假設(shè)想用互不重疊的半徑為1的圓盤把平面填充得盡可能緊密，該怎么做？這是所謂填充問題的一個例子?？梢赃@樣來排列這些圓盤，使得它們的中心成為一個正三角形網(wǎng)格，

3維情況下，類似的結(jié)果也是對的，但是證明起來就難得多了。很長一段時間以來，它都是一個未解決的問題，并以“開普勒猜想”而聞名于世，一直到了1998年，才有一位美國數(shù)學家Thomas Hales 宣稱，他借助于計算機得到了一個很長很復(fù)雜的解，雖然他的解已經(jīng)被證明是很難核驗的，但是有一個共識，認為大概是正確的。

可以在任意維空間里提出球的填充問題，但是隨著維的增加，這個問題變得越來越難。大概到了97維，最緊密的填充將是永遠無法知道的。類似的經(jīng)驗提示，最好的排列方法幾乎絕不會有如同2維情況的那種簡單結(jié)構(gòu)了，所以，唯一的解決方法可能就是某種“硬性搜尋”（brute-force search）。然而，搜尋可能的最佳復(fù)雜結(jié)構(gòu)是不可行的，雖然能夠想辦法把這個過程化簡為只在有限種可能性中搜索，但這時可能性也還是太多，使得實際搜尋成為不可行的。

對于一個看起來太難解決的問題，一個有效的方法是提出一個與之有關(guān)聯(lián)但是能夠處理的問題。對于填充問題的例子，不必去發(fā)現(xiàn)最好的填充，只需要看一下能夠找到緊密到何種程度的填充。

下面在 n 相當大的時候，概要地敘述在n維情況下，能夠給出相當好的填充的論據(jù)。從極大填充開始，所謂極大填充，就是把球一個接一個地畫進去，但不要與已經(jīng)畫好的球重疊，直到不與已經(jīng)畫好的球重疊就再也不能畫新球為止。

現(xiàn)在，令z為R^n的任一點。這時，在已經(jīng)畫好的球的集合中，一定有一個球心與x的距離小于2的球，因為否則就能夠以這一點x為球心作一個單位球，而它不會與任何一個畫好的球相重疊。所以，這樣作出的填充就是一個極大填充。至此，取所有的球的集合，并且把每一個球都按因子2放大，就會把整個R^n覆蓋起來。因為把一個n維球按因子2放大時，其（n維）體積增加2^n倍，所以未曾放大的球所已經(jīng)覆蓋的R^n的比例至少是2^（-n）。

注意，在以上的論證中，對于緊密度達到2^（-n）的填充中，球是如何排列的還一無所知。我們所做的無非就是做出了一個極大填充，做的方法也是相當隨便的。這與在2維情況下的方法成了鮮明的對照，在2維情況下，我們確實定義了圓盤的很獨特的排列方式。

這樣的對照在整個數(shù)學中比比皆是。對于有些問題，最好的方法是建立一個具有高度結(jié)構(gòu)的模式，使它具有所需要的性質(zhì)，而對于另一些問題（這些問題想要得到精確的解通常是毫無希望），去尋找不那么獨特的安排反而更好。“具有高度結(jié)構(gòu)的"這個詞，這里就意味著"具有高度對稱性"。

正三角形格網(wǎng)是一個很簡單的模式，但有些具有高度結(jié)構(gòu)的模式卻可能復(fù)雜得多，而在發(fā)現(xiàn)它們時，常會給人大得多的驚喜。在填充問題中就有一個值得注意的例子。大體說來，研究的問題維數(shù)越高，尋找好的模式就越困難，但是這個一般的規(guī)律在24維的情況卻發(fā)生了例外。在這時出現(xiàn)了一個很不平常的構(gòu)造，稱為利奇（Leech）格網(wǎng)，給出了奇跡般緊密的填充。形式地說，R^n中的格網(wǎng)就是具有以下三個性質(zhì)的子集合Λ：

1. 若x和y都屬于Λ，則x+y和x-g也屬于Λ。

2. 若x屬于Λ，則它必是孤立的。就是說必定存在一個常數(shù)d>0，使x和Λ 中任意其他點的距離至少是d。

3. Λ不包含于R^n的任意n-1維子空間中。

R^n中的所有具有整數(shù)坐標的點的集合Z^n就是格網(wǎng)的好例子。如果要尋找一個緊密的填充，關(guān)注于格網(wǎng)是一個好主意，因為只要知道了格網(wǎng)中的每一個非零點距離0至少為d，則格網(wǎng)中任意兩點的相互距離也至少為d。這是因為Λ中的x與y的距離，與y-z與0的距離是相同的。所以，不需要考慮整個格網(wǎng)，只看它在0附近的那一部分就可以了。

在 24 維情況下可以證明，存在一個格網(wǎng)Λ 具有以下的附加的性質(zhì)，這個格網(wǎng)在以下的意義下還是唯一的，即所有也具有這些附加性質(zhì)的格網(wǎng)都可以由這個Λ 旋轉(zhuǎn)而得。

1. 存在一個24×24矩陣M，其行列式等于1，而Λ就是M的各行的整數(shù)組合。

2. 若v是Λ的一點，則v到0的距離的平方是一個偶數(shù)。

3. Λ中離0最近的非零向量的距離是2。所以，以Λ的點為心半徑為1的球，構(gòu)成R^24的一個填充。

離開0最近的非零向量遠非唯一的，事實上有196560個，考慮到這些點互相的距離為2，就可以看到這是一個非常大的數(shù)字，這個格網(wǎng)就叫做利奇格網(wǎng)。

