時間序列分析中的自相關(guān)

禁忌石 2022-11-17 發(fā)布于浙江

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什么是自相關(guān)以及為什么它在時間序列分析中是有用的。

在時間序列分析中，我們經(jīng)常通過對過去的理解來預測未來。為了使這個過程成功，我們必須徹底了解我們的時間序列，找到這個時間序列中包含的信息。

自相關(guān)就是其中一種分析的方法，他可以檢測時間系列中的某些特征，為我們的數(shù)據(jù)選擇最優(yōu)的預測模型。

在這篇簡短的文章中，我想回顧一下:什么是自相關(guān)，為什么它是有用的，并介紹如何將它應用到Python中的一個簡單數(shù)據(jù)集。

什么是自相關(guān)?

自相關(guān)就是數(shù)據(jù)與自身的相關(guān)性。我們不是測量兩個隨機變量之間的相關(guān)性，而是測量一個隨機變量與自身變量之間的相關(guān)性。因此它被稱為自相關(guān)。

相關(guān)性是指兩個變量之間的相關(guān)性有多強。如果值為1，則變量完全正相關(guān)，-1則完全負相關(guān)，0則不相關(guān)。

對于時間序列，自相關(guān)是該時間序列在兩個不同時間點上的相關(guān)性(也稱為滯后)。也就是說我們是在用時間序列自身的某個滯后版本來預測它。

數(shù)學上講自相關(guān)的計算方法為:

其中N是時間序列y的長度，k是時間序列的特定的滯后。當計算r_1時，我們計算y_t和y_{t-1}之間的相關(guān)性。

y_t和y_t之間的自相關(guān)性是1，因為它們是相同的。

為什么它有用?

使用自相關(guān)性來度量時間序列與其自身的滯后版本的相關(guān)性。這個計算讓我們對系列的特征有了一些有趣的了解:

季節(jié)性：假設(shè)我們發(fā)現(xiàn)某些滯后的相關(guān)性通常高于其他數(shù)值。這意味著我們的數(shù)據(jù)中有一些季節(jié)性成分。例如，如果有每日數(shù)據(jù)，并且發(fā)現(xiàn)每個 7 滯后項的數(shù)值都高于其他滯后項，那么我們可能有一些每周的季節(jié)性。

趨勢：如果最近滯后的相關(guān)性較高并且隨著滯后的增加而緩慢下降，那么我們的數(shù)據(jù)中存在一些趨勢。因此，我們需要進行一些差分以使時間序列平穩(wěn)。

讓我們用一個Python示例，來看看他到底是如何工作的

Python示例

我們將使用經(jīng)典的航空客運量數(shù)據(jù)集:

https://www./datasets/ashfakyeafi/air-passenger-data-for-time-series-analysis

# Import packagesimport plotly.express as pximport pandas as pd# Read in the datadata = pd.read_csv('AirPassengers.csv')# Plot the datafig = px.line(data, x='Month', y='#Passengers',labels=({'#Passengers': 'Passengers', 'Month': 'Date'}))fig.update_layout(template='simple_white', font=dict(size=18),title_text='Airline Passengers', width=650,title_x=0.5, height=400)

可視化可以看到有明顯的上升趨勢和年度季節(jié)性(按月索引的數(shù)據(jù)點)。

這里可以使用statsmodels包中的plot_acf函數(shù)來繪制時間序列在不同延遲下的自相關(guān)圖，這種類型的圖被稱為相關(guān)圖:

# Import packagesfrom statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acfimport matplotlib.pyplot as plt# Plot autocorrelationplt.rc('figure', figsize=(11,5))plot_acf(data['#Passengers'], lags=48)plt.ylim(0,1)plt.xlabel('Lags', fontsize=18)plt.ylabel('Correlation', fontsize=18)plt.xticks(fontsize=18)plt.yticks(fontsize=18)plt.title('Autocorrelation Plot', fontsize=20)plt.tight_layout()plt.show()

這里我們需要注意到以下幾點:

在每12步的滯后中有一個明顯的周期性模式。這是由于我們的數(shù)據(jù)是按月編制的，因此我們的數(shù)據(jù)具有每年的季節(jié)性。
隨著滯后量的增加，相關(guān)強度總體上呈緩慢下降趨勢。這在我們的數(shù)據(jù)中指出了一個趨勢，在建模時需要對其進行區(qū)分以使其穩(wěn)定。
藍色區(qū)域表示哪些滯后在統(tǒng)計上顯著。因此在對該數(shù)據(jù)建立預測模型時，下個月的預測可能只考慮前一個值的~15個，因為它們具有統(tǒng)計學意義。

在值0處的滯后與1的完全相關(guān)，因為我們將時間序列與它自身的副本相關(guān)聯(lián)。

總結(jié)

在這篇文章中，我們描述了什么是自相關(guān)，以及我們?nèi)绾问褂盟鼇頇z測時間序列中的季節(jié)性和趨勢。自相關(guān)還有其他用途。例如，我們可以使用預測模型殘差的自相關(guān)圖來確定殘差是否確實獨立。如果殘差的自相關(guān)不是幾乎為零，那么擬合模型可能沒有考慮到所有的信息，是可以改進的。