本題選自2022廣西柳州中考數(shù)學(xué)壓軸題，以二次函數(shù)為背景，考查周長的最值與直角三角形的存在性問題。
（2022·柳州）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點，與y軸交于點C（0，5）．（2）如圖1，點D是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點，且點D在第一象限內(nèi)，過點D作x軸的平行線交拋物線于點E，作y軸的平行線交x軸于點G，過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，當(dāng)四邊形DEFG的周長最大時，求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點M是拋物線的頂點，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點Q，在對稱軸上找一點P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．
（1）待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，代入點A（﹣1，0）和C（0，5）的坐標(biāo)即可得到這個拋物線的解析式為y＝-x2+4x+5，b=4，c=5，m＝5。（2）本題是求矩形的周長最值，點D是關(guān)鍵點，點D運動時，矩形的形狀隨點D的運動變化而變化。
先設(shè)點D的坐標(biāo)，再求出其它點的坐標(biāo)，再表示周長，用代數(shù)法求解即可。
所以當(dāng)x＝3時，四邊形DEFG的周長最大，（3）題目已知直角三角形△PQB以QB為直角邊，那么只需要分別過點Q或B作垂線即可。
如上圖所示，構(gòu)造兩個直角三角形。求點P的坐標(biāo)方法有多種。
思路一：分別求出PQ或PB的直線解析式，然后令x=2即可得到點P的坐標(biāo)。（建系法）思路二：設(shè)點P的坐標(biāo)，然后利用勾股定理建立方程得到點P的坐標(biāo)。（勾股法）
思路三：過點P作y軸的垂線，得到相似三角形。（相似法）
如上圖所示，構(gòu)造兩個直角三角形，因為BC與x軸的夾角為45°，所以可以得到兩個三角形的全等的。點M的坐標(biāo)為（2，9），那么就可以得到點N的坐標(biāo)為（-4，3），那么根據(jù)相似等知識都可以得到點Q的坐標(biāo)為（0，5/3）。
思路一：求出直線BQ的解析式為y=-1/3x+5/3，當(dāng)∠BQP=90°時，得到PQ的解析式y(tǒng)=3x+5/3，
令x=2，可以得到y(tǒng)=23/3，即P（2，23/3）。同理可得另一個點P的坐標(biāo)為（2，-9）。思路二： ∴PQ2＝22+（p-5/3）2＝p2-10/3p+61/9，當(dāng)∠BQP＝90°時，BP2＝PQ2+BQ2，求得p=23/3。當(dāng)∠QBP＝90°時，PQ2＝BP2+BQ2，求得p＝-9。
根據(jù)相似比，可以得到直角邊，進而得到點P的坐標(biāo)，可以口算。
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