在高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)及技巧中我們介紹了均值不等式的一些基本知識(shí)，這篇文章繼續(xù)介紹不等式的另一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)—柯西不等式。

一、柯西不等式的形式及記憶技巧

• 代數(shù)形式

（1）二維：設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

（2）多維：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

（3）記憶技巧：平方項(xiàng)比交叉項(xiàng)要大一些，不等式兩邊的總冪次一致。

• 向量形式

設(shè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)取等號(hào)。

記憶技巧：根據(jù)向量點(diǎn)積和模長(zhǎng)計(jì)算方法即可自然得到。

• 三角形式

設(shè)則，即，當(dāng)且僅當(dāng)P1、P2、O三點(diǎn)共線且P1、P2在O點(diǎn)兩側(cè)時(shí)取等號(hào)。

記憶技巧：三角形兩邊之和大于第三邊。

• 柯西不等式的證明

關(guān)于柯西不等式的證明有很多精妙的方法，向量形式和三角形式幾乎是不證自明的，本文僅給出多維代數(shù)形式的一種證明方法。

證明：構(gòu)造函數(shù)，展開(kāi)可得

由于，可得

化簡(jiǎn)可得

取等號(hào)的條件是方程有兩個(gè)相同的解，此時(shí)有：

（此時(shí)方程的解為0）或

，即

二、常見(jiàn)題型

利用柯西不等式的核心有兩點(diǎn)：一是注意拼湊，在已知條件和要求的式子之間尋找聯(lián)系；二是注意不等式兩邊冪次的變化，這里同樣需要注意常數(shù)的應(yīng)用，在不知不覺(jué)間完成升冪或者降冪，進(jìn)而使問(wèn)題得解或者最起碼使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。

1.求最大值（定高冪次，求低冪次）

例1：設(shè)

解析：直接套用柯西不等式

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

例2：已知正數(shù)

解析：要求的式子與已知條件并不是直接的平方關(guān)系，不能直接套用例1 的方法?？紤]柯西不等式的向量形式，設(shè),則

又

則有

∴，而

思考：（1）均值不等式也具有冪次變化的功能，用均值不等式證明該題是否可行？

（2）已知條件改為,結(jié)論是否仍然成立？

在處理給定高冪次的題型時(shí)，要注意發(fā)掘隱含的高冪次等式。

例3：求函數(shù)的最大值

解析：輔助角公式可以直接求解，這里我們采用柯西不等式

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

例4：求函數(shù)

解析：顯然,易求最大值為.

2.求最小值（定低冪次，求高冪次）

例5：實(shí)數(shù)

解析：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

∴。

例6：已知

解析：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

∴.

例7：已知

解析：由于系數(shù)的關(guān)系，此題比前兩個(gè)例題稍顯復(fù)雜，但本質(zhì)是一樣的

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

∴

3.分式型

如果分母的和為定值，則乘以該定值可以對(duì)分式進(jìn)行有效簡(jiǎn)化，該方法類似于高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)及技巧中提到的妙用常數(shù)法。

例8：已知正實(shí)數(shù)

解析：利用均值不等式中的妙用常數(shù)法可以解決這類問(wèn)題，此處介紹柯西不等式的方法。

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

因此所求最小值為25/8.

例9：已知正數(shù),求證

解析：分母之和為定值3，給分式乘以分母之和，有

，即可得證。

此題采用均值不等式也可以做，但是當(dāng)項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，直接采用柯西不等式更加簡(jiǎn)單明了。

上述例題屬于基本題型，分母之和為定值，掌握柯西不等式的基本形式一般都能輕松應(yīng)對(duì)。有時(shí)候題目的條件與所求結(jié)果之間可能需要一定的處理才能達(dá)到應(yīng)用柯西不等式的條件。

?例10：已知正常數(shù)

解析：此題三角函數(shù)在分母上，不能直接套用柯西不等式。分析可知，我們需要給y乘以一個(gè)關(guān)于正弦和余弦函數(shù)的線性組合，即可初步得到最小值，即

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).進(jìn)一步根據(jù)三角恒等式，化為給定高冪次的情形，即

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

兩個(gè)取等條件同時(shí)成立，可得,不妨令

解：

∵

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

∴，即

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

所以y的最小值為

4.分離參數(shù)法（多參數(shù)）

求某參數(shù)的取值范圍，一般需要將該參數(shù)分離出來(lái)，進(jìn)而利用柯西不等式。

例11：已知，求y的取值范圍。

解析：分離參數(shù)y至等式的一邊，可得

解得

5.待定系數(shù)法

這類方法常用于含有根式與一次項(xiàng)的和式，

例12：已知

解析：若能得到的形式，則可得到的形式，為所求函數(shù)運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件。

取參數(shù),則

∴,即

（1）

∴（2)

聯(lián)立式（1）、（2）的取等條件

解得

此時(shí)y取得最小值4.

例13：已知正實(shí)數(shù)的最小值。

解析：為了向已知條件靠攏，最終應(yīng)湊成的形式。因此，應(yīng)用柯西不等式對(duì)所求函數(shù)進(jìn)行變形處理。引入?yún)?shù)

,取等條件(1)

,取等條件(2)

∴

為了應(yīng)用已知條件，令

(3)

聯(lián)立（1）、（2）、（3）及已知條件,解得

所以

6.取等條件在方程組中的應(yīng)用

有時(shí)候題目給定的未知數(shù)數(shù)量多于方程數(shù)量時(shí)應(yīng)有所警覺(jué)，注意取等條件，這里需要有一定的數(shù)學(xué)直覺(jué)。

例14：解實(shí)數(shù)方程組

解析：3個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程，常規(guī)方法無(wú)法求解方程組，但是根據(jù)柯西不等式可知

而，即上式取到等號(hào)

∴

易求出

例15：實(shí)數(shù),則

解析：未知數(shù)數(shù)量多于方程數(shù)量，考慮不等式取等號(hào)的條件

∵

而題中已知

∴

解得

三、小結(jié)

柯西不等式可以在不同冪次的代數(shù)式之間構(gòu)建橋梁，解題時(shí)應(yīng)注意通過(guò)一定的變形在已知條件和要求的問(wèn)題之間建立聯(lián)系，有時(shí)候可能需要不止一次的應(yīng)用不等式（注意不等式的方向和取等條件），應(yīng)時(shí)刻關(guān)注取等條件，尤其在未知數(shù)數(shù)量多余方程數(shù)量的條件下，取等條件可能就是破題的關(guān)鍵。