一、歐幾里得幾何與歐幾里得空間

這里的歐氏幾何描述二維平面的幾何， 高維的歐氏幾何叫歐幾里得空間（三維歐氏幾何叫做立體幾何）。一句話概括，歐氏空間是歐氏幾何在多維情況下的推廣。

所以歐幾里得幾何又叫平面幾何(plane geometry)（兩要素：二維、曲率為0），它基于五條公設(shè)：

二、歐幾里得幾何與非歐幾何

俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和匈牙利數(shù)學(xué)家波約指出，第五條平行公理不一定在所有的幾何情況下都成立，并非幾何真理，也就是三角形內(nèi)角和不一定為180?；凇叭切蝺?nèi)角≠180°”的幾何學(xué)叫做非歐幾何。

以下圖為例，在球上的三角形的內(nèi)角和就大于180°，所以在球上的幾何是非歐幾何，叫做球面幾何(spherical geometry)，它描述的是二維球面(2-dim surface)的幾何，而不是包括球內(nèi)部的球體(ball, solid sphere)。

三、第五公理/平行公理

 第五公理為：

 它也可以等價(jià)為：

如果將公設(shè)改為“可引最少兩條平行線”引申的幾何為羅氏幾何（雙曲幾何）；

如果將公設(shè)改為“一條平行線也不能引”引申的幾何為黎曼幾何（橢圓幾何）。

這第五公理的三個(gè)版本不能說都錯(cuò)或者都對，只是需要一定條件。如果（曲面的）曲率=0，原公理成立；曲率＜0，雙曲幾何的平行公理成立；曲率＞0，橢圓幾何的平行公理成立。