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加星標(biāo)，才能不錯(cuò)過每日推送！方法見文末動(dòng)圖 在確定意義下“混沌”定義問世之前，烏拉姆對(duì)其早期的探索——現(xiàn)代遍歷理論——進(jìn)行了深入研究，提出了影響深遠(yuǎn)的問題、給出了算法，并猜測(cè)了收斂性，開啟了計(jì)算遍歷理論的新領(lǐng)域。在約克及合作者關(guān)于“存在性”數(shù)學(xué)論證的基礎(chǔ)上，華裔數(shù)學(xué)家李天巖獨(dú)立給出了計(jì)算不變密度函數(shù)的數(shù)值方法并證明了收斂性，亦是計(jì)算遍歷理論先驅(qū)。 撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）偉大的人物通常也是幽默家。氫彈之父烏拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）曾有一句詼諧之語：“把混沌研究稱為'非線性分析’，就好比把動(dòng)物學(xué)說成是'非大象一類動(dòng)物的研究’?！?/span>事實(shí)上，雖然確定性意義下的“混沌”定義遲至上世紀(jì)70年代中期才問世，然而，對(duì)它“遍歷性”的探索比之更早四十五年就開始了：以30年代初的馮·諾伊曼平均遍歷定理和伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理這兩個(gè)經(jīng)典遍歷定理為主要代表，而現(xiàn)代遍歷理論的研究可以說是以烏拉姆為領(lǐng)頭羊的。從我之前的《從統(tǒng)計(jì)的角度看混沌》文中可知，要想發(fā)現(xiàn)混沌映射S迭代點(diǎn)軌道的統(tǒng)計(jì)分布，就必須找到對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子PS的密度函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)，即求出不動(dòng)點(diǎn)方程PS f = f的密度函數(shù)解，稱為不變密度函數(shù)。它定義了一個(gè)絕對(duì)連續(xù)的概率測(cè)度，稱為該映射的不變測(cè)度，其“不變性”意指任一子區(qū)間的測(cè)度值等于它在S下的逆像的測(cè)度值。只要映射關(guān)于該不變測(cè)度是遍歷的，根據(jù)伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理，我們就能通過這個(gè)不變測(cè)度來描繪出混沌軌道的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。稱概率測(cè)度μ是絕對(duì)連續(xù)的，意思是指μ可由積分表示，即存在一個(gè)密度函數(shù)f，使得所有子區(qū)間I的測(cè)度值μ(I) 等于積分 ∫I f(x) dx。與絕對(duì)連續(xù)的測(cè)度相對(duì)立的是奇異的測(cè)度，如著名的狄拉克測(cè)度。伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理可簡述為：若具有不變測(cè)度μ的映射S是遍歷的，則對(duì)μ而言幾乎所有的初始點(diǎn)x0，時(shí)間平均 = 空間平均，即 。“遍歷”一詞在數(shù)學(xué)上是何意思呢？我先用一例來說明“不遍歷”的含義，幫助想象“遍歷”意味著什么。定義一個(gè)將[0, 1]映到自身的映射S：當(dāng)0 ≤ x < 1/4時(shí)，S(x) = 2x；當(dāng)1/4 ≤ x < 3/4時(shí)，S(x) = 2x – 1/2；當(dāng)3/4 ≤ x ≤ 1時(shí)，S(x) = 2x – 1。下面是S的圖象：易知在S下，區(qū)間[0, 1/2]的逆像是[0, 1/2]，區(qū)間[1/2, 1]的逆像是[1/2, 1]，即S-1([0, 1/2]) = [0, 1/2])和S-1([1/2, 1]) = [1/2, 1])。這表示[0, 1]的子區(qū)間[0, 1/2]和[1/2, 1]是S的不變集。由于這兩個(gè)不變集的存在，原先的映射S實(shí)際上可以分解成兩個(gè)互不相干的映射S1: [0, 1/2] → [0, 1/2]和S2: [1/2, 1] → [1/2, 1]，它們分別是S在子區(qū)間[0, 1/2]和[1/2, 1]上的限制，其各自的圖象分別是上面S圖象的左下半個(gè)和右上半個(gè)。