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11月8日上午，張益唐在北京大學(xué)在線(xiàn)作報(bào)告講解他的最新論文，在各個(gè)直播平臺(tái)都吸引了大量學(xué)界內(nèi)外的聽(tīng)眾。 數(shù)論這樣一個(gè)古老的數(shù)學(xué)研究分支，從誕生之初就吸引了國(guó)內(nèi)外眾多數(shù)學(xué)家前赴后繼地投入研究，對(duì)于各類(lèi)至今未解的猜想，數(shù)學(xué)家們從來(lái)沒(méi)有放棄過(guò)研究。這些研究堪稱(chēng)是數(shù)學(xué)界最基礎(chǔ)的研究，但是其獨(dú)特的魅力在數(shù)學(xué)之外閃現(xiàn)時(shí)，卻總是在出人意料處。 數(shù)學(xué)家張益唐教授取得的一項(xiàng)最新成果是關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想方面的研究，與黎曼猜想有密切聯(lián)系。鑒于此結(jié)果在數(shù)論中有諸多應(yīng)用，有助于數(shù)學(xué)家更好地認(rèn)識(shí)等差數(shù)列中的素?cái)?shù)分布規(guī)律，這也被認(rèn)為是他繼孿生素?cái)?shù)猜想后取得的更大的突破性成就。 與數(shù)學(xué)相關(guān)的話(huà)題，總是能引發(fā)社會(huì)的熱議。我們不禁要問(wèn)，數(shù)學(xué)為什么具有那么持久的生命力？數(shù)學(xué)對(duì)我們每個(gè)普通人，對(duì)我們的國(guó)家與社會(huì)，對(duì)我們的教育到底意味著什么？ 此外，也有很多人關(guān)心數(shù)學(xué)到底有什么用。其實(shí)，一言以蔽之，數(shù)學(xué)的用處在于“無(wú)用之用”，數(shù)學(xué)也可說(shuō)是眾妙之門(mén)。 “不懂幾何者勿入內(nèi)”，這句名言的深意是什么 數(shù)學(xué)是什么？狄拉克說(shuō)，用數(shù)學(xué)描述基本物理定律似乎是自然的基本特征之一，需要相當(dāng)高的數(shù)學(xué)水平才能理解它。 你可能會(huì)想：為什么大自然以這樣方法建造？一種回答是，我們現(xiàn)在的知識(shí)似乎表明它是如此構(gòu)造的，我們必須接受它。 也有人可能會(huì)說(shuō)，自然是一位非常高級(jí)的數(shù)學(xué)家，她用非常先進(jìn)的數(shù)學(xué)來(lái)構(gòu)建宇宙。在數(shù)學(xué)上的微弱嘗試，幫助我們能理解一點(diǎn)宇宙，并且，隨著我們開(kāi)發(fā)越來(lái)越高級(jí)的數(shù)學(xué)，也希望能更好地理解宇宙。 另一方面，人類(lèi)因?yàn)樽非髮徝蓝l(fā)展的音樂(lè)、美術(shù)、繪畫(huà)、建筑等學(xué)科，其背后都能有深刻的數(shù)學(xué)背景。 譬如，音樂(lè)的很多要素是和數(shù)學(xué)緊密相關(guān)的。在音律學(xué)中，五度相生律和我國(guó)古代的三分損益法的原理是什么？為什么我國(guó)明代科學(xué)家朱載堉發(fā)明的十二平均律那么重要？解釋這些事實(shí)，背后完全是數(shù)學(xué)的原理。 關(guān)于數(shù)學(xué)是什么，我們可以從一本書(shū)說(shuō)起。大約公元前三世紀(jì)，古希臘有一本著作《幾何原本》，這本書(shū)包含了5條公設(shè)、131條定義和465條命題。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，這里的公設(shè)指“不證自明”的事實(shí)，而命題是經(jīng)由公設(shè)演繹推理得到的結(jié)論。 在中學(xué)教科書(shū)中，幾何的絕大多數(shù)內(nèi)容，以及代數(shù)的一部分內(nèi)容，其實(shí)都來(lái)自這本書(shū)?？梢哉f(shuō)，《幾何原本》對(duì)人類(lèi)文明的影響非常大。幾何（Geometry）這個(gè)詞中，“geo”的意思其實(shí)就是地球，“metric”的意思是測(cè)量。 有人也許都聽(tīng)說(shuō)過(guò)柏拉圖學(xué)院的名言：“不懂幾何者勿入內(nèi)”，這顯示在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間的人類(lèi)文明中，數(shù)學(xué)對(duì)啟迪人類(lèi)智慧以及產(chǎn)生哲學(xué)思想具有非常重要的作用。甚至可以毫不夸張地說(shuō)，這是人類(lèi)文明史上迄今最為重要的教科書(shū)。 中國(guó)明代科學(xué)家徐光啟最先翻譯了《幾何原本》的部分內(nèi)容，正是他把“Geometry”翻譯成幾何。徐光啟在翻譯《幾何原本》的前言中提到他為什么要主張學(xué)習(xí)這本書(shū)。 