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前一篇筆記，感覺對邏輯與集合的關(guān)系并沒有完全講透，雖然意思出來了，但是語言表述不到位。但文章較長，再改動太費時，故再寫一篇。這是第三篇關(guān)于邏輯與集合關(guān)系的筆記。由于這些思考完全出自我個人，有些想法會開始時不成熟，表達(dá)也就不是很清楚。隨著時間問題慢慢理順了，自然筆記的文字就會更簡潔、表達(dá)更到位。 本篇筆記就一個話題：「什么是邏輯？什么是集合？」 我們的切入點從邏輯開始。邏輯對單數(shù)個體、復(fù)數(shù)個體和抽象概念作為判斷對象的不同處理開始。 邏輯包括兩個方面：第一是【判斷】，第二是【推理】。先說判斷。判斷的語言符號形式就是句子。有自然語言的句子，也有形式語言的句子。自然語言的句子就不用說了大家都懂。形式語言的句子包括數(shù)學(xué)、邏輯、物理、化學(xué)、工程等等都有相應(yīng)的公式表達(dá)式，而計算機(jī)更是有各種程序設(shè)計語言。不過形式語言的句子在不同學(xué)科有不同的叫法，數(shù)學(xué)與邏輯一般叫作公式，但是數(shù)學(xué)公式和邏輯公式意義不完全相同。例如 1 1 = 2 就是數(shù)學(xué)中的句子，寫成自然語言「一加一等于二」。不過根據(jù)我們過去的經(jīng)驗很少把這種「算術(shù)題」叫作句子的。之所以叫作句子，是因為不管是自然語言句子還是數(shù)學(xué)式子，都可以看作是「判斷」這個心理活動的語言形式，如果判斷符合事實，我們就認(rèn)為是正確的，否則就是錯誤的。把「正確」與「錯誤」的概念一般化，得到的就是「真」與「假」。因此任何判斷，如果作為句子表達(dá)出來必然就可以得到真假值。再說推理。推理是由多個句子依次構(gòu)成。前面的句子叫作「前提」、最后的句子叫作「結(jié)論」。推理的實質(zhì)是，由前提的每個句子的真假值，按照一定的邏輯規(guī)則組合，我們就可以確定最后的「結(jié)論」句子的真假值。如果最后的句子是真，我們就說整個推理有效，如果最后的句子為假，整個推理無效。推理的語言形式叫作【論證】，就像判斷的語言形式叫作句子一樣。句子的值分真假，論證的值分有效無效。 那什么是判斷的基本結(jié)構(gòu)呢？要判斷，首先要有判斷對象，而判斷對象，有的是一般性的概念，有的是具體存在的個體。 (1) 孔子是儒家的創(chuàng)始人 判斷的對象是具體的個人； (2) 數(shù)學(xué)很難學(xué) 判斷的對象是抽象的概念； (3) 杜甫、李白和王維是唐朝的詩人 判斷的主體不是單一個體，而是三個；那么這三個個體作為一個群體，和單獨的個體在概念上有什么區(qū)別？ （4）很多人都喜歡中國古典詩詞 判斷的主體不是單一個體，而是不定的多數(shù)個體，這些個體所形成的群體，和確定數(shù)量的群體，在概念上又有哪些不同？ 第二、要進(jìn)行判斷，除了判斷的對象，另一個重要成分的是判斷的內(nèi)容。例如上面例子中，「是儒家的創(chuàng)始人」、「很難學(xué)」、「是唐朝的詩人」就是判斷的內(nèi)容。哲學(xué)通常把這類判斷的內(nèi)容稱作「性質(zhì)」?！敢患右坏扔诙?，判斷的對象是兩個一，兩個對象經(jīng)過「加」這個操作，形成第三個對象，這第三個對象具有「等于二」的性質(zhì)。因此，研究判斷就要研究判斷對象與性質(zhì)之間的關(guān)系，以及判斷對象之間的關(guān)系，如果判斷對象的數(shù)量大于一。 以 (1) 和 (3) 為例，前者判斷的主體是單一個體，「孔子」獨享「儒家的創(chuàng)始人」這個性質(zhì)；而 后者則是「杜甫、李白和王維」共享「唐朝的詩人」這個性質(zhì)。那么，如何區(qū)分和處理這種差異呢？這就是邏輯學(xué)要研究的問題。對于多個判斷對象，邏輯學(xué)認(rèn)為這是一種聯(lián)結(jié)關(guān)系。也就是說，在句子中，魚貫出現(xiàn)一系列被判斷的名稱，它們之間無形中存在著邏輯上的聯(lián)系，這種聯(lián)系有兩類，一類叫作「所有」，一類叫作「任何」。從概念上看，「所有」是串聯(lián)的關(guān)系，「任何」是并聯(lián)關(guān)系。就像是三道門。如果一個房間同時有三道門，我們從哪道門都可以出去，那么這三道門的關(guān)系是并聯(lián)關(guān)系，亦即，是「任何」的意義；但是，如果房間只有一道門，而且出了這道門還要同時再穿過兩道門才能出去，那么這三道門之間關(guān)系就是串聯(lián)，而串聯(lián)則是「所有」的意義。 同時，邏輯學(xué)認(rèn)為，句子中的判斷對象，不管是單數(shù)還是復(fù)數(shù)，都構(gòu)成一個范圍。