很多人會(huì)認(rèn)為：無憂無慮，想去哪里就去哪里，想在什么時(shí)間干什么就干什么，就是真正的自由。經(jīng)過深思熟慮之后會(huì)發(fā)現(xiàn)，不自由包含兩方面：例如，你不能在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)干某件事，或者只能在某個(gè)時(shí)間段干某件事。例如，作為一枚雞娃，你的父母每天都給你鼓勁，為了將來考個(gè)好大學(xué)，除了睡覺吃飯，你都在拼命學(xué)習(xí)。若轉(zhuǎn)到物理問題，不自由的情況相應(yīng)也有兩種。第一種情況，物體的運(yùn)動(dòng)受到限制，或者說約束。它是通過一類叫約束力（也稱約束反力）的作用來實(shí)現(xiàn)的。在約束力的作用下，描述物體運(yùn)動(dòng)的變量滿足一些方程，方程越多，解出的未知數(shù)就越多，剩下的獨(dú)立變量就越少了。如果有 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，理論上講，它的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（ , , ）來確定，那么 個(gè)質(zhì)點(diǎn)一共需要 個(gè)變量來描述。假設(shè)它們一共受到 個(gè)約束，由于每個(gè)約束對(duì)應(yīng)一個(gè)方程，一個(gè)方程理論上可確定一個(gè)變量，這樣就一共確定 個(gè)變量，那么最終剩下的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)為 我們稱這些獨(dú)立變量的個(gè)數(shù) 為體系的自由度。 例如，由 個(gè)粒子組成的體系，若粒子在振動(dòng)，但整體固定不動(dòng)，則自由度為 ，為什么呢？留給讀者自己想一想。第二種情況，物體受到外力驅(qū)動(dòng)，或者說受主動(dòng)力作用。例如自由落體受到的重力、拖箱受到的水平拉力都是主動(dòng)力。約束力和主動(dòng)力合在一起就是外力。所以，不自由的兩種情況歸根結(jié)蒂是一種機(jī)制所導(dǎo)致的，它就是外力作用。總的說來，自由意味著不受外力，而不受外力的物體是自由的。那么具體來講，這種不受力而導(dǎo)致的自由是怎樣一番圖景呢？
牛頓第一定律回答了這個(gè)問題：不受力的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
換句話說，自由的物體的將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
但你發(fā)現(xiàn)沒有，這個(gè)自由其實(shí)有多么不自由！試想，當(dāng)我們說“一只鳥兒在空中自由的飛翔”時(shí)，難道是指它在一條直線上勻速地飛？顯然不是！我們是指它隨意地在任何地方飛，它往哪里飛都一樣可能。因此，若是真的自由，物體應(yīng)該能出現(xiàn)在空間中任何地方！這是一個(gè)沒受到牛頓第一定律影響的、具有正常邏輯思維的人對(duì)自由的直觀理解。
但牛頓第一定律給出的自由卻是：它要不呆在那里不動(dòng)，要不就沿著一條直線勻速移動(dòng)，只不過二選一罷了。
當(dāng)然，你可能也會(huì)說，這很正常啊，自由不是絕對(duì)的，總要受到底層物理規(guī)律的約束。例如能量守恒定律、動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律等等。
既然物體不受外力作用，那么按照動(dòng)量守恒定律，它的動(dòng)量不變，由于動(dòng)量是矢量，動(dòng)量守恒意味著運(yùn)動(dòng)的方向不變！所以物體只能有兩種可能的選擇：靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上，在宏觀世界中，沒有，也不可能有破壞牛頓第一定律的事情發(fā)生，要不然，牛頓力學(xué)早就被拋棄了！