盡管長度（實(shí)變函數(shù)論中勒貝格測(cè)度的通俗說法）是S的不變測(cè)度，但是伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理此時(shí)并不成立，例如當(dāng)初始點(diǎn)x0屬于[0, 1/2]時(shí)，由于所有迭代點(diǎn)都在[0, 1/2]內(nèi)，[0, 1/2]的時(shí)間平均為1；若x0屬于(1/2, 1]，由于所有迭代點(diǎn)都不在[0, 1/2]內(nèi)，它的時(shí)間平均為0。而[0, 1/2]的空間平均卻為區(qū)間長度1/2，因此對(duì)于這個(gè)例子，時(shí)間平均并不等于空間平均。從上面這個(gè)非遍歷的映射例子可以想出“遍歷映射”的定義。對(duì)于任意一個(gè)將定義域映到自身的映射，總有兩個(gè)平凡的“不變集”，它們是空集和定義域本身，因?yàn)樗鼈冊(cè)谠撚成湎碌哪嫦窬偷扔谧约?。如果映射本質(zhì)上不存在“非平凡”的不變集，即不存在定義域的一個(gè)非平凡子集，使得它與其在映射下的逆像是同一個(gè)集合，則它是遍歷的。簡言之，如果映射僅有平凡不變集，它就是遍歷的。一個(gè)自然的問題就出現(xiàn)了：給定映射S: [0, 1] → [0, 1]，它所對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子PS有不變密度函數(shù)嗎？先回憶該算子的定義：對(duì)每一個(gè)[0, 1]上的可積函數(shù)f，考慮“減半映射” S(x) = x/2，它的定義域是[0, 1]，值域是[0, 1/2]。易知當(dāng)0 ≤ x ≤ 1/2時(shí)，S-1([0, x]) = [0, 2x]；當(dāng)1/2 < x ≤ 1時(shí)，S-1([0, x]) = [0, 1]。因此PSf的表達(dá)式為：當(dāng)0 ≤ x ≤ 1/2時(shí)，PSf(x) = 2f(2x)；當(dāng)1/2 < x ≤ 1時(shí)，PSf(x) = 0。由此顯見，不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)方程PSf(x) ≡ f(x)只有零解f(x) ≡ 0。這并不奇怪，因?yàn)樗械c(diǎn)數(shù)列{Sn(x0)}都收斂到S的唯一不動(dòng)點(diǎn)0，故無絕對(duì)連續(xù)的不變測(cè)度。順便說一下，對(duì)減半映射，非絕對(duì)連續(xù)的在0點(diǎn)處的狄拉克測(cè)度是其不變測(cè)度。上面的例子比較簡單，容易理解，下面是一個(gè)非線性映射的例子，它也同樣沒有絕對(duì)連續(xù)的不變測(cè)度，即它所對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子沒有非零不動(dòng)點(diǎn)。這個(gè)映射定義如下：當(dāng)0 ≤ x ≤ 1/2時(shí)，S(x) = x/(1 - x)；當(dāng)1/2 < x ≤ 1時(shí)，S(x) = 2x – 1。這時(shí)，懂得初等微積分并精通高中代數(shù)的讀者容易算出PSf的表達(dá)式為PSf(x) = (1+x)-2f(x/(1+x)) + (1/2)f(1/2+x/2)。在洛速達(dá)（Andrzej Lasota，1932-2006）與麥基（Michael Mackey，1942-）合著的書Chaos, Fractals, and Noise：Stochastic Aspects of Dynamics（《混沌、分形與噪音：動(dòng)力學(xué)的隨機(jī)方面》）第六章第二節(jié)內(nèi)，作者給出了上述算子只有零函數(shù)這個(gè)唯一不動(dòng)點(diǎn)的證明。注意到前面兩個(gè)例子的不同之處：第一個(gè)映射的導(dǎo)數(shù)恒等于1/2，它嚴(yán)格小于1；但第二個(gè)映射的導(dǎo)數(shù)在(0, 1]上處處嚴(yán)格大于1，但在x = 0處等于1。這向我們提出一個(gè)問題：如果一個(gè)映射在定義域區(qū)間上導(dǎo)數(shù)除了幾個(gè)例外點(diǎn)外處處存在，并且導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值都嚴(yán)格大于1，其對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子一定有非零不動(dòng)點(diǎn)嗎？滿足上述導(dǎo)數(shù)條件的映射被稱為是“逐段拉長的”，這個(gè)性質(zhì)是混沌的一個(gè)發(fā)源地，但不是必要條件，因?yàn)榛煦绲倪壿嬎沟儆成銼4(x) = 4x(1-x)并非是逐段拉長的?？