主要內(nèi)容：

1. 自相關(guān)性和自相關(guān)系數(shù)

2. 強(qiáng)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)

3. Python平穩(wěn)性檢驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)

重要性：10分 (1-10)。

時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性對于我們采用什么樣的分析方式、選擇什么樣的模型有著至關(guān)重要的影響。

我們想一下，假如一個(gè)時(shí)間序列的波動(dòng)趨勢從來沒有穩(wěn)定過，那么它每個(gè)時(shí)期的波動(dòng)對于之后一段時(shí)期的影響都是無法預(yù)測的，因?yàn)樗S時(shí)可能“變臉”。而當(dāng)一個(gè)時(shí)間序列的特征維持穩(wěn)定，比如它的均值和方差是穩(wěn)定的，那么我們認(rèn)為在之后的一段時(shí)間里，它的數(shù)據(jù)分布跟歷史的數(shù)據(jù)分布大概率是保持一致的，這時(shí)，我們就可以基于歷史數(shù)據(jù)對未來的走勢做一個(gè)預(yù)測，這能幫助我們找到更大概率成功的決策。

股票數(shù)據(jù)，就是極為常見的一種時(shí)間序列數(shù)據(jù)。在量化過程中應(yīng)用時(shí)間序列分析手段時(shí)，我們往往需要先進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，從而選擇合適的研究方法。

在學(xué)習(xí)平穩(wěn)性之前，我們先了解一下自相關(guān)性的概念。

一、自相關(guān)性

自相關(guān)性與相關(guān)性

我們知道，相關(guān)性常用于統(tǒng)計(jì)兩個(gè)變量之間是否存在某種關(guān)聯(lián)。那么，自相關(guān)性代表了變量與自身之間的相關(guān)性，只不過一般情況下我們統(tǒng)計(jì)的是兩組隸屬于不同時(shí)間區(qū)間的數(shù)據(jù)。當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的時(shí)間范圍相同時(shí)，其相關(guān)性為1（相當(dāng)于兩組完全相同的數(shù)據(jù)）。

之前我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過Pearson相關(guān)系數(shù)，自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和Pearson相關(guān)系數(shù)的計(jì)算過程非常相似，但是它們在分母上有些區(qū)別。Pearson相關(guān)系數(shù)的計(jì)算中，分母為兩個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差之積；而在自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算中，我們會(huì)直接使用第k期時(shí)間序列數(shù)據(jù)的方差：

自協(xié)方差的計(jì)算與協(xié)方差的計(jì)算是一致的：

事實(shí)上，自相關(guān)性存在一定的問題。一般來說，在一組時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，相鄰時(shí)間節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)間往往存在某些關(guān)聯(lián)。第1期對第2期有影響，第2期對第3期有影響……也就是說，我們的自相關(guān)系數(shù)衡量的不僅僅是

期之前的數(shù)據(jù)對當(dāng)前期數(shù)據(jù)的影響，也包含了更早期的數(shù)據(jù)帶來的間接影響。

為了解決這個(gè)問題，我們引入了偏自相關(guān)系數(shù)，它是X(k)與X(k-l)之間的條件自相關(guān)系數(shù)。其計(jì)算非常復(fù)雜，這里不再展開。好在我們可以用Python的statsmodels庫非常輕易地完成計(jì)算。

自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

在Python中，可以用statsmodels提供的工具來計(jì)算自相關(guān)性和偏自相關(guān)性。我們以上證綜指的收益率數(shù)據(jù)來進(jìn)行演示。

輸出為：

自相關(guān)系數(shù):  [ 1. -0.1692613 -0.03035227 0.22164563 -0.11543326 -0.05630536 -0.18736445 0.04942778 -0.02089329 -0.00722488 -0.03940862]自相關(guān)系數(shù):  [ 1. -0.17100626 -0.06204206 0.21965218 -0.04895894 -0.08142805 -0.30000036 0.00808857 0.01488787 0.11432786 -0.12407987]

可以看到，這里自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算都返回了長度為10的數(shù)組。它們分別代表了當(dāng)

的取值為從0到10時(shí)的自相關(guān)性統(tǒng)計(jì)。這里acf()方法用于計(jì)算自相關(guān)系數(shù)，pacf()用于計(jì)算偏自相關(guān)系數(shù)，nlags參數(shù)用于指定最大的l，這里我們指定了10，所以就會(huì)最多對比當(dāng)前期與10期之前的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，這里10期就是10個(gè)交易日。

