個單位，因此變化率始終相同。

有很多技術(shù)可以計算其他類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如冪、指數(shù)、對數(shù)等。我不會在本文中介紹這些內(nèi)容，因為它主要是概念性的。

導(dǎo)數(shù)的正式定義是，y相對于x的導(dǎo)數(shù)定義為隨著x0和x1之間的距離越來越小， y的變化超過x的變化。[來源]

這是導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義，它是 f(x) 圖形在該點的切線的斜率，它衡量 f(x) 的值隨著 x 的微小變化而變化的速度。

微積分基本定理

我們已經(jīng)完成了本文中的所有內(nèi)容，現(xiàn)在是時候?qū)⑺鼈兤唇釉谝黄鸩⒗斫馇€斜率與其下方面積之間的關(guān)系，即微積分基本定理。它指出積分（integrals）和微分（derivatives）是彼此的逆運算。

它指出對于函數(shù)f，可以將反導(dǎo)數(shù)作為f在具有可變上限的區(qū)間上的積分來獲得。

快速定義：函數(shù)f的反導(dǎo)數(shù)（也稱為不定積分）是一個可微函數(shù)F，其導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)f。（F' = f）。

基本上，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是連續(xù)的，并且如果F(x)是f(x)在該區(qū)間I上的任何反導(dǎo)數(shù)，則f(x)的不定積分是F(x) + 積分持續(xù)的。換句話說，積分取消微分并將原始函數(shù)恢復(fù)到任意常數(shù)。這就是說它們是彼此的逆運算。

該定理還指出， f在固定區(qū)間內(nèi)的積分等于區(qū)間兩端之間任何反導(dǎo)數(shù)F的變化。它簡化了定積分的計算。

簡直太神奇了。