導(dǎo)語(yǔ)

質(zhì)數(shù)分布間隔的規(guī)律是什么？這是個(gè)至今仍未解決的問(wèn)題。在本文介紹的研究中，晶體粒子以質(zhì)數(shù)序列排布，在衍射實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)出類似分形的結(jié)構(gòu)，這為揭開(kāi)質(zhì)數(shù)之謎提帶來(lái)來(lái)新的靈感。

1.質(zhì)數(shù)序列的晶體衍射

當(dāng)晶體學(xué)家將質(zhì)數(shù)當(dāng)作一個(gè)粒子系統(tǒng)，由此產(chǎn)生的衍射圖樣為現(xiàn)有的數(shù)論猜想創(chuàng)造了一個(gè)新的視角。

大約一年前，理論化學(xué)家Salvatore Torquato與即將從普林斯頓大學(xué)畢業(yè)的研究生、數(shù)論學(xué)家Matthew de Courcy-Ireland會(huì)面，介紹他關(guān)于質(zhì)數(shù)的研究。質(zhì)數(shù)，也就是那些只能被1和自己整除的正整數(shù)。

作為普林斯頓大學(xué)的化學(xué)教授，Torquato 的研究領(lǐng)域是物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中的模式（pattern），例如晶體、膠體中的粒子排布規(guī)律。他的一項(xiàng)重要成果是，做了大量用扁球狀糖果填充瓶子的模擬實(shí)驗(yàn)，證明了球體不能最大化地填滿密閉空間。在他的領(lǐng)域，常常使用X射線衍射來(lái)推斷物質(zhì)結(jié)構(gòu)。

當(dāng)X射線照射液體或玻璃時(shí)，無(wú)序的分子會(huì)將X射線散射到各個(gè)方向，不會(huì)形成明顯的衍射圖樣。但是當(dāng)X射線照射晶體時(shí)，晶體中有序排列的原子會(huì)同步地反射光波，波峰在某些位置疊加，發(fā)生相長(zhǎng)干涉，產(chǎn)生周期性的亮斑。這些亮斑所在的位置被稱為 '布拉格尖峰' 。這個(gè)名字是為了紀(jì)念晶體學(xué)家布拉格父子。他們?cè)缭?910年代就深入研究衍射現(xiàn)象，以揭示散射物體的組織結(jié)構(gòu)。

Torquato 一年前就憑直覺(jué)做了質(zhì)數(shù)序列的衍射實(shí)驗(yàn)。為了強(qiáng)調(diào)質(zhì)數(shù)分布中難以捉摸的順序，他和他的學(xué)生Ge Zhang將質(zhì)數(shù)建模為一維粒子序列，實(shí)質(zhì)是可以散射光的小球體。

質(zhì)數(shù)序列衍射實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)了分形特征

在計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)中，他們用一百億左右的，比如從10,000,000,019開(kāi)始的質(zhì)數(shù)序列做光學(xué)衍射。(他們發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)“黃金區(qū)間”，在此區(qū)間內(nèi)的質(zhì)數(shù)數(shù)量足夠多，對(duì)應(yīng)的粒子密度足夠大，產(chǎn)生的信號(hào)足夠強(qiáng)，可以得到明顯的衍射圖樣。）

Torquato 做實(shí)驗(yàn)時(shí)并不清楚會(huì)出現(xiàn)什么樣的衍射圖樣，或者是否會(huì)有衍射圖樣。質(zhì)數(shù)，所有自然數(shù)不可分割的組成部分，無(wú)規(guī)律地掠過(guò)數(shù)軸，像打水漂時(shí)石子掠過(guò)水面跳躍，激蕩起深刻的問(wèn)題。

de Courcy-Ireland表示， 在很多方面，質(zhì)數(shù)與隨機(jī)數(shù)字的序列都很難區(qū)分。雖然在過(guò)去的幾個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的規(guī)律，但仍然很難找到任何清晰的模式，所以我們只好把質(zhì)數(shù)的分布看作是隨機(jī)的。

從左到右：Salvatore Torquato，Ge Zhang and Matthew de Courcy-Ireland 寫(xiě)作了將質(zhì)數(shù)序列看作產(chǎn)生衍射圖樣的粒子的新論文。

但是在一篇由Torquato，Zhang和計(jì)算化學(xué)家Fausto Martelli發(fā)表于2月份的《Journal of Physics A》雜志上，以及另外兩篇de Courcy-Ireland參與但尚未進(jìn)行同行評(píng)議的新論文中，科研人員發(fā)現(xiàn)，質(zhì)數(shù)序列，并不像液體那樣無(wú)序，而更像晶體，會(huì)產(chǎn)生衍射圖案。

微軟新英格蘭研究院和麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家Henry Cohn表示，“這項(xiàng)研究的美妙之處在于，讓我們（數(shù)學(xué)工作者）了解到晶體學(xué)家對(duì)質(zhì)數(shù)的看法?！?/p>

