又一個(gè)重要數(shù)學(xué)猜想，被陶哲軒和他的博士后破解了！

此前陶哲軒在博客上發(fā)了個(gè)小預(yù)告，就已經(jīng)有不少人趕來(lái)圍觀：

看起來(lái)是個(gè)大新聞。

現(xiàn)在，不少人期待的正式版論文，終于在arXiv上新鮮出爐：

這個(gè)猜想，與我們熟悉的“鋪瓷磚”問(wèn)題有關(guān)——

用什么樣的幾何瓷磚，能恰好“天衣無(wú)縫”地鋪滿整個(gè)地板平面。

它名叫周期性平鋪猜想（periodic tiling conjecture），即在一個(gè)平面（plane）中，不存在可以非周期性覆蓋整個(gè)平面的單個(gè)幾何圖形。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是不存在一個(gè)具備“彭羅斯瓷磚”性質(zhì)的幾何圖形，它既能通過(guò)自身平移或移動(dòng)（不包括旋轉(zhuǎn)）鋪滿整個(gè)平面，又能讓平鋪的圖案看起來(lái)沒(méi)有“規(guī)律性”。

△彭羅斯瓷磚，由兩個(gè)幾何圖形非周期性覆蓋

這個(gè)猜想曾在二維空間中被證實(shí)，因此有數(shù)學(xué)家認(rèn)為它同樣可以推廣到三維、甚至高維空間中去。

但現(xiàn)在，這個(gè)猜想在更高維的空間被陶哲軒和他的博士后否定了。

陶哲軒對(duì)此表示：

現(xiàn)在大家已經(jīng)有了新的認(rèn)知，即高維幾何有點(diǎn)讓人討厭（nasty）。

我們從二維和三維空間中獲得的直覺(jué)，或許會(huì)對(duì)高維空間的研究產(chǎn)生誤導(dǎo)性。

這篇論文出來(lái)后，希伯來(lái)大學(xué)數(shù)學(xué)名譽(yù)教授Gil Kalai發(fā)來(lái)祝賀：

羅徹斯特大學(xué)數(shù)學(xué)家Alex Iosevich調(diào)侃了一下否定猜想的方式：

他們不僅推翻了這個(gè)猜想，還是以一種極盡羞辱的方式推翻的。

具體如何？可以一起來(lái)看看～

“鋪瓷磚”猜想之一，但是高維版

周期性平鋪猜想（periodic tiling conjecture），先后在1987年和1996年的兩篇論文中被提出。

這一猜想認(rèn)為，在一個(gè)平面（plane）中，不存在可以非周期性覆蓋整個(gè)平面的單個(gè)幾何圖形。

其中，周期性和非周期性，分別是兩種鋪滿平面的方法。

周期性平鋪是一種很有規(guī)律的方法，即通過(guò)不斷重復(fù)對(duì)某個(gè)圖案進(jìn)行“復(fù)制-平移-移動(dòng)”，就能規(guī)律性地鋪滿整個(gè)平面：

例如用方塊、或是正六邊形瓷磚，就能做到非常直觀的周期性平鋪。

只需要不斷復(fù)制其中的正六邊形或正方形，并進(jìn)行平移和移動(dòng)這兩種操作，就能輕松鋪滿整個(gè)2D平面：

非周期性的平鋪方法，就沒(méi)那么簡(jiǎn)單了。

最典型的例子，就是諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主彭羅斯提出來(lái)的“彭羅斯瓷磚”。

他設(shè)計(jì)了一個(gè)瘦四邊形（圖中紅色）和一個(gè)胖四邊形（圖中藍(lán)色），用這兩個(gè)圖形就能鋪滿整個(gè)平面，然而這兩個(gè)圖形究竟是怎么分布的，卻沒(méi)有一個(gè)具體的規(guī)律可言。

也就是說(shuō)，用這兩種圖形鋪出來(lái)的平面，無(wú)法像正方形或正六邊形那樣，被分割出一塊圖案“有規(guī)律”地進(jìn)行復(fù)制粘貼，而是以一種隨機(jī)的方式被鋪在平面上。

所以，周期性平鋪猜想，猜的就是“沒(méi)有任何一個(gè)幾何圖形，可以靠自身做到非周期性覆蓋整個(gè)平面”。

一維猜想已經(jīng)被證實(shí)，而就在幾年前，數(shù)學(xué)家Siddhartha Bhattacharya也成功地在二維平面上證明了這個(gè)猜想。