v觀混沌觀念發(fā)展史，烏拉姆無疑屬于最早幾個(gè)對(duì)此性質(zhì)進(jìn)行過探索的數(shù)學(xué)家之一。學(xué)過初等微積分的讀者應(yīng)該知曉，逐段拉長的映射不可能在整個(gè)定義域區(qū)間上處處可微，否則根據(jù)被稱為“微分學(xué)基本定理”的拉格朗日中值定理，該映射的值域區(qū)間將比定義域區(qū)間更長，這與值域包含于定義域的基本假設(shè)相矛盾。我們熟悉的逐段拉長的帳篷映射T在x = 1/2這一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在這一事實(shí)也表明了這點(diǎn)。因此，逐段拉長的區(qū)間映射只能通過“分段可微”而實(shí)現(xiàn)“逐段拉長”。烏拉姆是“非線性分析”這門綜合性研究領(lǐng)域的先驅(qū)，實(shí)際上他與終生朋友馮·諾伊曼（John von Neumann，1903-1957）及物理學(xué)家費(fèi)米（Enrico Fermi，1901-1954）等幾位智者在從事原子彈研制中創(chuàng)建了這門學(xué)科。多年前，我讀過烏拉姆文集Science, Computers, and People（《科學(xué)、計(jì)算機(jī)及故友》）。數(shù)學(xué)科普家伽德納（Martin Gardner, 1914-2010）撰寫的前言第一段是：“烏拉姆， 或如同他朋友所稱之的斯坦，是那些偉大的創(chuàng)造型數(shù)學(xué)家之一，這些人不僅對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域感興趣，而且同樣對(duì)物理及生物科學(xué)亦然。和他好朋友馮·諾伊曼一樣而與他眾多的同行不一樣的是，烏拉姆不可被分類為純粹或應(yīng)用數(shù)學(xué)家。在那些與應(yīng)用問題沒有一絲一毫關(guān)聯(lián)的純粹地帶，以及在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，他都從不停止尋找同樣多的美和激動(dòng)?！?/span>烏拉姆是猶太人，他的出生地利沃夫原屬奧匈帝國下的波蘭，現(xiàn)屬烏克蘭，位于國土的西部，所以他是波蘭/烏克蘭裔數(shù)學(xué)家，在“萬神殿”網(wǎng)頁（pantheon.world）上被列為有史以來最傳奇的十位烏克蘭數(shù)學(xué)家之首。在他那本我已讀過三遍的膾炙人口的自傳Adventures of a Mathematician（《一位數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷》）一開頭，烏拉姆就告訴讀者，他四歲時(shí)就對(duì)家中客廳鋪的波斯地毯上的幾何圖案著迷。當(dāng)他身為律師的父親對(duì)此不以為然而笑起來時(shí)，他心里自言自語道：“他笑是因?yàn)樗J(rèn)為我是幼稚的，但是我知道這些是令人好奇的模式。我知道我父親所不知道的某樣事情?！?這或許就是他終生熱愛探討新事物的天賦之才的最初顯示。他喜歡提出問題以及解決問題的另一個(gè)佐證是，在上世紀(jì)30年代波蘭數(shù)學(xué)學(xué)派名揚(yáng)天下之時(shí)，以泛函分析集大成者巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）為首的波蘭數(shù)學(xué)精英在蘇格蘭咖啡館討論數(shù)學(xué)及時(shí)記下的數(shù)學(xué)問題錄——現(xiàn)在國際數(shù)學(xué)界名聞遐邇的《蘇格蘭書》——以二十多歲時(shí)的烏拉姆貢獻(xiàn)的問題最多！正是由于喜歡與人討論，喜歡提出問題，烏拉姆從他大腦里萌芽而出的“對(duì)要點(diǎn)的感覺”，日后成了幾個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的開始之旅。比如，“細(xì)胞自動(dòng)機(jī)理論”最初是他向馮·諾伊曼提出來的；“蒙特卡羅法”的思想來自于他對(duì)數(shù)論和積分棘手問題的思考；后來掀起孤立子和混沌研究熱潮的“非線性分析”，是從他玩弄計(jì)算機(jī)鍵盤的手指中開始汩汩流出的。與本文有關(guān)系的是，他提出的一種數(shù)值方法，宣告了“計(jì)算遍歷理論”這一集純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)于一身的學(xué)科的誕生。烏拉姆在20歲時(shí)就發(fā)表了關(guān)于集合論的數(shù)學(xué)論文，在二戰(zhàn)前夕去了美國，從此他那顆天才的大腦為這個(gè)國家貢獻(xiàn)了許多絕妙的想法，其中有一項(xiàng)對(duì)美國政府重要到可以“改變歷史的進(jìn)程”。