他說(shuō)這本書(shū)最大的用處是可以“習(xí)人之靈才，令細(xì)而確也”，意思就是通過(guò)學(xué)習(xí)會(huì)形成很好的、很?chē)?yán)格的邏輯思維體系，做事會(huì)非常有邏輯性、條理性，也會(huì)非常精確化、數(shù)字化，更重要的是可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維方式，可說(shuō)是能夠帶給我們超越人類(lèi)經(jīng)驗(yàn)的思辨能力和認(rèn)識(shí)宇宙萬(wàn)物的勇氣。 無(wú)處不用到的數(shù)學(xué)，是很多學(xué)科的靈魂 當(dāng)然,數(shù)學(xué)的功能不僅在于教育，數(shù)學(xué)還有實(shí)際用處。同樣,在《幾何原本》的前言中，徐光啟說(shuō)“典樂(lè)五官者，非度數(shù)不為功”，這就是說(shuō)音律、歷法等等實(shí)際上都必須要用到數(shù)學(xué)，至于建筑工程、航空航天等等，更是需要用到數(shù)學(xué)。華羅庚也曾說(shuō)過(guò)，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用到數(shù)學(xué)”。 我們?cè)倥e一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用于自然科學(xué)的例子。人類(lèi)生活在地球上，因此，“球面的幾何”對(duì)我們非常重要。一般中學(xué)教科書(shū)里的平面幾何也叫歐式幾何，還有一種是雙曲幾何。而“球的幾何”后來(lái)被發(fā)展成黎曼幾何，黎曼幾何又被愛(ài)因斯坦用來(lái)建立了廣義相對(duì)論。愛(ài)因斯坦完美地通過(guò)引力空間的彎曲來(lái)解釋物質(zhì)之間的引力，這是科學(xué)史上最完美、輝煌的成就之一。 當(dāng)然，除此之外還有很多數(shù)學(xué)所用的地方。比如，有素?cái)?shù)的音樂(lè)之稱(chēng)且至今真假莫辨的著名難題——黎曼假設(shè)的主角“黎曼函數(shù)”，就源自調(diào)和級(jí)數(shù)，而調(diào)和級(jí)數(shù)的源頭正是音樂(lè)中的和弦，這一點(diǎn)并非偶然，而是因?yàn)閿?shù)學(xué)乃音樂(lè)之魂。天文學(xué)也必須用到幾何，牛頓力學(xué)要用微積分，即便是電磁學(xué)也需要用微分方程，至于現(xiàn)在流行的機(jī)器學(xué)習(xí)，更是與概率統(tǒng)計(jì)、線(xiàn)性代數(shù)密不可分；信息安全要用到代數(shù)、數(shù)論、組合等等。 諾獎(jiǎng)經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主中，約20%是職業(yè)數(shù)學(xué)家 大家或許還記得，中學(xué)物理教過(guò)的幾個(gè)定理，包括高斯定理、法拉第定理、麥克斯韋方程等等。但是大多數(shù)人直到大學(xué)學(xué)完高數(shù)后，才能真正明白這些公式的真正含義。不論我們是在線(xiàn)下還是云端相聚，能夠互相交流，都是因?yàn)檫@些方程式在起作用。這就是數(shù)學(xué)在描述自然規(guī)律時(shí)的體現(xiàn)，同樣數(shù)學(xué)也在認(rèn)識(shí)宇宙的過(guò)程中具有無(wú)可替代的作用。 數(shù)學(xué)和自然科學(xué)，包括與天文、物理、化學(xué)、生物，以及地質(zhì)學(xué)、地球物理學(xué)等都有著密切的關(guān)系?，F(xiàn)代技術(shù)，即所謂的Modern technology，雖然屢次獲得突破都是因?yàn)榻I(yè)革命，但是背后也與數(shù)學(xué)的發(fā)展有極大的關(guān)系，尤其是微積分的發(fā)展。比如，數(shù)學(xué)與醫(yī)療科學(xué)，大家經(jīng)常去醫(yī)院做CT或核磁共振，其背后就是數(shù)學(xué)和物理的知識(shí)在起到作用，至于計(jì)算機(jī)科學(xué)更是受到數(shù)學(xué)巨大的影響。 甚至，嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)中分化出很多現(xiàn)代科學(xué)的分支。比如密碼學(xué)，真正的密碼學(xué)就是建立在信息論、代數(shù)和數(shù)論的基礎(chǔ)上，密碼學(xué)保證了現(xiàn)代通訊技術(shù)的健康發(fā)展，編碼理論使得我們能夠高效流暢地交流信息。至于工程科學(xué)與工業(yè)制造，也與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，例如大飛機(jī)設(shè)計(jì)與流體力學(xué)等等。 當(dāng)前，社會(huì)科學(xué)也越來(lái)越多地在使用數(shù)學(xué)。