要知道，牛頓定律只適用于宏觀世界，對(duì)微觀粒子來說，它們服從量子力學(xué)的規(guī)律，而量子力學(xué)中并沒有與牛頓第一定律一致的說法。那么，在微觀世界中，自由的粒子真的可以到處出現(xiàn)嗎？答案是：真的可以！量子力學(xué)給出的結(jié)果正是如此。雖然量子力學(xué)總是那么不可思議的違反我們的直覺，但同時(shí)，在很多問題上，它卻又與人類最一般的直覺完美符合！而自由粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是其中的一個(gè)例子。那么，具體來講，量子力學(xué)中的自由粒子到底是怎么回事呢？
在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述的。而根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，波函數(shù)的模的平方（簡(jiǎn)稱模方）代表粒子在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的概率。如果你想預(yù)測(cè)它將在哪里出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最大，你只要按照波函數(shù)的模的平方來計(jì)算就可以了。你只有一次機(jī)會(huì)找到它，無論你在哪里發(fā)現(xiàn)它，并不說明它是從另外某處趕過來的，因?yàn)樗緛砭驮谀抢?。雖然它其實(shí)也在其他的地方，但你的觀測(cè)讓它的波函數(shù)在它被發(fā)現(xiàn)的位置坍塌。有一點(diǎn)值得強(qiáng)調(diào)的是，粒子并沒有在空間中彌散開來，它是以整體按波函數(shù)的模方決定的概率分布在空間中各處。所以當(dāng)它在某處被發(fā)現(xiàn)時(shí)，它將作為一個(gè)完整的個(gè)體被獲得，擁有它的本來屬性，包括電荷、質(zhì)量和自旋等。既然是自由粒子，那么理所當(dāng)然，它在空間任意點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是一樣的。所以，它不會(huì)停在某個(gè)地方不動(dòng)，也不會(huì)沿著一條直線勻速運(yùn)動(dòng)，而是以相同的幾率出現(xiàn)在空間任何一點(diǎn)。看到?jīng)]——以相同的概率出現(xiàn)在空間任何一點(diǎn)！試問，世界上還有比這更完美的自由嗎？
有的人可能會(huì)有一些不切實(shí)際的“奇思妙想”，例如他覺得“隨時(shí)隨地想去哪里就去哪里，而且馬上就到”才是真正的自由。拜托，這可不是物理中的自由！恰好相反，這根本不是自由，因?yàn)檫@種“來去的自由”依賴于粒子的速度（因?yàn)橐欤┖图铀俣龋ㄒ驗(yàn)橐S時(shí)調(diào)換方向），粒子必然時(shí)刻受到強(qiáng)大外力的作用，怎么可能是物理上的自由呢？
在量子力學(xué)中，物理上的自由就是不受時(shí)空地限制，粒子能出現(xiàn)在所有的地方。并且再加了一個(gè)條件——相同的概率！你可能覺得這個(gè)條件是畫蛇添足，因?yàn)槟憧赡芟敫嗟拇粼谀硞€(gè)地方，呆在另一些地方的機(jī)會(huì)少一點(diǎn)，或者你甚至想隨意的改變處在某點(diǎn)的概率，但現(xiàn)在卻是同樣的概率，這看起來不夠自由啊！這種想法與上面那個(gè)“奇思妙想”一樣，不是物理中所說的“自由”，而是不自由。說了這么多，你應(yīng)該明白：量子力學(xué)中所給出的自由粒子所享有的自由是物理中最真正、最徹底的自由。而相比起來，牛頓第一定律中所說的那個(gè)自由不是真正的自由。現(xiàn)在你可能有一個(gè)疑問：既然是自由粒子，它的動(dòng)量守恒。那么，其動(dòng)量應(yīng)該始終沿某個(gè)方向，那它不一直沿著某個(gè)直線運(yùn)動(dòng)嗎？如果這樣的話，它哪有機(jī)會(huì)在整個(gè)空間中到處亂跑？