Torquato 說(shuō)，該研究產(chǎn)生的衍射圖樣與之前所見(jiàn)的任何衍射圖樣都不太一樣，這意味著以質(zhì)數(shù)序列排布的物理系統(tǒng)（晶體），是一類全新的結(jié)構(gòu) 。普林斯頓的研究人員稱這種類似分形的圖樣為 'effective limit-periodicity'（顯著的極限周期性）。

質(zhì)數(shù)通?？梢杂煤Y分的方法獲得，例如對(duì)于100以內(nèi)的正整數(shù)，依次過(guò)濾掉2, 3, 5, 7這四個(gè)質(zhì)數(shù)的倍數(shù)。因此，在數(shù)軸上，除了2以外的所有質(zhì)數(shù)都在奇數(shù)位置上，它們的間隔為2, 4, 6等2的倍數(shù)，且越往后，質(zhì)數(shù)序列的間隔越大。衍射圖樣包含一系列周期性排列的明亮波峰，反映2這一最普遍的質(zhì)數(shù)間距。其中最明亮的峰對(duì)應(yīng)數(shù)軸上間隔為6的質(zhì)數(shù)，以固定的間隔穿插在不那么明亮的峰之間。這些更暗的峰對(duì)應(yīng)間隔更遠(yuǎn)的質(zhì)數(shù)，如此層層嵌套，形成無(wú)限稠密的布拉格尖峰。

如此高密度的“布拉格尖峰”，人們?cè)?jīng)在“準(zhǔn)晶體”衍射實(shí)驗(yàn)中看到過(guò)。準(zhǔn)晶體是20世紀(jì)80年代被發(fā)現(xiàn)的一種介于晶體和非晶體之間的材料，它的原子排列具有一定的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，卻沒(méi)有平移對(duì)稱性。但是以質(zhì)數(shù)間隔排列的粒子結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的衍射圖像，峰與峰之間是一種分形結(jié)構(gòu)。Torquato 認(rèn)為，以質(zhì)數(shù)間隔排列粒子，就像準(zhǔn)晶，其實(shí)是一種全新的物質(zhì)狀態(tài)，但它的性質(zhì)又和準(zhǔn)晶體不同。

許多接受采訪的數(shù)論學(xué)家都表示，這個(gè)研究團(tuán)隊(duì)的發(fā)現(xiàn)還不足以引發(fā)數(shù)理領(lǐng)域的進(jìn)步。這項(xiàng)研究涉及的數(shù)學(xué)，幾乎上都不是新的。事實(shí)上，當(dāng)Torquato去年春天向de Courcy-Ireland展示他的計(jì)劃和公式的時(shí)候，這位年輕的數(shù)學(xué)家很快就看到，質(zhì)數(shù)衍射圖樣實(shí)驗(yàn)可以被現(xiàn)有的數(shù)論猜想所解釋。

一年前，這兩人在新澤西州普林斯頓大學(xué)高等研究院第一次會(huì)面，Torquato當(dāng)時(shí)在那里休假。作為化學(xué)家的Torquato告訴作為數(shù)學(xué)家的de Courcy-Ireland，他可以使用公式來(lái)預(yù)測(cè)“孿生質(zhì)數(shù)”的頻率（孿生質(zhì)數(shù)是一對(duì)間隔為2的質(zhì)數(shù)，如3和5，17和19）。de Courcy-Ireland 認(rèn)為Torquato的方法實(shí)際上也可以預(yù)測(cè)所有其他間隔的質(zhì)數(shù)對(duì)。

布拉格尖峰的公式在數(shù)學(xué)上等價(jià)于Hardy-Littlewood 的質(zhì)數(shù)k元組猜想，這是英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（Godfrey Hardy）和李特爾伍德（John Littlewood）在1923年發(fā)表的猜想：質(zhì)數(shù)元組是存在的。這個(gè)猜想為具有固定間隔的質(zhì)數(shù)組的出現(xiàn)頻率做出了精確估計(jì)。

如前所述，質(zhì)數(shù)通過(guò)依次篩分掉2, 3, 5, 7等質(zhì)數(shù)的倍數(shù)獲得。因此，質(zhì)數(shù)首先是間隔為2的奇數(shù)，相應(yīng)地，“孿生素?cái)?shù)”為最小也最普遍的質(zhì)數(shù)組。而由3個(gè)連續(xù)奇數(shù)組成的質(zhì)數(shù)組只有{3，5，7}，在此之后任意三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)中，始終會(huì)有一個(gè)數(shù)可被3整除，如{7，9，11}。