比如統(tǒng)計(jì)學(xué)，這門(mén)學(xué)科曾經(jīng)本來(lái)就是數(shù)學(xué)的一部分。再看金融學(xué)、甚至哲學(xué)，其實(shí)都與數(shù)學(xué)密不可分。實(shí)際上，古希臘幾乎所有的哲學(xué)家都是數(shù)學(xué)家，原因是從某種程度上來(lái)說(shuō)，只有對(duì)我們生活的空間、對(duì)宇宙有了本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，才會(huì)有哲學(xué)的思考，才會(huì)產(chǎn)生對(duì)人類(lèi)終極命運(yùn)的思考。 至于經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科也都與數(shù)學(xué)的關(guān)系密不可分。代表經(jīng)濟(jì)學(xué)最高成就的經(jīng)濟(jì)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)迄今為止產(chǎn)生的90余位得主中，擁有數(shù)學(xué)學(xué)位者超過(guò)半數(shù)，其中職業(yè)數(shù)學(xué)家約占20%。首屆(1969年)兩個(gè)得主，一位擁有數(shù)學(xué)博士學(xué)位；另一位則擁有數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位和物理學(xué)博士學(xué)位。 美國(guó)芝加哥大學(xué)是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的大戶(hù)，芝大經(jīng)濟(jì)學(xué)院推薦給本科生的13門(mén)核心課程中，數(shù)學(xué)課程占了5門(mén)，還有1門(mén)統(tǒng)計(jì)學(xué)也可認(rèn)為是數(shù)學(xué)課程。 時(shí)任瑞典阜家科學(xué)院院長(zhǎng)的埃里克·倫德博格在諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)首屆頒獎(jiǎng)儀式上說(shuō)：“過(guò)去40年中，經(jīng)濟(jì)科學(xué)日益朝著用數(shù)學(xué)表達(dá)經(jīng)濟(jì)內(nèi)容和統(tǒng)計(jì)定量的方向發(fā)展?！?/span> 熱愛(ài)數(shù)學(xué)，你就是那個(gè)仰望星空的人。 相關(guān)鏈接>>>如何得到穩(wěn)定婚姻？獲諾貝爾獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家研究得明明白白以下內(nèi)容摘編自《數(shù)學(xué)的天空》，由張躍輝、李吉有、朱佳俊合著 經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者中數(shù)學(xué)家眾多。這里就以2012年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)為例。 兩位經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主是哈佛大學(xué)商學(xué)院教授阿爾文·羅思和加州大學(xué)洛杉磯分校的勞埃德·沙普利，他們的主要貢獻(xiàn)是穩(wěn)定匹配理論和市場(chǎng)設(shè)計(jì)。 穩(wěn)定匹配理論廣泛地應(yīng)用于實(shí)際生活中。例如，如何設(shè)計(jì)高考填報(bào)志愿方法，如何將捐獻(xiàn)的器官分配到需要的病人，如何將實(shí)習(xí)醫(yī)生分配到各個(gè)醫(yī)院等。沙普利的主要貢獻(xiàn)是提供了一個(gè)理論上的最優(yōu)方案，稱(chēng)為“蓋爾-沙普利方法”(Gale-Shapley method)。 以高考填報(bào)志愿為例，該方法的基本思想是，讓分?jǐn)?shù)最高的人先報(bào)，每個(gè)大學(xué)挑選它最中意的學(xué)生，剔除掉其他候選人；然后讓分?jǐn)?shù)次高的人填報(bào)，每個(gè)大學(xué)依次挑選最中意的人；最后直到所有學(xué)生都被錄取為止。這一機(jī)制可以確保公平和效率。目前，我國(guó)多數(shù)省份高考錄取采用的平行志愿即是該理論的一種應(yīng)用。 沙普利是美國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家，對(duì)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)特別是博弈論理論作出過(guò)杰出貢獻(xiàn)，被認(rèn)為是博弈論的化身。他也是1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主約翰·納什的博士同學(xué)，納什稱(chēng)沙普利是自己的生活導(dǎo)師和朋友。 