如果范圍內(nèi)的判斷對象是單數(shù)，則認(rèn)為這是獨一無二的。例如在 (1) 中，「孔子」獨享「儒家創(chuàng)始人」這個性質(zhì)，那么當(dāng)我們談到「儒家創(chuàng)始人」的范圍時，亦即、當(dāng)我們問「哪些人是儒家創(chuàng)始人」時就知道在「儒家創(chuàng)始人」所規(guī)定的范圍內(nèi)只有一人，叫作「孔子」。相反，例 (3) 中，杜甫、李白和王維三人共享「唐朝的詩人」這個性質(zhì)，「唐朝的詩人」所指稱的對象范圍就不是獨一無二。如果不是獨一無二，那么對象之間就存在上面提到的兩種聯(lián)結(jié)關(guān)系的一種，亦即，不是「所有」的串聯(lián)關(guān)系就是「任何」的并聯(lián)關(guān)系。當(dāng)然，(3) 的意思是「任何」的并聯(lián)關(guān)系：杜甫、李白和王維三人中任何人都是唐朝的詩人。下面看一個「所有」的串聯(lián)關(guān)系的例子： (5) 只有修完數(shù)學(xué)、語文和英語三門課才能畢業(yè) 意思是，只修完數(shù)學(xué)、語文和英語三門課其中的一門或兩門都不能畢業(yè)。 有了上面的討論，我們就可以從邏輯和集合的角度考察如何表達(dá)這些概念。第一概念叫作論域，也就是上面所說的范圍。論域是由論域中所有的對象共同構(gòu)成，它們之間的關(guān)系是「所有」的串聯(lián)關(guān)系，論域的定義是其中所有對象的整體。中國哲學(xué)和中醫(yī)的「五行」概念是由「金木水火土」全體構(gòu)成，缺一不可。這個概念如果用集合表示就是： (6) 五行 = {金,木,水,火,土} 但是，如果我們逆向思維，從單個對象到概念，則是「任何」的并聯(lián)關(guān)系。例如我們可以說，「金」屬于五行，「木」屬于五行，「水」屬于五行，「火」屬于五行，「土」屬于五行。 因此，對于論域內(nèi)的對象指稱，如果是從整個論域開始到個體對象，那么指稱的表達(dá)就是「所有」?！附鹉舅鹜林兴性囟际俏逍械脑亍箍梢蕴鎿Q為「五行中所有元素都是五行的元素」。雖然第二句是同義反復(fù)，但這種替換可以看作是論域指稱時的表達(dá)方式。當(dāng)然，前一句如果我們不窮舉也是成立的，「金木水火中所有元素都是五行的元素」，因為這時「金木水火」本身構(gòu)成一個范圍，這個范圍仍在論域中，所以仍然成立。但是，「「金木水火天地都是五行的元素」就不成立了，因為「天地」并不在論域之中。反之，如果是從個體對象開始到論域，則指稱所表達(dá)的就是「任何」。這樣，就可以構(gòu)成多個句子，就像上面的例子。集合符號的表達(dá)是： (7) 金 ∈ 五行，木 ∈ 五行，水 ∈ 五行，火 ∈ 五行，土 ∈ 五行 邏輯把串聯(lián)聯(lián)結(jié)叫作「與」聯(lián)結(jié)，把并聯(lián)聯(lián)結(jié)叫作「或」聯(lián)結(jié)。所以，當(dāng)一個判斷是由多個判斷對象構(gòu)成時，我們首先要確定范圍，然后確定范圍內(nèi)對象之間的聯(lián)結(jié)類型，是「與」聯(lián)結(jié)還是「或」聯(lián)結(jié)?！概c」聯(lián)結(jié)，在自然語言句子中，常用「且」表示。 下面再舉幾個例子： (8) 這次考試我們?nèi)瞬坏案窳?，他也及格了，連我也及格了 「這次考試」是條件，「我們?nèi)恕故钦撚?，「她、他、我」是論域中的對象，這三個對象相共享「及格了」這個性質(zhì)，共享方式是「或」，亦即、是「任何」的并聯(lián)關(guān)系。 (9) 房間里空無一人，大家都走了 「房間里空無一人」是條件，「大家」是論域，沒有具名的對象，「都走了」這個性質(zhì)被「大家」這個論域中所有對象共享，共享方式是「與」，亦即是「所有」的串聯(lián)關(guān)系，這里用「都」表示，因為只要還有一個人沒走，「房間里空無一人」的條件就不滿足。 (10) 整數(shù)中有些數(shù)是質(zhì)數(shù) 「整數(shù)」是論域，在這個論域中，存在滿足「是質(zhì)數(shù)」性質(zhì)的數(shù)，也存在不滿足「是質(zhì)數(shù)」性質(zhì)的數(shù)，因此在這個論域中性質(zhì)有兩種：肯定和否定。如果「是質(zhì)數(shù)」的性質(zhì)用 P 代表，那么「不是質(zhì)數(shù)」就可以用 ~P 代表；P(x) 表示任何具有「是質(zhì)數(shù)」性質(zhì)的數(shù)，~P(x) 表示任何不具有「是質(zhì)數(shù)」性質(zhì)的數(shù)。整數(shù)中元素之間關(guān)于 P 的聯(lián)結(jié)關(guān)系是「或」關(guān)系，或者是質(zhì)數(shù)，或者不是質(zhì)數(shù)，但是和上面的「或」不同，當(dāng)論域的元素具有同一性質(zhì)的肯定和否定兩種形式時，這個「或」就是排他的，對象只能是或者不是，不能同時既是又不是。