由于這一巨大貢獻(xiàn)他被絕大多數(shù)的科學(xué)家譽(yù)為“氫彈之父”，而許多民眾以為匈牙利裔美國理論物理學(xué)家特勒（Edward Teller，1908-2003）擔(dān)當(dāng)了這一角色，原因是在氫彈從設(shè)想到研制成功的整個(gè)過程中，后者的社會(huì)知名度高于前者。1951年1月23日中午，烏拉姆的太太發(fā)現(xiàn)丈夫在家中表情奇怪地凝視著窗外的花園，并說道：“我找到了一個(gè)讓它工作的途徑?！薄笆裁垂ぷ?？”太太問他?！皻鋸棥?，他回答道，“這是個(gè)全然不同的方案，它將改變歷史的進(jìn)程?！边B烏拉姆這位能力超凡的“數(shù)學(xué)科學(xué)家”也常驚奇不止地看到，“黑板或草稿紙上的一些亂涂會(huì)改變?nèi)祟惏l(fā)展的進(jìn)程”。至于特勒和烏拉姆究竟誰是氫彈的“生父”，他們倆在洛斯阿拉莫斯國家實(shí)驗(yàn)室的德裔頂頭上司，理論部主任、1967年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者貝特（Hans Bethe，1906-2005）曾有一段妙論：“氫彈制成后，記者開始稱特勒為氫彈之父。為了歷史，我認(rèn)為更準(zhǔn)確地說，烏拉姆是父親，因?yàn)樗峁┝朔N子，特勒是母親，因?yàn)樗粼诤⒆由磉?。至于我，我想我是助產(chǎn)士?！贝颂庁愄靥氐貙ⅰ盀趵贰钡拿钟煤隗w字寫出，以示強(qiáng)調(diào)。1960年，烏拉姆出版了一本只有150頁的小書《數(shù)學(xué)問題集》。這本薄書卻充滿了數(shù)學(xué)思想，成就了許多數(shù)學(xué)家，約克（James Yorke，1941-）和他的合作者洛速達(dá)就是其中的兩位。烏拉姆在書中的第六章第四節(jié)里問道：“如果將單位區(qū)間映到自身的映射S由一個(gè)足夠'簡單’的函數(shù)（例如，逐段線性函數(shù)或多項(xiàng)式）定義，其圖象不以斜率的絕對(duì)值小于1的方式穿過直線y = x，那么它所對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子有一個(gè)非平凡的不變密度函數(shù)嗎？”接下來烏拉姆舉了一族帶參數(shù)逐段線性映射的例子，對(duì)此上述問題的答案那時(shí)尚未出現(xiàn)。這族映射Sa定義如下：當(dāng)0 ≤ x ≤ 1/2時(shí)，Sa(x) = 2x；當(dāng)1/2 < x ≤ 1時(shí)，Sa(x) = (2-a) + 2(a-1)x，其中正數(shù)a < 1/2。這族映射每個(gè)成員的圖象斜率絕對(duì)值都處處大于1。然而，前面提到的洛速達(dá)與麥基合著中的例子說明，“映射圖象切線斜率的絕對(duì)值處處不小于1”，這個(gè)條件還不足以保證不變密度函數(shù)的存在性。十三年后，作為烏拉姆下一代的祖國同胞及“非線性分析”的接棒人，洛速達(dá)同他的北美合作者約克在《美國數(shù)學(xué)會(huì)匯刊》（Transactions of the American Mathematical Society）上發(fā)表了對(duì)烏拉姆如上問題的解答。這是一篇現(xiàn)代遍歷理論的重要論文，標(biāo)題為“關(guān)于逐段單調(diào)變換不變測(cè)度的存在性”（On the existence of invariant measures for piecewise monotonic transformations），摘要僅一句話，簡明扼要地概括了文章的貢獻(xiàn)：“本文證明區(qū)間[0, 1]上一類逐段連續(xù)、逐段二次可微的變換有絕對(duì)連續(xù)不變測(cè)度?！痹谖闹兴麄冏C明了如下結(jié)果：洛速達(dá)-約克定理 若將一區(qū)間映到自身的映射S是逐段二次連續(xù)可微的，且它的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值在該區(qū)間上都不小于一個(gè)大于1的常數(shù)，則S對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子至少有一個(gè)不變密度函數(shù)。特別地，洛速達(dá)和約克對(duì)烏拉姆書中定義的那族逐段線性映射給出了肯定的答案，即對(duì)每一個(gè)滿足0 < a < 1/2的參數(shù)a，映射Sa具有一個(gè)絕對(duì)連續(xù)的不變測(cè)度。更進(jìn)一步，他們的純粹數(shù)學(xué)作品又催生出一篇計(jì)算數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性文章，作者就是約克的博士李天巖（1945-2020），該文已成計(jì)算遍歷理論的經(jīng)典之作。