二、平穩(wěn)性

平穩(wěn)性分為強(qiáng)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)。

強(qiáng)平穩(wěn)的要求非常嚴(yán)格，它要求兩組數(shù)據(jù)之間的任何統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間改變。其要求過于嚴(yán)苛，理論上很難證明、實(shí)際中難以檢驗(yàn)，因此它基本上沒有什么應(yīng)用場景。

弱平穩(wěn)

與強(qiáng)平穩(wěn)對應(yīng)的是弱平穩(wěn)，其應(yīng)用比較廣泛，它有三個(gè)要求：

簡而言之，一組時(shí)間序列數(shù)據(jù)的均值恒定、方差始終存在、自協(xié)方差不隨時(shí)間波動(dòng)，即可認(rèn)定其為弱平穩(wěn)序列。

強(qiáng)平穩(wěn)與弱平穩(wěn)之間并沒有包含關(guān)系，弱平穩(wěn)不一定是強(qiáng)平穩(wěn)，強(qiáng)平穩(wěn)也不一定是弱平穩(wěn)。這是因?yàn)榉蠌?qiáng)平穩(wěn)標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)不一定存在均值和方差，而當(dāng)強(qiáng)平穩(wěn)序列存在均值和方差時(shí)，它就一定也是弱平穩(wěn)序列。

另外，一個(gè)服從正態(tài)分布的弱平穩(wěn)時(shí)間序列也是強(qiáng)平穩(wěn)的。這是因?yàn)樵谡龖B(tài)分布中，確定了均值和方差，也就確定了整個(gè)分布，也就是說該時(shí)間序列的不同時(shí)期的分布是相同的，這就符合了強(qiáng)平穩(wěn)的定義。

三、平穩(wěn)性的檢驗(yàn)

我們還是用上證綜指的行情數(shù)據(jù)來演示如何在Python中進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

時(shí)序圖

這次我們?nèi)∩蚤L一些的時(shí)間區(qū)間：從18年6月份至今的數(shù)據(jù)。然后我們將日期字符串轉(zhuǎn)換成日期類型，并且設(shè)置為數(shù)據(jù)框的索引，并且對數(shù)據(jù)按照時(shí)間增序排列。

可以看到，上證綜指的收盤收益率數(shù)據(jù)基本上是圍繞著0軸上下波動(dòng)，在0軸上方和下方的波動(dòng)幅度基本一致。我們可以初步認(rèn)定，該時(shí)間序列是平穩(wěn)的。

自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

我們還經(jīng)常結(jié)合自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖來判斷時(shí)間序列的平穩(wěn)性。

plt.stem(stattools.acf(df.pct_chg));

可以看到，0階自相關(guān)系數(shù)和0階偏自相關(guān)系數(shù)都恒為1。在下面兩幅圖中，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)迅速由1減小到0附近，之后隨著階數(shù)

的上升在0軸上下小幅波動(dòng)，這基本上是符合平穩(wěn)性的要求的。

單位根檢驗(yàn)

前兩種方式很直觀，但也很主觀。它們?nèi)咳庋鄣呐袛嗪团袛嗳说慕?jīng)驗(yàn)，不同的人看到同樣的圖形，很可能會(huì)給出不同的判斷。

因此我們需要一個(gè)更有說服力、更加客觀的統(tǒng)計(jì)方法來幫助我們檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性，這種方法，就是單位根檢驗(yàn)。

當(dāng)一個(gè)時(shí)間序列的滯后算子多項(xiàng)式方程存在單位根時(shí)，我們認(rèn)為該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的；反之，當(dāng)該方程不存在單位根時(shí)，我們認(rèn)為該時(shí)間序列是平穩(wěn)的。其原理比較復(fù)雜，想要理解它需要較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因此這里我們主要看如何在Python中應(yīng)用它，原理部分可以自行搜索相關(guān)資料閱讀。

常見的單位根檢驗(yàn)方法有DF檢、ADF檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)，今天我們會(huì)用ADF檢驗(yàn)來為大家演示。

在Python中，有兩個(gè)常用的包提供了ADF檢驗(yàn)，分別是statsmodel和arch。

from statsmodels.stats.diagnostic import unitroot_adfunitroot_adf(df.pct_chg)

輸出為：

這里包含了檢驗(yàn)值、p-value、滯后階數(shù)、自由度等信息。我們看到了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-14.46，遠(yuǎn)小于1%的臨界值-3.47，即p值遠(yuǎn)小于0.01，因此我們拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該時(shí)間序列是平穩(wěn)的。（這里原假設(shè)是存在單位根，即時(shí)間序列為非平穩(wěn)的。)

使用arch的方法為：

其輸出信息基本是一致的。