▍1. 下注游戲

來玩一個游戲，下注1元，如果贏了，可連本帶利贏回2元；如果輸了，會損失所有下注本金。假設(shè)游戲的勝率為70%，問每次下注多大比例，才能使收益最大化？

答案是40%。可以由著名的凱利公式  計算得到。  是你贏時對方的賠率（含自己的下注本金），  是贏的概率。這里  取2，  取70%。

凱利公式的另一個版本是  ，但這里  是不含本金的凈賠率。凈賠率  ，贏的概率  ，輸?shù)母怕?nbsp; 。計算結(jié)果自然是一樣的。

如果你對凱利公式的推導感興趣，可以點擊查看本公眾號前期關(guān)于凱利公式的「公式太多費腦版文章」。

▍2. 游戲模擬

如果不想看枯燥的數(shù)學公式，但又想驗證一下結(jié)果的正確性，怎么辦呢？別急，我寫了一段代碼來模擬一下這個游戲，可直觀感受下不同下注比例的結(jié)果。

程序不長，只有幾行代碼，如果計算機裝有Matlab，可以直接拷貝過去運行。

把不同下注次數(shù)的資產(chǎn)變化過程做成動圖，結(jié)果如下。其中橫坐標是下注比例，縱坐標是下注一定次數(shù)后的總資產(chǎn)，最優(yōu)下注比例確實在40%附近波動。

需要注意的是，這是一個概率問題，因此每次運行的結(jié)果都會有差異。40%的最優(yōu)下注比例也只是一個理論值，實際的最優(yōu)比例并非正好40%，而是在其附近一定范圍內(nèi)隨機變化。

如果每次都下注40%，最初的1元資產(chǎn)，理論上經(jīng)過約224次后，會變?yōu)?億元（  ）量級。

然而，如果下注比例選擇不好，資產(chǎn)的增值速度就要大打折扣。假如你只想著梭哈能大賺一筆，這個看上去贏面很大的游戲，你的資產(chǎn)也終會清零，因為總會存在輸?shù)那闆r。

游戲按照凱利公式下注，一元資產(chǎn)輕松變一億。那么對于投資，是不是可以照貓畫虎，利用凱利公式獲得一個最佳投資比例模型，輕松實現(xiàn)A8的小目標呢？

但事實上，投資與上述下注游戲存在較大區(qū)別，主要有以下幾點。

▍1. 涉及變量較多

當損失率和收益率都不確定時，更一般的凱利公式是：  。具體推導詳見前期「公式太多費腦版文章」。

其中，  是贏的概率，  是輸?shù)母怕剩?nbsp; 是輸時相對本金的凈損失率，  是贏時相對本金的凈收益率。

對于下注游戲，輸贏的損失率和收益率是事先約定好的，唯一需要關(guān)注的變量是贏的概率，相對來說比較簡單。

但對于投資，公司未來業(yè)績的上漲概率、上漲幅度、下跌幅度三個變量都是未知的，而這三個參數(shù)都會影響到投資比例的決策。

即便如此，上述凱利公式仍然是一個只有兩種結(jié)果的簡化情形。實際投資中，可能會出現(xiàn)多種可能的結(jié)果，而不是簡單的非黑即白，這會帶來更多的變量參數(shù)。你甚至難以建立一個準確的模型來描述。

變量太多帶來的結(jié)果，是難度和不確定性顯著增加。

巴菲特曾調(diào)侃：“經(jīng)濟學不過是娛樂大眾的東西，如同綜藝節(jié)目一樣，我沒見過哪個經(jīng)濟學家在股市中大賺特賺。經(jīng)濟學家們不過是猜猜而已，經(jīng)濟當中到處都是變量?！?/p>

老唐估值法之所以實用，也是因為整套估值方法中，僅僅有三年后的凈利潤這一個變量，增加了方法的可實操性。

前期聊過的換股相比買股而言難度大大增加，重要原因也是引入了更多變量。

▍2. 難以預估精確數(shù)據(jù)

對公司未來業(yè)績的預測，通常是一個模糊估算，難以獲得精確數(shù)據(jù)。而要同時預測業(yè)績的上漲概率、上漲幅度、下跌幅度三個精確數(shù)據(jù)，幾乎不可能實現(xiàn)。這些數(shù)值都會直接影響凱利公式的計算結(jié)果。