烏拉姆在《數(shù)學(xué)問題集》中不僅提出了不變密度函數(shù)的存在性問題，也基于概率的思想首次提出了一個(gè)計(jì)算方法，用來數(shù)值逼近已假設(shè)存在的不變密度函數(shù)。對(duì)于給定的映射S: [0, 1] → [0, 1]，烏拉姆先將定義域區(qū)間[0, 1]分為n等分，對(duì)i = 1, 2, …, n，第i個(gè)子區(qū)間是[(i-1)/n, i/n]，記為Ii。對(duì)每一對(duì)指標(biāo)i, j = 1, 2, …, n，他定義了一個(gè)比值pij = λ(Ii∩S-1(Ij))/λ(Ii)，其中的符號(hào)“∩”代表兩個(gè)集合的“交集”運(yùn)算，即兩個(gè)集合中共同元素的全體。在pij的表達(dá)式中，分子是區(qū)間Ii與區(qū)間Ij在S下的逆像 S-1(Ij)之交集的勒貝格測(cè)度，而分母則是Ii的長度，恒為1/n。因此，pij這個(gè)數(shù)表示第i個(gè)子區(qū)間Ii中被S映到第j個(gè)子區(qū)間Ij內(nèi)的所有那些點(diǎn)在Ii中所占的比例。用上述的數(shù)pij作為第i行和第j列的元素，烏拉姆構(gòu)造了一個(gè)n行n列的矩陣，它是映射S所對(duì)應(yīng)的無限維弗羅貝尼烏斯-佩隆算子PS的一個(gè)有限維近似。顯然該矩陣的所有元素都是非負(fù)數(shù)，并且從逆像運(yùn)算保持交集運(yùn)算的性質(zhì)S-1(A∩B) = S-1(A)∩ S-1(B)可知，矩陣每行加起來的和都等于1。這說明烏拉姆定義的這個(gè)特殊矩陣是一個(gè)隨機(jī)矩陣，因此學(xué)過大學(xué)線性代數(shù)或矩陣?yán)碚摰淖x者就會(huì)知道不僅它的譜半徑為1，而且1同時(shí)也是它的一個(gè)特征值。只要計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)非負(fù)并被標(biāo)準(zhǔn)化了的左特征向量，即這個(gè)特征向量的n個(gè)分量之和等于n，那么以這n個(gè)分量依次作為對(duì)應(yīng)子區(qū)間I1, I2, …, In上單一常數(shù)值的逐段常數(shù)函數(shù)是一個(gè)密度函數(shù)，它是PS的不變密度函數(shù)的一個(gè)逼近，被烏拉姆稱為不變階梯函數(shù)，因?yàn)閷?duì)應(yīng)于區(qū)間剖分的逐段常數(shù)函數(shù)的圖象，很像從側(cè)面看過去的有升有降的階梯形狀。很自然要問，當(dāng)映射定義域區(qū)間[0, 1]被劃分的子區(qū)間個(gè)數(shù)n越來越多，最終趨向于無窮大時(shí)，上述烏拉姆設(shè)計(jì)的算法所獲得的不變階梯函數(shù)序列會(huì)越來越精確地逼近弗羅貝尼烏斯-佩隆算子PS的不變密度函數(shù)嗎？在他的著作《數(shù)學(xué)問題集》中的第75頁上，烏拉姆寫道：“我們猜測(cè)，如果弗羅貝尼烏斯-佩隆算子具有一個(gè)不變密度函數(shù)，則當(dāng)[0, 1]剖分的個(gè)數(shù)n變成無窮大時(shí)，不變階梯函數(shù)將收斂到不變密度函數(shù)?！边@就是現(xiàn)在所稱的“烏拉姆猜想”，而他構(gòu)造出的這個(gè)計(jì)算不變密度函數(shù)的數(shù)值格式也被后人叫作“烏拉姆方法”——現(xiàn)代研究領(lǐng)域“計(jì)算遍歷理論”以他這本書74-75兩頁內(nèi)容為起點(diǎn)，而這是其中最早、也是最著名的算法。在洛速達(dá)和約克證明了他們的上述定理并發(fā)表后，一類逐段拉長映射絕對(duì)連續(xù)不變測(cè)度的存在性得到了嚴(yán)格保證。當(dāng)剛獲得博士學(xué)位不久的李天巖閱讀了他們的論文后，已經(jīng)對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)產(chǎn)生巨大興趣的他，開始認(rèn)真考慮如何將理論上保證存在的不變密度函數(shù)有效地計(jì)算出來。然而，上天對(duì)他的身體卻沒有太眷顧。1974年拿到博士學(xué)位之后僅僅六個(gè)禮拜，他的血壓竟然上升到220/160毫柱，原因是腎臟真的壞了。正如2020年6月25日李天巖教授因病去世后的當(dāng)天，在我們弟子為他舉行的追思會(huì)上，他的導(dǎo)師約克教授回憶起他1969年從臺(tái)灣去了馬里蘭大學(xué)讀博士學(xué)位后，第二年腎臟就開始出問題，那時(shí)他只有25周歲。