于是數(shù)學(xué)家們大膽了起來(lái)，他們猜測(cè)——如果周期性平鋪猜想放在更高維的平面上，是否同樣適用？

這里面，就包括陶哲軒和他的博士后格林菲爾德（Rachel Greenfeld），后者曾在加州大學(xué)洛杉磯分校（UCLA）任助理教授，如今去了普林斯頓大學(xué)。

至少在發(fā)現(xiàn)反例前，他們?cè)噲D證明過(guò)高維平面的周期性平鋪猜想。

想證明卻發(fā)現(xiàn)了反例

當(dāng)格林菲爾德以博士后的身份來(lái)到UCLA后，她和陶哲軒便將目光瞄向了周期性平鋪猜想。

由于猜想在一維和二維空間被證實(shí)，他們決定證明更高維度的猜想，先從三維開始：

如果一個(gè)單一的形狀可以鋪滿整個(gè)三維空間，那么一定有方法周期性地把它鋪滿整個(gè)空間。

他們甚至為此設(shè)計(jì)了一個(gè)新方法，再次成功證明了二維平面的猜想，但在證明三維空間時(shí)卻屢屢碰壁。

這時(shí)陶哲軒開始思考，是不是高維度下這個(gè)猜想是有問(wèn)題的。

于是，他們倆的研究來(lái)了個(gè)大轉(zhuǎn)向：開始尋找反例。

解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，陶哲軒和格林菲爾德想出了一個(gè)大“套路”：先拆解，再各個(gè)擊破——

將連續(xù)無(wú)限點(diǎn)陣列拆解成有限點(diǎn)集，將高維問(wèn)題拆解成低維問(wèn)題。

為了便于分解，他們嘗試重新構(gòu)建這個(gè)問(wèn)題：將問(wèn)題設(shè)計(jì)成一個(gè)方程系統(tǒng)，其中未知的變量代表高維空間中所有可能的方法。

而方程系統(tǒng)中的每個(gè)方程都表示針對(duì)解的不同約束，這樣一來(lái)，整個(gè)高維問(wèn)題就可以分解成多個(gè)不同平面“瓷磚”的問(wèn)題。

解決“瓷磚”問(wèn)題的方法也變成了相對(duì)容易的計(jì)算機(jī)編程問(wèn)題，其中每個(gè)命令都是最終平鋪所需要滿足的不同屬性。

而要解決這個(gè)問(wèn)題，就必須保證所有屬性的平鋪都必須是非周期性的。

以三維空間為例，如果將平面“瓷磚”疊在一起，就能設(shè)計(jì)出一個(gè)適用三維空間的“三明治”結(jié)構(gòu)，每一層瓷磚該如何移動(dòng)則代表了編程中的屬性。放到更高維空間也是如此。

而陶哲軒他們所做的，就是對(duì)這些屬性進(jìn)行限制，最終排除掉所有的周期解。

那最終的解又是如何找到的呢？

這又是另外一個(gè)難題：網(wǎng)格問(wèn)題，包含無(wú)限數(shù)量的行和雖有限但數(shù)量依舊龐大的列。

他們有個(gè)很巧妙的思路：做“數(shù)獨(dú)”，把網(wǎng)格比作是一個(gè)巨大的數(shù)獨(dú)游戲，用特定的數(shù)字序列來(lái)填充每一行和每一個(gè)對(duì)角線。

而這些數(shù)字序列則需要滿足平鋪方程的約束條件。

最終，陶哲軒發(fā)現(xiàn)了得出的序列是非周期性的，這也意味著平鋪方程組的解也是非周期性的。

至此，高維空間的周期性平鋪猜想被陶哲軒和他的博士后推翻了。

至于這一反例的維度究竟有多高，陶哲軒給了個(gè)大致的范圍讓大伙“感受感受”：

△這維度也太高了

當(dāng)然，他們倆的這項(xiàng)工作并不僅僅止于推翻這個(gè)猜想，還標(biāo)志著一種新方法的出現(xiàn)——

它既可以被用來(lái)構(gòu)建一些非周期性平鋪猜想，也可以用來(lái)推翻其他與瓷磚問(wèn)題有關(guān)的猜想。

就好比說(shuō)數(shù)學(xué)家們一般要證明一個(gè)猜想是“不可判定”的，通常會(huì)證明它等同于另一個(gè)已知的“不可判定問(wèn)題”。

不可判定問(wèn)題是可計(jì)算性理論和計(jì)算復(fù)雜性理論中定義的一類決定性問(wèn)題，此類問(wèn)題無(wú)法總是用單一算法得出正確的是/否的答案。

因此，若這個(gè)平鋪問(wèn)題被證明是不可判定的，那它便可以作為一個(gè)工具來(lái)證明在其他情況下一些問(wèn)題的不可判定性。