微積分(Calculus)是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)學(xué)科。

微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論。

積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

目錄

1 函數(shù)與自變量的關(guān)系

2 對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

3 自然常數(shù)e

4 單位弧度

5 一個完整的圓的弧度

6 介值定理

7 速度的圖像闡釋

7 導(dǎo)函數(shù)

8 二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)

9 切線方程

10 直接畫出導(dǎo)函數(shù)的圖像

11 單位圓的切線斜率

12 全局極值和局部極值

13 羅爾定理

14 中值定理(Mean Value Theorem)

15 二階導(dǎo)數(shù)和圖像

16 一個最優(yōu)化的例子

17 微分(The differential)

18 牛頓法

19 速度曲線下的面積

20 定積分

21 用其他函數(shù)的積分來表示的函數(shù)

22 微積分的第一基本定理(The First Fundamental Theorem)

1 函數(shù)與自變量的關(guān)系

函數(shù)，從字面理解就是包含自變量，與自變量有對應(yīng)關(guān)系的變量。

2 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

3 自然常數(shù)e

e 是描述增長率的自然常量, 并且 e^x 還是唯一具有下面性質(zhì)的函數(shù):

這個函數(shù)曲線上的每一個點的 y 值, 在該點的斜率和曲線下面積三者都是相同值.

特別是當(dāng) x =1 時, 函數(shù)值就等于 e. 斜率也是 e, 而曲線下的面積也是 e.

也正是因為這個主要性質(zhì), 使得它成為了微積分中最喜聞樂見的符號(微積分也正是描述變化率, 極限求和的數(shù)學(xué)). 所以當(dāng)在微積分課程中, 每每遇到 e 的計算, 你覺得計算應(yīng)該會簡單很多.

4 單位弧度

單位弧度：圓弧長度等于半徑時對應(yīng)的圓心角。

5 一個完整的圓的弧度

一周的弧度數(shù)為2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度約為57.3°，即57°17'44.806''，1°為π/180弧度，近似值為0.01745弧度，周角為2π弧度，平角（即180°角）為π弧度，直角為π/2弧度。在具體計算中，角度以弧度給出時，通常不寫弧度單位，直接寫值。下面是是一些常用角的度和弧度表達(dá).

6 介值定理

介值定理，又名中間值定理，是閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)之一。在數(shù)學(xué)分析中，介值定理表明，如果定義域為[a，b]的連續(xù)函數(shù)f，那么在區(qū)間內(nèi)的某個點，它可以在f（a）和f（b）之間取任何值，也就是說，介值定理是在連續(xù)函數(shù)的一個區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值肯定介于最大值和最小值之間。

7 速度的圖像闡釋

當(dāng) t+h 趨于 t 時, Q 點就越來越接近點 P 點. 由于瞬時速度是割線在 h 趨于 0 時的極限. 于是瞬時速度就等于通過點 P 的切線的斜率.

7 導(dǎo)函數(shù)

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)描述了這個函數(shù)在這一點附近的變化率。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點x0上產(chǎn)生一個增量Δx時，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或df(x0)/dx。

對f 關(guān)于變量x求導(dǎo)得到函數(shù) f' , 也即是

8 二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù) f 取其導(dǎo)數(shù)得到一個新的函數(shù) f', 實際上可以采用這個新的函數(shù), 再次求導(dǎo). 最終得到導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 這被稱為二階導(dǎo), 寫作 f''.

9 切線方程

求導(dǎo)的一個好處就是可以使用導(dǎo)數(shù)來求所給曲線的切線方程. 求出過該點的切線的斜率是 f' (x), 使用點斜式來得到切線方程.

10 直接畫出導(dǎo)函數(shù)的圖像

假設(shè)有一個函數(shù)的圖像, 你不知道它的方程, 但又想要畫出其導(dǎo)函數(shù)的圖像, 這就需要你對微分有一個很好的理解. 這里制作一個動圖來加深對導(dǎo)函數(shù)的印象.

11 單位圓的切線斜率

考慮方程 x^2+y^2=4 , 圖像就是半徑為2、圓心位于原點的單位圓.

圓上點(x, y) 處的切線的斜率是 ?x/y.

12 全局極值和局部極值

通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以找到函數(shù)的極值。

13 羅爾定理

羅爾定理(Rolle's Theorem)假設(shè)函數(shù) f 在閉區(qū)間 [a,b] 內(nèi)連續(xù), 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo). 如果 f(a) = f(b); 那么在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)至少存在一點 c, 使得 f'(c) = 0.

14 中值定理(Mean Value Theorem)

中值定理:假設(shè)函數(shù) f 在閉區(qū)間 [a,b] 內(nèi)連續(xù), 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo), 那么在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)至少有一點 c 使得 f(b)?f(a)b?a=f'(c)f(b)?f(a)b?a=f'(c).

中值定理和羅爾定理這兩個定理的條件幾乎是相同的. 在兩個定理中, 函數(shù)f 都要求在閉區(qū)間 [a,b] 內(nèi)連續(xù), 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo). 但羅爾定理還要求 f(a) = f(b), 中值定理則沒要求這一點.