到了1976年，他的腎功能只剩下一成，遂開始了持續(xù)了五年半的腎透析，每周要進(jìn)行三次，每次要持續(xù)五個(gè)小時(shí)，還不包括花在路上的時(shí)間。之后他去了歐洲接受腎移植，卻因排斥反應(yīng)而宣告失敗。最終，1981年他一個(gè)親妹妹的腎與他匹配成功，順利移植，這只無私的腎臟為他工作了39年，也幫助他指導(dǎo)出了26篇博士論文。李天巖在疾病面前表現(xiàn)出了鋼鐵般的意志，永不言敗，70年代中期那幾年，他的許多研究想法是在醫(yī)院的病榻上構(gòu)思出的。為了對(duì)滿足洛速達(dá)-約克定理?xiàng)l件的那類區(qū)間映射族設(shè)計(jì)出計(jì)算絕對(duì)連續(xù)不變測(cè)度的實(shí)用程序，遵循數(shù)值分析的一般原則，他先將弗羅貝尼烏斯-佩隆算子離散化。首先他和烏拉姆一樣將[0, 1]區(qū)間分成n等分，然后他定義了一個(gè)值域?yàn)橛邢蘧S子空間的投影算子，它將每一個(gè)[0, 1]上的可積函數(shù)投影成對(duì)應(yīng)于上述區(qū)間剖分的一個(gè)逐段常數(shù)函數(shù)，其在每一個(gè)相關(guān)子區(qū)間上的常數(shù)值就是可積函數(shù)在這個(gè)子區(qū)間上的平均值，亦即函數(shù)在子區(qū)間上的積分除以該子區(qū)間的長度。易見，這個(gè)投影算子將非負(fù)的可積函數(shù)投影成非負(fù)的階梯函數(shù)，并且保持函數(shù)在[0, 1]上的積分不變。將每個(gè)可積函數(shù)映到它自己的“單位算子”也是一個(gè)投影算子，而且是值域最大的投影算子，因此上述的投影算子成為單位算子的一個(gè)有限維逼近。李天巖將它與弗羅貝尼烏斯-佩隆算子復(fù)合了起來，這就構(gòu)成了弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的一個(gè)有限維逼近。如果限制在區(qū)間剖分所確定的全部逐段常數(shù)函數(shù)所組成的那個(gè)n維子空間上，則它的定義域和值域都是同一個(gè)子空間，并且在該子空間的標(biāo)準(zhǔn)密度函數(shù)基底下，它的矩陣表示是一個(gè)隨機(jī)矩陣。這個(gè)基底中的密度函數(shù)是所有n個(gè)子區(qū)間的特征函數(shù)除以子區(qū)間的長度。那時(shí)，李天巖并不知道該矩陣恰好就是烏拉姆在十五年前出版的書中用概率法構(gòu)造出的那個(gè)矩陣。這時(shí)的李天巖對(duì)布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理情有獨(dú)鐘，因?yàn)橹八呀?jīng)創(chuàng)造出數(shù)值逼近這類不動(dòng)點(diǎn)基于微分拓?fù)渌枷氲默F(xiàn)代同倫延拓法。所以，他并沒有采用標(biāo)準(zhǔn)的佩隆-弗羅貝尼烏斯非負(fù)矩陣?yán)碚?，而是將布勞威爾不?dòng)點(diǎn)定理直接借來，證明他如此構(gòu)造的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的有限維逼近算子一定有個(gè)非零的不動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)逐段常數(shù)密度函數(shù)。這個(gè)結(jié)論對(duì)區(qū)間[0, 1]的任何有限劃分都成立，這樣他提出的“逐段常數(shù)函數(shù)投影法”是一個(gè)適定的數(shù)值方法，即對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)n，該算法都能計(jì)算出弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的具有立足于n個(gè)子區(qū)間上階梯圖象的近似不變密度函數(shù)。現(xiàn)在只剩下一個(gè)問題需要解決了，但對(duì)于計(jì)算數(shù)學(xué)家而言這是最重要的問題，通常也屬于最困難的問題：所構(gòu)造出的適定算法收斂嗎？換句話說，對(duì)任意自然數(shù)n都保證存在的這個(gè)近似不變密度函數(shù)，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)會(huì)收斂嗎？此外，如果收斂的話，會(huì)收斂到我們希望如此的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的精確不變密度函數(shù)嗎？這就需要在洛速達(dá)-約克定理的推理細(xì)節(jié)中尋找?guī)椭C明收斂性的關(guān)鍵線索了，同時(shí)也需要挖掘算法提出者自己頭腦里貯存的分析數(shù)學(xué)精華。