1977年12月，一篇革命性的論文出現在雜志《Journal d’Analyse Mathématique》上，這是一個專業(yè)的數學雜志。該研究的作者希勒爾·弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）只是提供了一個定理的證明，而另一位數學家塞邁雷迪在兩年前已經證明了這個定理。

盡管如此，弗斯滕伯格的論文在數學領域留下了持久的影響。他的新論點包含了一個具有深遠影響的核心見解：可以將塞邁雷迪解決的那種關于整數集的問題改寫為關于空間中移動的點的問題。

從那以后的幾年里，弗斯滕伯格思想被一次又一次地使用，并一點一點地進行了調整和改進。今年早些時候，研究人員取得了極大的進展，他們揭示了整數集合中的無限模式。

弗斯滕伯格的證明

塞邁雷迪一直在研究包含所有整數“正片段”的集合（contain a “positive fraction” of all the integer）（正密度集）。

以包含所有5的倍數的集合為例。當你觀察數軸上越來越大的區(qū)域時，5的倍數繼續(xù)有規(guī)律地出現。數學家們說，包含5的所有倍數的集合中的元素個數，是所有整數集合的五分之一。

相比之下，雖然素數有無限個，但隨著數變大，它們變得非常稀少，以至于所有素數的數目比上所有整數的數目為零，或者換句話說，質數的密度為零。

塞邁雷迪正在尋找所謂的等差數列，或均勻間隔的數字鏈的例子。例如，假設有一個無限的數字序列，如完全平方數：{1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…}。完全平方數有一個長度為3的等差數列隱藏在前幾項中：{1，25，49}。數列中的每一個數都比前一個數大24。

• 弗斯滕伯格證明了，足夠大的整數集合總是包含被稱為等差級數的模式。

塞邁雷迪證明了任何正密度集必須包含任意長的等差級數。這一結果在被稱為加性組合學的數學分支領域具有里程碑意義。陶哲軒說，

塞邁雷迪的證明，雖然很精彩，但直到今天，可能只有三到四個人真正理解他證明。

因此，弗斯滕伯格更容易理解的觀點受到歡迎。為了寫這本書，弗斯滕伯格使用的方法來自他自己的數學領域——動力系統。動力系統是任何隨時間變化的過程。弗斯滕伯格最感興趣的是所謂的遍歷理論。遍歷理論家不是在任何給定的時間點上觀察系統的狀態(tài)，而是研究長期的統計數據。

弗斯滕伯格的關鍵思想是把整數集合看作動態(tài)系統中的瞬時狀態(tài)，而不是固定的對象。這可能看起來是一個角度上的小改變，但它允許他使用遍歷理論的工具來證明組合學的結果。當時，弗斯滕伯格并不知道他的想法會有自己的生命力。但其他人看到了遍歷理論和組合學之間聯系的希望。陶哲軒說：

整整一代遍歷理論學家開始投身組合學，解決所有這些問題，反之亦然。

在過去的幾年里，四位數學家——布賴娜·卡拉、喬爾·莫雷拉、弗洛里安·里克特和唐納德·羅伯遜——發(fā)展了弗斯滕伯格的技術，不僅在任何正密度集中找到任意長級數，而且找到了稱為和集的結構的無限版本。

陶哲軒說，如果說弗斯滕伯格在遍歷理論和組合學之間架起了一座橋梁，那么這四個人就把它擴大成了一條六車道的高速公路。

B + C猜想

塞邁雷迪的定理最早是由兩位數學家在1936年提出的，但沒有被證明。其中一位是匈牙利數學家保羅·埃爾德什，他以做各種猜想而聞名。2016年，莫雷拉偶然發(fā)現了埃爾德什關于“和集”結構的另一個猜想。

一個集合是由另外兩個集合組成的；稱它們?yōu)锽和C。和集（寫為B + C），是通過將所有可能的數字對相加來構建的，其中一個數來自B，另一個數來自C。埃爾德什猜想，對于任何正密度集A，都存在其他無窮集合B和C，它們的和集包含在A中。在莫雷拉閱讀的論文中，作者已經證明了當A包含整數的很大一部分時，埃爾德什的猜想。但對于較小的正密度集，結果仍然未知。