利奇格網(wǎng)有極大的對稱性，說準確一些，有8315553613086720000個旋轉(zhuǎn)對稱，這個數(shù)等于

如果取這個對稱群對于恒等元和負恒等元所成的子群的商群，就會得到康威（Conway）群C_o1，它是單群的著名的散在子群之一。有這么多對稱性存在，使得決定任意非零格點到0的距離更加容易，因為只要核驗了一個距離，也就同時自動地核驗了許多其他點的距離（正如在正三角形格網(wǎng)情況下六重對稱性使得0到6個相鄰的非零點距離都相同）。關(guān)于利奇格網(wǎng)的這些事實表明了數(shù)學研究的一個一般原則∶若一個數(shù)學結(jié)構(gòu)有了一個值得注意的性質(zhì)，也就會有其他性質(zhì)。特別是高度的對稱性常與其他的有趣的特性有關(guān)。于是，如果說利奇格網(wǎng)的存在已經(jīng)令人吃驚，那么，再發(fā)現(xiàn)它會給出R^24的極為緊密的填充就不太令人吃驚了。事實上，2004年Henry Cohn和Abhinav Kumar 表明，它給出了R^24這個球的最緊的填充，至少在格網(wǎng)給出的填充中，它是最緊密的，不過，這一點仍未得到證明。

表觀上的偶合

最大的散在單群稱為魔群（Monster Group）。這個名稱部分地可以用它的大小來解釋∶

怎么能理解這么大的群呢？

最好的辦法之一是證明它是某個其他的數(shù)學結(jié)構(gòu)的對稱群，而且，那個對象越小越好。我們剛才已經(jīng)看到了另一個很大的散在單群，康威群與利奇格網(wǎng)的對稱群有密切的關(guān)系。是否也有某個格網(wǎng)以魔群為對稱群呢

不難證明，確實有一些格網(wǎng)能起作用，但是更大的挑戰(zhàn)是要找一個小維數(shù)的格網(wǎng)。已經(jīng)證明了最小可能的維數(shù)是196883。

現(xiàn)在轉(zhuǎn)到一個不同的數(shù)學分支。找到一個函數(shù)j（z）的定義。這個函數(shù)稱為橢圓模函數(shù)，它在代數(shù)數(shù)理論中起著中心的作用，它是由一個級數(shù)的和來定義的，這個級數(shù)是這樣開始的∶

令人感興趣的是級數(shù)中e^2πiz的系數(shù)是196884，比剛才的格網(wǎng)的最小可能維數(shù)196883只大了1，而這個格網(wǎng)是以魔群為對稱群的。

并不明顯的是我們應(yīng)該多么嚴肅地對待這個觀察，當John McKay看到這一點時，人們就已經(jīng)有了分歧。有人認為這大概只是偶合，因為這兩個領(lǐng)域看來如此不同而且互不相關(guān)。另一些人的態(tài)度則是∶既然函數(shù)j（z）和魔群在自己的領(lǐng)域中都如此重要，而數(shù)196883又這么大，這種驚人的數(shù)值上的事實，可能指向尚未發(fā)現(xiàn)的深刻聯(lián)系。

后來證明第二種觀點是正確的。在研究了j（z）的各個系數(shù)以后，McKay 和John Thomson提出了一個猜想，即所有的系數(shù)（不只是196884）都與魔群有關(guān)。這個猜想后來被康威和Simon Norton 擴展，他們提出了所謂"魔幻月光猜想"（mon-strous moonshine conjecture），在1992年被Richard Borcherds證明（這里使用了“月光”二字，說明開始時人們覺得魔群與j函數(shù)的聯(lián)系朦朧如月色，令人不敢相信）。

Borcherds 為了證明這個猜想引進了一個新的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并稱之為頂點代數(shù)，而為了分析頂點代數(shù)，他又利用了來自弦論的結(jié)果。換句話說，借助于理論物理學的概念，他解釋了兩個看來很不相同的純粹數(shù)學領(lǐng)域的聯(lián)系。

這個例子用很極端的方式說明了數(shù)學研究的另一個一般原則∶如果能夠從不同的數(shù)學來源，得到同樣的數(shù)字序列（或者同樣的更一般的數(shù)學結(jié)構(gòu)），那么這兩個數(shù)學來源大概有點聯(lián)系，不會如初看時覺得的那樣互不相關(guān)。此外，如果能夠找到一個深刻的聯(lián)系，說不定就會被引到其他深刻聯(lián)系。有許多別的例子，其中完全不同的計算給出了相同的答案，而至今未得解釋。這些現(xiàn)象后來成了數(shù)學中的某些最困難最吸引人的未解決問題。

更有趣的是，j函數(shù)還引到了第二個著名的數(shù)學“偶合”。

但是它的十進小數(shù)展開是這樣開始的∶

注意，小數(shù)點后緊接著12個9。它與一個整數(shù)262537412640768744如此驚人地接近，二者只相差不到2×10^（-13）。開始的時候，這件事又一次誘使人把它只當成一個偶合，但是，屈服于一個誘惑之前，必須三思而行。畢竟不會有很多的數(shù)定義可以如

一樣簡單，而其接近于一個整數(shù)的程度也如它自己那樣。事實上，這完全不是偶合，關(guān)于其解釋涉及到代數(shù)數(shù)，這是以后的話題了。