在洛速達(dá)-約克的論文中，約克貢獻(xiàn)了一個(gè)有用的不等式，它將一個(gè)有界變差函數(shù)在定義域上的變差與該函數(shù)和某個(gè)子區(qū)間的特征函數(shù)乘積的變差之間用不等號(hào)建立了一座橋梁。這座橋梁使得這兩位合作者獲得了關(guān)鍵性的“洛速達(dá)-約克變差不等式”，最終引向不變密度函數(shù)存在的定理結(jié)論。變差是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念，但我在此略去它的定義，只指出一點(diǎn)：它常在“收斂性分析”中獨(dú)挑大梁。李天巖敏銳地觀察到，他所定義的對(duì)應(yīng)于區(qū)間剖分的那個(gè)投影算子，不會(huì)增加可積函數(shù)的變差，這樣他借助于洛速達(dá)-約克變差不等式的一臂之力，對(duì)于滿足洛速達(dá)-約克定理?xiàng)l件的逐段拉長映射，證明近似不變密度函數(shù)的變差對(duì)所有的自然數(shù)n是一致有界的。再利用分析學(xué)中經(jīng)典的赫利選擇定理，所得的逐段常數(shù)密度函數(shù)序列包含一個(gè)子序列在可積函數(shù)空間的“范數(shù)”意義下，收斂到弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的一個(gè)不變密度函數(shù)。特別地，如果此不變密度函數(shù)是唯一的，那么該逐段常數(shù)的近似不變密度函數(shù)序列將收斂于它。這是繼烏拉姆提出關(guān)于不變階梯函數(shù)序列收斂性的“烏拉姆猜想”后，第一次有人對(duì)一類具體的區(qū)間映射從事關(guān)于弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的數(shù)值分析。它也是李天巖一生三大數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)中的一個(gè)，并且獨(dú)立完成， 1976年發(fā)表于美國的《逼近論雜志》（Journal of Approximation Theory）。他的另兩項(xiàng)貢獻(xiàn)可分別簡稱為“混沌定義”與“同倫算法”，這些都是他30歲前的杰作。然而，到了文章寫好為止，他都不知道他所發(fā)明的算法與烏拉姆在《數(shù)學(xué)問題集》一頁紙上寫出的矩陣本質(zhì)上別無二致。文章投稿后，有人告訴作者：你提出的方法就是十五年前問世的烏拉姆方法。不同的是，烏拉姆沒有對(duì)任何映射族證明過他的方法的收斂性，只是猜測(cè)只要不變密度函數(shù)理論上存在，算法就收斂。由此看來，李天巖對(duì)洛速達(dá)-約克區(qū)間映射族“意外地”證明了烏拉姆猜想。烏拉姆是聞名世界的數(shù)學(xué)家，把他的大名放在文章的標(biāo)題中應(yīng)該會(huì)引來更多潛在的讀者。于是，李天巖將自己文章原先的標(biāo)題“弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的有窮維逼近”加長為“弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的有窮維逼近：對(duì)烏拉姆猜想的一個(gè)解答”。從某種意義上講，李天巖就某類一維區(qū)間映射對(duì)烏拉姆猜想的證明，復(fù)蘇了基本上沉寂了十五年之久的烏拉姆方法，他可以與烏拉姆一道被視為計(jì)算遍歷理論的主要開拓者。近半個(gè)世紀(jì)以來，混沌映射不變測(cè)度的計(jì)算已成為貫穿于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的遍歷理論和工程技術(shù)領(lǐng)域中的非線性分析的一個(gè)活躍分支。在關(guān)于烏拉姆方法及其高階推廣的研究和應(yīng)用中，烏拉姆的原始著作及李天巖的創(chuàng)新論文幾乎成了必不可少的經(jīng)典文獻(xiàn)。然而，如果區(qū)間映射并非是逐段拉長的，即便所對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子擁有一個(gè)不變密度函數(shù)，烏拉姆方法的收斂性在一些情形下還沒有得到真正的理論保證，或雖然在數(shù)值試驗(yàn)中觀察到收斂性，卻無法給予嚴(yán)格的證明。不過，幾十年來，對(duì)許多其他范疇的區(qū)間映射和高維變換，烏拉姆猜想已獲得證明。