15 二階導(dǎo)數(shù)和圖像

如果把二階導(dǎo)數(shù)看作導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 那么可以把二階導(dǎo)數(shù)寫為 (f')'(x) > 0. 這意味著導(dǎo)函數(shù) f'(x) 始終是增函數(shù).

觀察下面圖中不同的 (0,2) 與 (7.5, 10)范圍二階導(dǎo)數(shù) f''(x) > 0 (凹向上, 如碗型: 凸函數(shù)Convex function), 所以導(dǎo)函數(shù) f'(x) 始終是增函數(shù);而在 (2,7.5) 區(qū)間二階導(dǎo)數(shù) f''(x) < 0(凹向下:="" 凹函數(shù)concave="" function),="" 所以導(dǎo)函數(shù)="" f'(x)="">

原函數(shù)凹凸性改變的地方,稱之為拐點(inflection point), 也是上圖區(qū)域顏色改變之處(用紅點標(biāo)識出來的地方).

16 一個最優(yōu)化的例子

假設(shè)只有300 英尺長的籬笆可供使用, 并且農(nóng)場主想要圍成一個直角三角形的農(nóng)場, 并且使新圈出的地的面積(下圖綠色三角形區(qū)域)盡可能地大. 那么這塊地的周長和面積分別為多少？

(1) 首先要識別出一些變量. 設(shè)三角形的底邊為 b, 高為 h, 斜邊為H, 并且面積 A. 限制條件籬笆的長度 h+H, 目標(biāo)最大化 A;

(2) 由題意可知 0<><=300,><><=300,><><>

(3) 列出方程組 A=bh/2, h+H=300, b^2+h^2=H^2;

(4) 消去 b 和 H 得到 A 的方程;

(5) 求導(dǎo) dA/dh=45(100?h)√900?6h

(6) 求得 h=100 時候, A = 5000√3, 并進(jìn)行驗證

(7) 得到結(jié)論.

17 微分(The differential)

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，其中心思想是無窮分割。

設(shè)函數(shù)y = f(x)在x的鄰域內(nèi)有定義，x及x + Δx在此區(qū)間內(nèi)。函數(shù)的增量可表示為Δy = f(x + Δx) - f(x)。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。

f(x + Δx) - f(x)= f'(x)dx

當(dāng)x=a時，則f(a + Δx)= f(a)+f'(a)Δx

量df 被稱為 f 在 x=a 處的微分, 它是當(dāng) x 從 a 變化為 a+△x 時 f 的變化量的近似. 這意味著 x 的微小變化會引起 y 的變化, 而后者的變化量約為前者的 f'(x) 倍.

18 牛頓法

牛頓法是一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法。方法使用函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)的前面幾項來尋找方程f(y)=0的根。

牛頓法假設(shè)a 是對方程 f(x) = 0 的解的一個近似. 如果令 b = a - f(a)/f′(a). 則在很多情況下, b 是個比 a 更好的近似.

有時牛頓法也會不起作用.

19 速度曲線下的面積

現(xiàn)在考慮速度為時間 t 的連續(xù)函數(shù), 在整個[a, b] 區(qū)間內(nèi)重復(fù)這個劃分的過程, 在每個時間段內(nèi), 我們都取個樣本速度.

觀察上動圖隨著劃分區(qū)間增大, 陰影部分的面積比之前的分區(qū)更接近于真實面積了, 但是如果其中的某個分區(qū)很大, 對估算結(jié)果仍然會有很大的影響.

如果這些分區(qū)的最大值趨于 0 , 那么這個估算的結(jié)果就越來越精確了, 就得到了下面的公式:

因為最大區(qū)間趨于0, 這樣劃分的數(shù)目就會越來越大, 所以上述極限自動包含了n 趨于∞ 這樣一個思想.

如果在不同的劃分中選擇函數(shù)的最大值和最小值, 所形成的矩形當(dāng)然會不同

通過對這兩種情況的分析, 可以得到下和<=><>.

20 定積分

定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。把函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象[a,b]分成n份，用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形，再求當(dāng)n→+∞時所有這些矩形面積的和。

一個使用定義的例子：

需要把 [0,2] 區(qū)間分成n 個小區(qū)間, 每個小區(qū)間的長度是相等的. 因為總長度為2, 共有n 個區(qū)間, 所以每個區(qū)間的長度為2/n.

注：(1/3x^3)'=x^2

21 用其他函數(shù)的積分來表示的函數(shù)

考慮積分下面積分式子實際上是一個以積分上線 x 為變量的函數(shù), 這就有

觀看下面的動畫:

22 微積分的第一基本定理(The First Fundamental Theorem)

微積分的第一基本定理揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或者不定積分之間的聯(lián)系。

如果函數(shù)f 在閉區(qū)間 [a,b] 上是連續(xù)的, 定義F 為

則 F 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù), 而且 F'(x)=f(x)

觀察下面的圖形:

上圖淡紅色的陰影部分, 當(dāng) h 很小的時候幾乎為小豎條, 所以可以用計算長方形面積的方法來估算該豎條的面積, 它的底從x 到x+h, 高從0 到f(x), 所以面積是 h*f(x) , 也就是:

－End－