沙普利獲獎(jiǎng)的最大原因是他和大衛(wèi)·蓋爾于1962年通過(guò)研究所謂“穩(wěn)定婚姻”所創(chuàng)的“蓋爾-沙普利方法”，其核心是市場(chǎng)匹配的合理原則應(yīng)該是“情投意合”而非“價(jià)高者得”，也只有這個(gè)優(yōu)美而英明的理論可以解釋為什么有優(yōu)秀未婚女性！ 關(guān)于穩(wěn)定婚姻問(wèn)題(簡(jiǎn)稱(chēng)SMP)，早在大約2500年前蘇格拉底就曾有精彩絕倫的論述：Byall means marry,If you get a good wife you will become happy and if you get a bad one you will become a philosopher.(千方百計(jì)要結(jié)婚，賢妻帶你走進(jìn)天堂，悍婦造就哲學(xué)巨匠。） 約50年前,蓋爾與沙普利引入“穩(wěn)定婚姻”，該問(wèn)題如下： 設(shè)有N個(gè)想結(jié)婚的男子和N個(gè)想結(jié)婚的女子，他們每個(gè)人都對(duì)每個(gè)異性按照自己鐘情的程度給予排名(排名越靠前表示鐘情的程度越深)，穩(wěn)定婚姻問(wèn)題的研究目標(biāo)是找到某種匹配，使得每個(gè)人的婚姻都是穩(wěn)定的。 什么樣的婚姻才是穩(wěn)定的呢？ 首先，穩(wěn)定婚姻當(dāng)然應(yīng)該是每個(gè)人都有自己的配偶（在男女人數(shù)不相同的情況下，應(yīng)該使數(shù)目較小的那個(gè)性別的每個(gè)人都有配偶)，其次，穩(wěn)定婚姻匹配應(yīng)該是沒(méi)有男子更鐘情于非妻子的某女子，同時(shí)該女子也更鐘情于該男子。換句話(huà)說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)人，其心目中比當(dāng)前伴侶更好的異性都不會(huì)認(rèn)為自己也是一個(gè)更好的選擇，請(qǐng)注意，穩(wěn)定婚姻未必是使每個(gè)人都最為滿(mǎn)意的婚姻。 具有穩(wěn)定婚姻的社會(huì)當(dāng)然是美好而令人向往的，蘇格拉底眼中的婚姻當(dāng)然都是穩(wěn)定婚姻，但問(wèn)題是穩(wěn)定婚姻是否必然存在呢？ 答案在蓋爾與沙普利的著名論文College Admissions and the Stability of Marriage(《高校招生與穩(wěn)定婚姻》)中給出，根據(jù)蓋爾-沙普利定理——穩(wěn)定婚姻必定存在。 按照中國(guó)的傳統(tǒng)，我們假定在每一輪“相親”過(guò)程中，每個(gè)男子都向其最為鐘情的女子求婚，而每個(gè)女子都采取最佳策略，即在任何一輪“相親”中都“暫時(shí)接受”當(dāng)前所有求婚男子中她最鐘情者同時(shí)拒絕其他求婚的男子，并繼續(xù)等待她心中的白馬王子出現(xiàn)(隨即與其訂婚)。 可以看出，沒(méi)有任何一個(gè)男子是被其求婚的女子最為鐘情的，因此所有女子的策略都是“暫時(shí)接受”當(dāng)前的求婚男子而并不與其“訂婚”，但是，由于沒(méi)有任何一個(gè)男子受到其求婚對(duì)象的拒絕，于是每個(gè)男子都不會(huì)發(fā)起第二輪求婚，所以第一輪相親獲得圓滿(mǎn)成功而成為最后的匹配。 在本例中，盡管所有女子均未等到她們的白馬王子，然而每個(gè)男子均成功地得到了各自的夢(mèng)中情人，因此最終的匹配是使所有男子最為滿(mǎn)意的穩(wěn)定婚姻。 可以總結(jié)出男子主動(dòng)求婚的蓋爾-沙普利算法如下:
蓋爾與沙普利還證明了下面十分有趣又令人深思的結(jié)論： 結(jié)論1:男子主動(dòng)策略是男子的最佳策略！換句話(huà)說(shuō)，每個(gè)男子的妻子是“最佳的”，即在穩(wěn)定婚姻匹配中每個(gè)男子更鐘情的女子都會(huì)認(rèn)為現(xiàn)在的丈夫更好。 結(jié)論2:男子主動(dòng)策略是女子的最差策略！換句話(huà)說(shuō)，每個(gè)女子的丈夫是“最差的”,即每個(gè)女子現(xiàn)在的丈夫是所有穩(wěn)定婚姻匹配中她所最不心儀的男子。 蓋爾與沙普利關(guān)于穩(wěn)定婚姻的理論至少有兩條價(jià)值連城的啟示：一是先下手為強(qiáng)，后下手遭殃！此條對(duì)適齡女生尤為重要，守株待兔等不到白馬王子，主動(dòng)出擊方可能實(shí)現(xiàn)美好人生!二是通往諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的最短路線(xiàn)是數(shù)學(xué)！ 作者：李吉有（作者為上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授） 編輯：朵拉 |
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