受到李天巖教授證明方法的啟發(fā)，本文作者與合作者、中國科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所的周愛輝運(yùn)用多變量函數(shù)的變差概念，于上世紀(jì)90年代對(duì)一類將高維有界區(qū)域映到自身的分段擴(kuò)展變換證明了烏拉姆猜想，而這類變換絕對(duì)連續(xù)不變測(cè)度的存在性在80年代末由兩位加拿大數(shù)學(xué)家證明。李天巖教授曾對(duì)我回憶過他無意中成功求解烏拉姆猜想而引發(fā)的內(nèi)心感嘆：“如果我早知道這是與馮·諾伊曼一個(gè)級(jí)別的數(shù)學(xué)大家烏拉姆提出的未決問題，或許嚇得不敢去碰它?！笨磥?，李教授事先沒有讀過烏拉姆那本著名的小冊(cè)子《數(shù)學(xué)問題集》不一定是個(gè)損失，否則他也許真的不敢碰它了。不過，如果讀者瀏覽過我2021年出版的《走出混沌：我與李天巖的數(shù)學(xué)情緣》一書，了解到他一生讀書和治學(xué)的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，大概就會(huì)和我一樣相信他絕不是一個(gè)迷信權(quán)威的人，而是直接面對(duì)新生的問題，獨(dú)立自主地思考，想方設(shè)法去解決它。如同他對(duì)包括我在內(nèi)的弟子們說過的一句名言所示：“一個(gè)問題，大人物解決不了，并不表示小人物也解決不了?！?/span>兩種觀點(diǎn)看混沌：確定性與統(tǒng)計(jì)性十九世紀(jì)末，作為“混沌之祖”，法國數(shù)學(xué)家龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912）在自然科學(xué)中首次發(fā)現(xiàn)三體問題中的混沌現(xiàn)象；到了七十年后的二十世紀(jì)中葉，“混沌之父”洛倫茨（Edward Lorenz，1917-2008）破解了天氣預(yù)報(bào)的“蝴蝶效應(yīng)”之謎；再過了十五年，由于數(shù)學(xué)家的洞察力，一個(gè)優(yōu)美的混沌定理橫空出世，一個(gè)混沌的數(shù)學(xué)定義破土而出，從此混沌的研究像大海的潮水一波又一波地涌現(xiàn)?！盎煦纭北槐姸嗟目茖W(xué)家認(rèn)為是二十世紀(jì)繼“相對(duì)論”和“量子力學(xué)”之后的第三大科學(xué)發(fā)現(xiàn)。它的概念、思想、理論和方法早已在物理科學(xué)、生命科學(xué)及工程科學(xué)的許多領(lǐng)域里開花結(jié)果。確定性意義下的混沌揭示出的是自然界的復(fù)雜性和多樣性，正因?yàn)槿绱?，它沒有統(tǒng)一的定義，只有通過獨(dú)特的視角對(duì)它刻畫，如“從有序和可預(yù)測(cè)性的枷鎖中解脫出來的動(dòng)力學(xué)”、“確定性非線性動(dòng)力系統(tǒng)的不規(guī)則、不可預(yù)測(cè)的行為”、“某些動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜的、非周期的吸引軌道”，等等。中國已故的理論物理學(xué)家郝柏林（1934-2018）則將混沌看成是“沒有周期性的有序”。不管怎樣描繪混沌，“對(duì)初始條件的敏感依賴性”是混沌的基本特征，這導(dǎo)致動(dòng)力系統(tǒng)最終性態(tài)的不可預(yù)測(cè)性。然而在確定性意義下看似雜亂無章的混沌行為在概率統(tǒng)計(jì)的意義下又回到了“有規(guī)則性”，這不僅提供了研究混沌的新思路和新途徑，而且也體現(xiàn)了無序和有序之間的對(duì)立統(tǒng)一。中國的概率學(xué)家嚴(yán)加安（1941-）用五言詩句，“隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)。無序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離?！本珶捗枥L出概率統(tǒng)計(jì)的養(yǎng)料播撒在確定性系統(tǒng)的大地上結(jié)出的豐碩果實(shí)?！按_定性和統(tǒng)計(jì)性”兩種觀點(diǎn)看混沌，反射出現(xiàn)代數(shù)學(xué)描寫自然界規(guī)律的兩種相輔相成的合理方式，是必然性與偶然性的有機(jī)結(jié)合，也是“確定數(shù)學(xué)與隨機(jī)數(shù)學(xué)攜手并進(jìn)共存共榮”這一哲學(xué)理念的有力佐證！而現(xiàn)代遍歷理論及其計(jì)算方法，是研究確定性系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的強(qiáng)大武器。
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