比如，類似前面的押注游戲，我們分析認為某家公司未來業(yè)績上漲100%的概率為70%，剩余30%的概率假設(shè)業(yè)績下跌歸零，則按凱利公式計算的最佳投資比例為70%/100%-30%/100%=40%。

但只要稍變一下，如果分析認為某家公司未來業(yè)績上漲100%的概率為70%，考慮到公司業(yè)績通常不會直接歸零，預計剩余30%的概率為業(yè)績下跌50%，則按凱利公式計算的最佳投資比例變?yōu)?0%/50%-30%/100%=110%。

參數(shù)稍有變動，結(jié)果就會出現(xiàn)巨大差異。從投資40%比例，變?yōu)闈M倉加10%杠桿。

事實上，凱利公式中的三個參數(shù)，我們一個也無法精確預估。

▍3. 兌現(xiàn)需要時間成本

還有非常重要的一點是投資收益的兌現(xiàn)需要時間成本。

下注游戲關(guān)注的，是通過優(yōu)化下注比例，在給定下注次數(shù)內(nèi)實現(xiàn)收益的最大化。游戲或賭局，通常很快可以完成一局，時間成本可忽略。但時間成本較小的游戲，往往不會有過高的勝率，勝率通常在50%或者更低。否則，就如前文模擬的結(jié)果，指數(shù)增長效應(yīng)會產(chǎn)生驚人的回報。

投資，理論上不是一個零和游戲，而是一個正和博弈，勝率可以遠大于50%。但與押注游戲不同的是，投資收益的兌現(xiàn)需要時間成本。否則，一個億的小目標也可輕松實現(xiàn)了。

同時，投資不關(guān)心投資次數(shù)，投資所關(guān)注的，是給定時間周期內(nèi)如何實現(xiàn)投資收益的最大化。你關(guān)心的是一年內(nèi)收益率有多少，至于是投資了三次、五次還是十次，并不重要。

凱利公式里沒有時間項，而實際上預期收益率是與時間相關(guān)的。預期一年翻倍和三年翻倍，顯然應(yīng)該對應(yīng)不同的投資權(quán)重，而如果按凱利公式，只要是預期翻倍，并且預期的概率相同，誤判的損失相同，就對應(yīng)同樣的投資比例，與多長時間實現(xiàn)沒有關(guān)系。

因此，無法由凱利公式直接得到某只個股的下注比例。實際投資中，通常的做法是對相同時間內(nèi)不同個股之間的預期收益和可能概率進行橫向?qū)Ρ?，來決定個股的倉位比例。

▍1. 整體倉位

凱利公式雖然無法直接用于個股的倉位評估，但凱利公式就像自由現(xiàn)金流折現(xiàn)一樣，是一種思維方式，確實也可以用于指導投資。

個人認為，凱利公式對于倉位的指導意義，在于所有投資的總倉位控制，而非個股的倉位占比。這一點，目前我還沒有看到其他地方有過類似說法。

投資的總倉位如何控制，是否應(yīng)該滿倉，其實是股票（或其他投資標的）與現(xiàn)金之間的比較。如果不考慮現(xiàn)金較低的無風險收益率帶來的增長，現(xiàn)金可以近似認為是隨時間不變的，于是也不存在凱利公式無法體現(xiàn)時間因素影響的問題。

那么，何種情況下，可以滿倉投資呢？根據(jù)凱利公式，當  時，滿倉是更好的選擇。

比如，把股票等所有投資當作一個組合體，預期整體投資有三分之二的勝算能翻倍，三分之一的概率發(fā)生誤判，誤判時本金腰斬損失一半，這種情況下，從概率角度滿倉投入能獲得最大收益。也就是說，如果翻倍概率是腰斬概率的兩倍以上，滿倉投入是概率上更優(yōu)的選擇。

即  。投資不同次數(shù)后的資產(chǎn)變化過程模擬如下，投資比例在100%附近時，能獲得較好的結(jié)果。

事實上，這只是其中一種組合，對于能否滿倉，存在預測凈收益率、預測概率、誤判的凈損失率三者之間的多種可能組合，條件是滿足  。

比如，預期有75%的概率能上漲50%，25%的概率會下跌50%，同樣也可達到滿倉的條件。

只要預期收益率足夠高，預測概率足夠大，便可滿倉持有，坐定不亂，看庭前花開花落，望天上云卷云舒。

從概率上看，理論上也是可以上杠桿的，只要預測概率足夠高，誤判后的損失足夠小，  就會大于1，但這是有條件的。

從凱利公式可以得出的一個重要結(jié)論是：如果預測錯誤會損失所有本金，那么最優(yōu)投資比例永遠會小于等于1，這是我們常說“遠離杠桿”的原因，這時只有預測概率達到100%時才可達到滿倉條件。