Hardy-Littlewood猜想進(jìn)一步明確了所有可能的質(zhì)數(shù)元組在數(shù)軸上出現(xiàn)的頻率。即使是最簡(jiǎn)單的 Hardy-Littlewood情形——“孿生質(zhì)數(shù)猜想”，在經(jīng)歷了現(xiàn)代科學(xué)爆發(fā)式的進(jìn)步之后，仍然未被證明。專家們認(rèn)為質(zhì)數(shù)衍射實(shí)質(zhì)上只是重新闡釋了Hardy-Littlewood猜想，所以它不能證明Hardy-Littlewood猜想，或者說(shuō)不能證明黎曼猜想。黎曼猜想于1859年提出，將質(zhì)數(shù)分布問(wèn)題與黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題聯(lián)系在一起。

2.質(zhì)數(shù)與非周期性序列

然而，這一發(fā)現(xiàn)在“非周期性序列（aperiodic order）”這個(gè)年輕的研究領(lǐng)域產(chǎn)生回響。“非周期性 序列”實(shí)質(zhì)上是對(duì)非重復(fù)模式的研究，是晶體學(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)、諧波分析和離散幾何的交叉之處，這個(gè)領(lǐng)域在準(zhǔn)晶被發(fā)現(xiàn)之后成長(zhǎng)起來(lái)。史密斯學(xué)院的數(shù)學(xué)晶體學(xué)家Marjorie Senechal表示，最初為了解晶體而發(fā)展的技術(shù)，隨著準(zhǔn)晶的發(fā)現(xiàn)而變得非常多樣化，'人們開(kāi)始意識(shí)到，他們突然必須明白很多不僅僅是簡(jiǎn)單周期性的衍射。非周期性已經(jīng)成為一個(gè)完整的領(lǐng)域，將非周期性與數(shù)論結(jié)合起來(lái)是非常激動(dòng)人心的?！?/p>

質(zhì)數(shù)模式類似上世紀(jì)50年代前提出的非周期性序列，也被稱作極限周期性?！叭欢霈F(xiàn)了令人驚訝的扭曲，”科恩說(shuō)。在真正的極限周期性系統(tǒng)中，周期性間隔嵌入無(wú)限層級(jí)的結(jié)構(gòu)中，因此在任何間隔中，系統(tǒng)包含了僅在較大間隔重復(fù)的部分模式。其中一個(gè)例子是1990年代澳大利亞非專業(yè)數(shù)學(xué)家Joan Taylor發(fā)現(xiàn)的奇異、多重的鑲嵌棋盤花紋，被稱作Taylor-Socolar鑲嵌瓷磚。

2010年，杜克大學(xué)的 Joshua Socolar對(duì)其進(jìn)行細(xì)節(jié)分析。計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)的研究表明，物質(zhì)的極限周期性應(yīng)該能夠在自然界中形成，計(jì)算也表明這種系統(tǒng)可能具有不尋常的特性，當(dāng)時(shí)沒(méi)有人將它與質(zhì)數(shù)聯(lián)系在一起。在Taylor-Socolar鑲嵌瓷磚系統(tǒng)中，質(zhì)數(shù)間隔的同步性僅僅是統(tǒng)計(jì)意義上的，顯著的極限周期性是一種全新秩序。

de Courcy-Ireland想更好地理解質(zhì)數(shù)中顯著的極限-周期性出現(xiàn)的“黃金尺度”（Goldilocks scale）。1976年，哥倫比亞大學(xué)的Patrick Gallagher就證明了，在短區(qū)間內(nèi)質(zhì)數(shù)間隔是隨機(jī)的，在較長(zhǎng)區(qū)間內(nèi)質(zhì)數(shù)間隔才有一些規(guī)律。

在新的衍射研究中，de Courcy-Ireland和他的合作者分析了一種名為“序列度量”的變量，它控制著“極限-周期性”模式的出現(xiàn)?！霸诳吹綌?shù)量增長(zhǎng)之前，你就可以確定間隔會(huì)有多大”。他很驚奇地發(fā)現(xiàn)，相同的間隔長(zhǎng)度也出現(xiàn)在另一個(gè)名為“Maier 定理”的質(zhì)數(shù)規(guī)律中。但這一思路是否會(huì)在別處發(fā)揮作用，現(xiàn)在還言之尚早。

布里斯托大學(xué)的Jonathan Keating認(rèn)為，質(zhì)數(shù)衍射圖樣的主要優(yōu)點(diǎn)在于，它引發(fā)不同思維方式的連接。對(duì)此，蒙特利爾大學(xué)的數(shù)論學(xué)家Andrew Granville則認(rèn)為，Torquato及其團(tuán)隊(duì)的研究不過(guò)是自命不凡，僅僅是已有想法的重復(fù)罷了。

Torquato不特別關(guān)心數(shù)論學(xué)家如何評(píng)價(jià)他的研究，他找到了窺探質(zhì)數(shù)規(guī)律的方法，“事實(shí)上，我認(rèn)為這項(xiàng)研究非常驚艷，直擊人心?！?/p>