沒錯(cuò)，自由粒子動(dòng)量守恒，也就是說，粒子的動(dòng)量的確是朝著某個(gè)方向。但是，這并不意味著粒子總是沿著某個(gè)方向運(yùn)動(dòng)！按照量子力學(xué)的統(tǒng)計(jì)詮釋，粒子只是神不知鬼不覺的突然出現(xiàn)在你探測(cè)到它的地方，你不需要也無法知道它是從哪里過來的，因?yàn)樗诓煌胤匠霈F(xiàn)的概率是同時(shí)性的。它的整體隨時(shí)可以出現(xiàn)在空間中任何一點(diǎn)。所以，自由粒子并不會(huì)因?yàn)閯?dòng)量守恒而被限制在一個(gè)點(diǎn)或一條線上，它在空間各處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，它的狀態(tài)是一種徹底的自由狀態(tài)。最后再來看看，滿足這種概率均勻分布特征的自由粒子的狀態(tài)描述是怎樣的？又是如何得到的？前面提到了，量子力學(xué)用波函數(shù)描述粒子狀態(tài)，而波函數(shù)是量子力學(xué)的基本方程——薛定諤方程的解。所以，我們要描述自由粒子，就必須求解薛定諤方程。其中 代表來自外界的作用。既然現(xiàn)在是自由粒子，則 ，所以自由粒子滿足的薛定諤方程為 它的解是 這就是自由粒子的波函數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，在空間任意點(diǎn)發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度為 這說明，在任意點(diǎn)發(fā)現(xiàn)粒子的概率是相同的。說明：既然是自由粒子，其所在空間是無限大的，而粒子在每個(gè)地方又具有相同的發(fā)現(xiàn)概率，那么這個(gè)概率只能為零。因此，自由粒子不可能是定態(tài)。但這不影響自由粒子在空間各處概率相等這一結(jié)論。 以及 可得 這個(gè)波在 時(shí)刻的等相面為 其中 是波面上的點(diǎn)的位矢在波矢上的投影值。對(duì)相同的時(shí)刻 ， 是定值，說明等相面都是平面，所以自由粒子的波函數(shù)具有平面波的形式。 需要說明的是，雖然經(jīng)典的平面波的波函數(shù)還可以寫成實(shí)數(shù)形式—— 或 函數(shù)的形式，但作為含有虛數(shù) 的薛定諤方程的解，自由粒子的波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式。實(shí)際上，只有這樣才能保證粒子概率均勻分布的要求，因?yàn)檎一蛴嘞液瘮?shù)的模方對(duì)空間依然是周期起伏的。
關(guān)于自由粒子的波函數(shù)的一件有意思的事情是，很多人喜歡利用自由粒子的波函數(shù)來“反推”薛定諤方程。因?yàn)槿藗儜{直覺相信，自由粒子的波函數(shù)應(yīng)該具有平面波的形式。對(duì)此波函數(shù)求時(shí)間和空間偏導(dǎo)，可得到能量和動(dòng)量的平方分別滿足 聯(lián)合經(jīng)典力學(xué)中動(dòng)量與能量之間的關(guān)系 就可得到一個(gè)等式，該式正好是自由粒子所滿足的薛定諤方程。 在此基礎(chǔ)上考慮到能量中應(yīng)包含勢(shì)能 ，這樣就得到任意粒子所滿足的薛定諤方程了。之所以這里用帶引號(hào)的“反推”，因?yàn)檠Χㄖ@方程現(xiàn)在被認(rèn)為是量子力學(xué)的一條基本假設(shè)，是無法從別的結(jié)論推得的。也就是說，任何試圖推導(dǎo)薛定諤方程的做法本身是沒有意義的——雖然你的確可以用這種“反推”的方法找回你大腦中遺忘的薛定諤方程。綜上所述，關(guān)于自由的哲學(xué)觀點(diǎn)，量子力學(xué)比牛頓力學(xué)先進(jìn)多了！
其實(shí)，豈止自由這件事，在幾乎所有方面，量子力學(xué)都比牛頓力學(xué)更先進(jìn)和深刻。它被認(rèn)為是人類洞察自然世界的最高成就。迄今為止，它的理論完美地描述了這個(gè)世界，雖然目前人類還無法真正理解它的本質(zhì)。Griffiths, David J.; Schroeter, Darrell F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics(Third ed.). Cambridge University Press.
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不代表中科院物理所立場(chǎng)
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