即如果  ，容易得到在任何情況下都有  ；這時只有當  時，才能達到滿倉條件  。

實際投資中，大多數(shù)情況下個股通常不會帶來所有本金的損失，但如果加杠桿，會存在強制平倉的問題，加上杠桿的放大效應(yīng)，可能會帶來接近100%的本金損失，而投資也無法達到100%的確定性，所以才有了“遠離杠桿”的忠告。短短四個字，是無數(shù)血的教訓換回的。

作為一個投資整體，雖然具體參數(shù)也很難預測，但凱利公式的標準可以作為投資者心中的一桿秤，用于大致評估。

整體倉位的控制，取決于你對投資整體的勝率、收益率、損失率的分析和判斷。杠桿存在強制平倉的風險，可能會帶來近乎所有本金的損失，凱利公式告訴你要“遠離杠桿”。

▍2. 個股倉位

個股在整體投資中的比例，我認為和凱利公式?jīng)]有太大關(guān)系。

其原因，一是難以預估凱利公式中的精確數(shù)據(jù)，二是凱利公式?jīng)]有體現(xiàn)投資的時間因素，三是按照價值投資的安全邊際思想，能入選的標的大部分都符合凱利公式的滿倉標準。

個股的倉位控制，需要從另外的角度考慮。

投資，說到底是比較。理論上講，拋開預測的準確性，你的所有投資標的中，綜合考慮勝算、收益率、損失率等因素后，根據(jù)分析必定存在最優(yōu)的一個。顯然，將所有資金集中投資于單個最優(yōu)標的，能獲得數(shù)學上的最優(yōu)期望。

實踐中也有人這么做，其中包括權(quán)威投資大咖，但相對來講這種方式還是少數(shù)。

個股倉位的上限控制，以及對投資行業(yè)的適當分散，主要目的還是為了降低不可預知因素帶來的風險。比如黑天鵝事件、環(huán)境及政策的影響、行業(yè)的變遷、個人的判斷錯誤等等。

分散投資，理論上會降低收益率，同時也會降低風險。

相對而言，適度分散、相對集中，是一種更加廣泛的選擇。比如，個股40%的倉位上限，三五個行業(yè)，七八家公司，是收益率與風險之間的平衡。

至于個股倉位上限到底是40%還是50%，個股數(shù)量是五只、八只還是十只，更多的是一種經(jīng)驗和習慣，沒有嚴格的定量推理和依據(jù)，取決于個人的風險偏好。即使按保留安全余量的分析計算，也是知道答案后的反湊，實際意義不大。

既然是經(jīng)驗，那么根據(jù)個人的風險偏好，參考取得優(yōu)秀投資業(yè)績的前輩們是如何做的就可以了。

最后，總結(jié)一下本文的主要觀點：

1. 在僅有獲勝概率一個變量的下注游戲中，凱利公式具有較好的指導意義。

2. 投資與下注游戲相比，存在涉及變量多、預估精確數(shù)據(jù)難、兌現(xiàn)需要時間成本等特點，應(yīng)用凱利公式要更為復雜。

3. 凱利公式可以用于整體投資倉位的分析，如果預期翻倍概率是腰斬概率的兩倍以上，或者在預測凈收益率、預測概率、誤判凈損失率三者組合滿足下注比例大于1的條件下，滿倉投入是一種概率上更優(yōu)的選擇。

4. 如果預測錯誤會損失所有本金，那么最優(yōu)投資比例永遠會小于等于1，這是我們常說“遠離杠桿”的原因，這時只有預測概率達到100%時才可達到滿倉條件。杠桿存在強制平倉的風險，可能會帶來近乎所有本金的損失，凱利公式告訴你要“遠離杠桿”。

5. 個股的倉位控制，與凱利公式?jīng)]有太大關(guān)系。將所有資金集中投資于單個最優(yōu)標的，理論上能獲得數(shù)學上的最優(yōu)期望。個股倉位的上限控制，以及對投資行業(yè)的適當分散，主要目的還是為了降低不可預知因素帶來的風險，可結(jié)合個人的風險偏好參考歷史成功經(jīng)驗設(shè)定。

聲明：本人所發(fā)文章均僅用于記錄個人學習思考，不用于任何投資建議。