這在邏輯上，稱作「排中律」。 下面用邏輯和集合的符號歸納我們上面的內(nèi)容： (11) 所有：A = {a,b,c} 定義為：a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A (12) 任何：a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A 一個判斷句中的判斷對象超過一個時，就需要集合的概念。集合，是由元素的「與」聯(lián)結(jié)構(gòu)成，邏輯符號是 ?。而每個單一對象與集合的關(guān)系則是「或」聯(lián)結(jié)，邏輯符號是 ?。指稱「與」聯(lián)結(jié)構(gòu)成的整體，語言表達(dá)形式是「所有」、「一切」、「凡」、「皆」，英語是 for all、for everything，邏輯符號是 ?；指稱「或」聯(lián)結(jié)的語言表達(dá)形式是：「任一」，英語是 any of，連接符號是 ∈，如果集合內(nèi)同一性質(zhì)有肯定和否定，那么表達(dá)肯定部分的符號是 ?。本質(zhì)上，量詞的意義不在于指稱任何具名個體，而是指稱不具名的個體，因此，量詞要與變項一同使用，(11) 與 (12) 可以用量詞改寫為 (13) 所有：?x (x ∈ A) 等價于：a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A (14) 任何：?x (x ∈ A) 等價于：a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A 如果集合中的個體同時存在性質(zhì) P 和 P 的否定，那么個體之間的關(guān)系就是「排他或」的聯(lián)結(jié)。 (15) 任何：?x (x ∈ A) 但未必等價于 a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A 因為集合中，有元素可能不具有性質(zhì) P。例如 (16) B = {2,3,4,5} 其中，只有 4 不具有質(zhì)數(shù)性質(zhì)，其它都是質(zhì)數(shù)，用 P(x)。所以， (17) a. 質(zhì)數(shù) = {x ∈ B ：P(x)} 等價于 {2,3,5} b. 非質(zhì)數(shù) = {x ∈ B ： ~P(x)} 等價于 {4} c. 排他或：?x( P(x) ? ~P(x)) 等價于 {2,3,5} ? {4} 總結(jié)：邏輯與集合的一個事物的兩個側(cè)面。當(dāng)指稱單一元素與集合的關(guān)系、判斷對象是單一個體時，使用集合表達(dá)式 如 a ∈ A、或性質(zhì)表達(dá)式 A(a)；當(dāng)指稱多個元素與集合的關(guān)系、判斷對象是多個個體或抽象概念時則使用集合表達(dá)式與邏輯連接符表達(dá)個體之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系，串聯(lián)關(guān)系或并聯(lián)關(guān)系。同時，如果是多個個體，就要確定論域，在論域中，確定集合的元素使用【量詞】，串聯(lián)關(guān)系是關(guān)于「所有」、「一切」的全稱量詞，并聯(lián)關(guān)系是關(guān)于「任一」、「存在」的存在量詞；前者是基于集合元素都具有某種性質(zhì) P，而后者則假定有些集合元素具有 ~P 性質(zhì)。 后記：我仍然覺得，學(xué)習(xí)線性代數(shù)，學(xué)習(xí)任何數(shù)學(xué)，根基是邏輯與集合，這是和中學(xué)數(shù)學(xué)最不相同的地方，也是和刷題數(shù)學(xué)不相容的。如果學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是透徹理解數(shù)學(xué)的精神，提高自己的抽象思維能力，那么就一定要打好根基，這個根基就是：【邏輯】與【集合】，從思想上體會和掌握邏輯和集合與概念的關(guān)系，而不僅僅是學(xué)習(xí)邏輯與集合的符號操作。目前就我知、或所及范圍，尚無有這方面的文獻(xiàn)、文檔、教科書問世，因此我這里的筆記是在這方面的嘗試和探索，希望通過扎實的邏輯集合基礎(chǔ)，保證未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行穩(wěn)致遠(yuǎn)。 |
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