莫雷拉把里克特和羅伯遜帶到了這個研究中。這三個人都非常擅長將遍歷理論技術應用到組合學中。但這個問題帶來了新的挑戰(zhàn)。

在一個正密度的集合中發(fā)現無限和實際上沒有先例。

也許正是因為這個原因，和集問題被證明是難以解決的。莫雷拉說，我們不得不通過遍歷理論。他們在2018年成功地證明了埃爾德什的猜想。他們的證明后來發(fā)表在數學界最負盛名的《數學年鑒》上。

新證明

這篇論文留下了兩個大問題。其中一個是埃爾德什的另一個集合猜想叫做B + B + t猜想。

莫雷拉他們也提出了一個他們自己的問題：如果有一個正密度的集合A，你能找到三個無限集——B, C和D，B + C + D在A里面嗎？四個無限集呢？五個呢？

在他們提出多集版本后，數學家們被困住了一段時間?？磥硭麄冇糜陔p集合猜想的技術已經達到了極限。兩年過去了，他們才看到真正的進展?？ɡf，

最終，我們想出了一些我們理解的其他變體。我們必須做的是重新思考證明的每一步，從轉化為一個動力系統開始

法國數學家伯納德·霍斯特2019年發(fā)表的一篇論文有助于他們的研究?；羲固匾呀浿匦伦C明了莫雷拉他們的結果。

有了霍斯特的改進，卡拉、莫雷拉、里克特和羅伯遜繼續(xù)調整他們的證明，試圖提取最簡單，最優(yōu)雅的論點。他們最終得到的證明，就像弗斯滕伯格的證明一樣，把無限的整數集合看作動力系統中的時間戳。然而，這個動力系統最好被想象成在空間中跳躍的點。

下面是它的工作原理：首先站在一個封閉房間的一個角落，稱之為0角落。有一個時間A的集合，這個集合是一個正密度的整數集合。

然后制定在房間里走動的規(guī)則。每一秒，你都會移動到一個新的位置，基于你剛才站的位置。你遵循的確切規(guī)則將被設計成與集合A相匹配——只要時間戳在A中，你就會發(fā)現自己在房間的一個特殊區(qū)域。

例如，假設A由所有能被4整除的數字組成，每秒鐘，你就順時針移動到房間的下一個角落。一秒鐘后，你移動到角落1；兩秒鐘后，角落2，以此類推。然后，每走四步，意思是每次在A處，你就會回到最初的0角落。

這個過程會一直持續(xù)下去。沿著順時針方向從一個角走到另一個角，你會無限次地訪問每個角。接近無窮次的點叫做聚點。

卡拉他們證明了你可以巧妙地選擇其中一個點來找到你的集合B + C。在角落的例子中，以角落1為例。你到達那里的次數是1，5，9和13乘以某個整數如4n + 1，設B是這些次數的集合。

現在想象一下，不是從角落0開始，而是從角落1開始。這意味著當次數能被4整除時，你會發(fā)現自己回到了角落1，然后你會在三步后到達角落0：次數為3、7、11或任何形式為4n + 3的數字。C是這些次數的集合。

現在，再次從0角落開始。這一次，看看如果從B中取一個數字，從C中取一個數字（比如說，從B中取13，從C中取3），把它們相加會發(fā)生什么。

最后，我們得到了一個證明它和最初的證明幾乎沒有相似之處。

這需要13 + 3 = 16秒。因為16是4的倍數，所以它在A中，但你也可以預測13 + 3能被4整除，因此在A中，不需要13和3相加。只要看看當你等待13 + 3秒時動力系統會發(fā)生什么。這時，你會發(fā)現自己在角落1。然后，從角落1開始，你再移動3步，這將帶你回到角落0。因為你從角落0開始，最后回到那里，你一定等了4秒的倍數，這意味著總時間是原始集合A中的一個數字。

為了使這一論點站得住腳，該小組不得不處理許多繁瑣的數學細節(jié)。例如，在大多數情況下，你有無限個可移動的角落，而不僅僅是四個角落。這意味著你不會無數次回到一個地方;你只能無限次地接近它。這為這一論證引入了新的數學復雜性。但一旦他們弄清楚了這個過程是如何運作的，他們就知道他們能夠解決他們想要的更難的問題。例如，為了證明猜想的多集合版本，研究人員只需在路徑上添加一個聚點?？傮w上的論證是一樣的，只是增加了一層新的復雜性。

敲定所有的技術細節(jié)并不容易。在確定了動力學結構后，克拉他們花了一年多的時間來證明更困難的猜想。今年6月，該小組終于發(fā)表了兩篇論文。一個證明了和集猜想的多集版本。另一個證明了B + B + t版本的猜想。