一直追老黃的劇本的小伙伴就知道老黃為什么要寫這篇文章，來龍去脈盡在前三篇作品中。有興趣的小伙伴可以回閱老黃前三篇關(guān)于高數(shù)的作品。或者單看下面的問題也是可以的。但可能會(huì)錯(cuò)失比較多東西。

已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f’(x)的定義域均為R，akp≠0,

(1)若f’(x)+kf(x)=asinpx, 求f(x);

(2)若f’(x)+kf(x)=acospx, 求f(x).

f'(x)+kf(x)的形式，老黃就稱之為“線性和”。這個(gè)原函數(shù)f(x)的通解是有公式的。老黃之前求過它的特例k=-1的形式。但是發(fā)現(xiàn)不夠用，需要k=-2的形式，才能解決老黃最終想解決的問題(網(wǎng)友分享的一道k8聯(lián)考的高數(shù)難題的第二種解法)。

因此以老黃的脾氣，干脆就推導(dǎo)出它的普遍形式，免得k取不同的值都要重新推導(dǎo)一遍公式，那也未免太麻煩了。不過由于有前面推導(dǎo)過程給的啟發(fā)，解決這個(gè)問題就有了依據(jù)，變得相對簡單了許多。要是沒有前面的經(jīng)驗(yàn)，想解決這個(gè)問題還真不是很容易哦。以下是老黃前面推導(dǎo)的過程，用圖片形式分享如下：

上圖只有關(guān)于正弦的公式，關(guān)于余弦的公式，老黃是在例題和練習(xí)中直接給出的。這里就不同了，不只有關(guān)于正弦的公式推導(dǎo)，也有關(guān)于余弦的公式推導(dǎo)。

解：(1)記*f(x)=hcospx+jsinpx，h,j是常數(shù).【老黃以*f的形式，表示公式的特解。前面還有一部分是Ce^(-kx)，兩個(gè)部分的和構(gòu)成通解】

則*f’(x)=-phsinpx+pjcospx.【對特解求導(dǎo)，那么兩者與題干相同的線性和，結(jié)果應(yīng)該不變。因?yàn)榍懊娌糠諧e^(-kx)與它的導(dǎo)數(shù)互為相反，和等于0。由這個(gè)原理列得如下關(guān)于h,j的方程式】

從而有{kj-ph=a；pj+kh=0｝；解得：(h=-ap/(k^2+p^2); j=ak/(k^2+p^2))，

∴f(x)=Ce^(-kx)-apcospx/(k^2+p^2)+aksinpx/(k^2+p^2). 【這就是第(1)個(gè)微分方程的通解公式了，由于sin(px+b)中的常數(shù)b對結(jié)果不造成影響，所以這個(gè)公式可以拓展為】

若f’(x)+kf(x)=asin(px+b), 則

f(x)=Ce^(-kx)-apcos(px+b)/(k^2+p^2)+aksin(px+b)/(k^2+p^2).

(2)acospx=asin(px+π/2),【轉(zhuǎn)化為第(1)小題的形式】

由(1)有, f(x)=Ce^(-kx)-apcos(px+π/2)/(k^2+p^2)+aksin(px+π/2)/(k^2+p^2).【現(xiàn)求現(xiàn)用好愉快】

∴f(x)=Ce^(-kx)+apsinpx/(k^2+p^2)+akcospx/(k^2+p^2).【這就是第(2)個(gè)微分方程的通解公式了，同理也可拓展為】

若f’(x)+kf(x)=acos(px+b), 則

f(x)=Ce^(-kx)+apsin(px+b)/(k^2+p^2)+akcos(px+b)/(k^2+p^2).

這兩個(gè)公式，比老黃上一次推出來的關(guān)于整式的公式，要簡單得不是一星半點(diǎn)，用起來也容易得多的n次方。比如下面這道例題：

若y’-2y=3sin(2x-π/3), 求y.

解：f(x)=Ce^(-kx)-apcos(px+b)/(k^2+p^2)+aksin(px+b)/(k^2+p^2)【不熟練的情況下，就把公式寫下來。這里k=-2, a=3,b=-π/3, p=2，一骨腦代入公式就可以了】

=Ce^(2x)-3/4*cos(2x-π/3)-3/4*sin(2x-π/3).

這個(gè)結(jié)果老黃已經(jīng)檢驗(yàn)過了，完全正確的。

再看一道練習(xí)：若2y’+y=3cos4x, 求y.

這回直接給圖片形式的答案如下：(關(guān)鍵是第一步，要把方程化成公式條件的一般形式)

最后再把兩個(gè)公式整理一下，特別地寫出當(dāng)a=p=1, b=0的形式。因?yàn)槔宵S后面的作品要用到它們。

如果你對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，看完這篇文章，對你的數(shù)學(xué)思維，應(yīng)該有所幫助的。聰明的你，要懂得從笨笨的老黃這樣的人的作品中提取出有用的東西來，才能算是真正聰明的人。正所謂，“你千慮亦有一失，俺千慮亦有一得”嘛。